1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Теорема 2.13.3. Пара вращений равносильна поступательному полю скоростей. Вектор и этого поля вычисляется по формуле и=юхй, где вектор с( — плечо пары (см. стр. 31). Доказательство. Пусть задана пара вращений (О, со), (гл, — иг). Воспользуемся теоремой о сложении скоростей. Переносная скорость произвольной точки М твердого тела, возникающая из-за движения репера 5, определена выражением Глава 2. Кинематика 128 где г — радиус-вектор точки М. Относительная скорость точки М в репере Я вычисляется по формуле ч„= — ео х (г — гд).
Абсолютная скорость есть сумма этих двух скоростей: ч = че + че = ео х гд = ео х Й. Тем самым скорости всех точек тела в рассматриваемый момент вре- мени оказываются равными.П Теорема 2.13.4. (Результируюпхее поле скоростей). Поле скоростей твердого тела как сумма нескольких вращательных и нескольких поступательных полей сводится эквивалентными операциями (см.
раздел 1.3) к сумме одного поступательного поля и одного вращательного поля скоростей. Доказательство. В соответствии с теоремой 2.13,3 основание угловой скорости ю можно смещать, добавляя соответствующее поступательное поле скоростей. В самом деле, выберем точку О, не принадлежащую основанию угловой скорости. Приложим к ней два вектора ео и — ео угловой скорости. Они не изменяют поле скоростей в теле. Тогда вектор ео, действующий вдоль первоначальной оси, и вектор — ю с параллельным основанием, проходящим через точку О, образуют пару, эквивалентную поступательному полю скоростей. Повторяя доказательство теоремы 1.5.1, сместим так каждый из заданных векторов угловых скоростей.
Получим сумму поступательных полей и систему угловых скоростей, основания которых проходят через одну и ту же точку О. Вследствие теорем 2.13.1 и 2.13.2 заключаем, что такая система эквивалентна сумме одного поступательного и одного вращательного полей скоростей.П Определение 2.13.2. Поле скоростей называется винтовым, если оно есть сумма поступательного и вращательного полей, причем скорость поступательного поля параллельна угловой скорости вращательного. Теорема 2.13.5.
Сумма поступательного со скоростью ч и вращательного с угловой скоростью ео полей скоростей эквивалентна винтовому полю. Доказательство повторяет доказательство теоремы 1.5.2 с заменой 11 — ю, М ч,П Таким образом, поле скоростей твердого тела в любой фиксированный момент времени движения всегда может быть представлено 2.13.
Система угловых скоростей 129 как винтовое поле. Ось вращения (основание скользящего вектора ы), соответствующая винтовому полю скоростей, называется винтовой осью. Отношение скорости и поступательного поля, параллельного винтовой оси, к угловой скорости ~ы~ называется параметром винта р = и/~ш~. При р = 0 остается только вращательное поле, при р = со — только поступательное. Если с течением времени положение винтовой оси, угловая и поступательная скорости не меняются, то твердое тело совершает движение, которое называется еиятоеьам.
Тогда за время полного оборота т = 2я/~ш~ тело продвинется вдоль оси вращения на расстояние ! = гн = 2яр. Это расстояние называется шагом винта. В общем случае движение твердого тела будет гораздо более сложным иэ-за того, что ориентация и положение винтовой оси, угловая и поступательная скорости могут изменяться со временем.
Параметрическое уравнение винтовой оси (см. стр.39) имеет вид шхч г = — + Лш, ы2 где Л вЂ” скалярный параметр; вектор г, определяющий точку винтовой оси, имеет начало в произвольном полюсе Оы выбранном для упрощения системы скользящих векторов угловых скоростей; ч— скорость точки Оы Чтобы исключить Л, умножим параметрическое уравнение винтовой оси векторно на ми шх(шхч) ш.ч ыхг= = — ш — ч ~2 >2 или ш ч ч+ыхг= — ш. ,„г Имеем векторное уравнение винтовой оси. Как и следовало ожидать, оно не дает однозначно значение г, а определяет его лишь с точностью до произвольного смещения вдоль вектора ы. Поэтому три проекции этого уравнения на оси произвольной ортогональной системы координат будут линейно зависимыми.
При движении твердого тела его поле скоростей непрерывно меняется со временем. Изменяются и векторы ч и ш. В каждый следующий момент времени будет получаться, вообще говоря, другая винтовая ось. Уравнение винтовой оси, точки которой в неподвижном репере Яэ задаются рапиусом-вектором г„имеет вид ш ч ч — шхг+шхг = — ш, г э- мвз Глава 2. Кинематика 130 где г' — радиус-вектор точки 01 в репере Яо, а г, = г' + г.
Множество положений, которые последовательно занимает винтовая ось в неподвижном пространстве, связанном с репером Яо,называется неподвижным аксоидом. Запишем уравнение винтовой оси в репере, жестко связанном с твердым телом: ю ч и+ю х Ах = — со, „г где х — радиус-вектор точки твердого тела, лежащей на винтовой оси, А Е оО(3) — оператор ориентации тела в неподвижном пространстве. Множество положений, которые последовательно занимает винтовая ось в движущемся теле, называется подвижным аксоидом. Подвижный и неподвижный аксоиды двумерны.
Они имеют две координаты: одна из ник — Л, отсчитываемая вдоль винтовой оси, другая — времи движения е. Задание их однозначно определяет точку на аксоиде. Тем самым подвижный и неподвижный аксоиды суть линейчатые поверхности. Они в каждый момент времени имеют по крайней мере одну общую прямую — винтовую ось.
Теорема 2.13.6. Подвижный и неподвижный аксоиды, если они не вырождаются в прямую, имеют общую касательную плоскость, проходящую через винтовую ось. Доказательство. Пусть закон движения точки М обеспечивает принадлежность ее в любой момент времени винтовой оси. Движение этой точки можно рассматривать как в неподвижном репере Яо, так и в репере 5, связанном с телом. Всегда можно выбрать движение М так, чтобы существовали относительная ч„и абсолютная ч, скорости точки М. Можно считать, что в каждый момент времени М есть точка как неподвижного, так и подвижного аксоида. Перемещаясь по неподвижному аксоиду, точка М имеет абсолютную скорость ч„ которая лежит в плоскости, касательной к неподвижному аксоиду. Относительная скорость ч точки М в репере 5 направлена по касательной к относительной траектории, принадлежащей подвижному аксоиду, и потому лежит в плоскости, касательной к подвижному аксоиду.
Переносная скорость ч, есть скорость точки М' твердого тела, совпадающей с М, и направлена вдоль винтовой оси. Она тоже принадлежит касательной плоскости к подвижному аксоиду. Имеем ч,=ч,+ч„. Следовательно, ч, принадлежит плоскости, касательной к подвижному аксоиду. Так как закон движения точки М вдоль винтовой оси 2.14. Поле скоростей плоскопараллельного движения можно выбрать произвольно, лишь бы он был дифференцируемым по времени, то вектор и, можно считать непараллельным винтовой оси. Поэтому плоскости, касательные к подвижному и неподвижному аксоидам, совпадают.0 Сл~хствие 2.13.2. Произвольное непрерывное движение твердого тела можно представить как хачение подвилсного ахсоида по неподвижному с возможным проскальзыванием вдоль винтовой оси.
Отсюда ясна большая роль теории линейчатых поверхностей в вопросах, связанных с организацией требуемого сложного движения твердых тел, служащих деталями механических систем. О 2.14. Поле скоростей плоскопараллельного движении Движение называется плоскопараллельным, если скорости всех точек твердого тела в любой момент времени параллельны некоторой неподвижной плоскости.
Сечение твердого тела этой плоскостью представляет собой фигуру, дающую однозначное представление о положении тела в пространстве при плоскопараллельном движении. Теорема 2.14.1. Поле скоростей плосхопараллельного движения может быть либо поступательным, либо вращательным с осью, перпендикулярной плоскости двилсения. Доказательство. С помощью эквивалентных операций приведем поле скоростей к винтовому: и ее и + ео х г.
Начало вектора г расположено на оси винта, его конец фиксирует точку плоской фигуры твердого тела. Вектор и должен быть параллелен плоскости движения Р для любого радиуса-вектора г. Покажем, что могут быть лишь два случая: 1. и = О, вектор из перпендикулярен плоскости Р, 2. ео = О, вектор ц параллелен плоскости 'Р. Рассмотрим все логически возможные варианты. Вариант 1. Вектор ео ф О и параллелен плоскости Р.
Найдем скорости двух произвольных точек этой плоскости: из = а+ ш х гы и = и+ ш х гз. Разность этих скоростей выражается формулой уз — и1 = щ х (гз — г1). Глава 2. Кинематика 132 В силу произвольности выбора точек разность гг — г1 можно считать не параллельной вектору ю. Имеем противоречие. В левой части последнего равенства стоит вектор, параллельный плоскости Р, а в правой части — вектор, перпендикулярный этой плоскости.
Значит, вариант 1 не может иметь места. Вариант 2. Вектор ю ~ О, и винтовая ось пересекает плоскость Р в точке О. Тогда скорость произвольной точки плоской фигуры выражается формулой ч = и+ы х г, где г — радиус-вектор, имеющий начало в О и принадлежащий Р. Скорость самой точки О равна и.
Отсюда ясно, что и = О, так как в противоположном случае скорость точки О должна быть направлена вдоль со и не будет параллельна плоскости Р. Значит, ч = ю х г. Но векторы ч и г параллельны плоскости 'Р. Умножим ч векторно на г: гхч=гх(юхг)=саге — г(г иг). Вектор г всегда можно выбрать перпендикулярным иг, и тогда иг = (г х ч)/гг. Тем самым вектор ю обязан быть перпендикулярным плоскости Р. Вариант 3. Вектор со = О. Тогда для любой точки плоской фигуры должно быть ч = и, и поле скоростей поступательное. Ясно, что тогда вектор и должен быть параллелен плоскости Р.О Теорема 2.14.2. Плоскопараллельное поступательное поле скоростей есть предельный случай вращательного полл, когда угловал скорость стрелеитсл к нулю, а ось вращенил уходит в бесконечность.
Доказательство. Рассмотрим следующую систему угловых скоростей: 1гы ю1е), (гг, — юге), ю1 — юг = сг ф О. Эта система эквивалентна скользящему вектору (г, ае), где г1й/1 — Ггюг г= сг Пусть теперь г1 и гг принадлежат плоскости движения, а е — нормаль к этой плоскости. Если ю1 — юг, то вектор г, определяющий эквивалентную ось вращения, становится бесконечно большим по модулю, а а — О. Вместе с тем рассматриваемая система угловых скоростей стремится к паре, которая эквивалентна поступательному движению.0 Таким образом, плоскопараллельное поле скоростей всегда можно привести к вращательному полю, основание угловой скорости которого перпендикулярно плоскости движения. 133 2.15.
Поле скоростей гела с одной неподвижной точкой Аксоиды в плоскопараллельном движении представляют собой цилиндрические поверхности, образующие которых перпендикулярны плоскости движения. Аксоиды пересекаются с плоскостью движения по двум кривым, называемым соответственно подвилсной и неподвижной центроидами. Определение 2.14.1. Точка пересечения основания угловой скорости вращательного поля скоростей с плоскостью движения называется мгновенным центром скоростей (иногда мгновенным центром вращения).
Непрерывное плоскопараллельное движение твердого тела можно представить как качение без проскальзывания подвижной центроиды по неподвижной. Это следует из того, что скорость точки твердого тела, совпадающей с мгновенным центром скоростей, равна нулю. Если положение мгновенного центра скоростей известно, то скорость произвольной точки твердого тела, лежащей в плоскости движения, перпендикулярна к прямой, соединиющей зту точку с мгновенным центром скоростей. Вектор скорости направлен по касательной к траектории.
Зная законы движения двух точек твердого тела, можно определить центроиды как геометрическое место пересечений нормалей к траекториям точек, взятых в один и тот же момент времени, если только эти нормали не окажутся параллельными. 3 2.15. Поле скоростей тела с одной неподвнжной точкой В случае, когда твердое тело имеет одну неподвижную точку О, основание винта поля скоростей в каждый момент времени должно проходить через зту точку. Иначе возникает противоречие с требованием равенства нулю скорости точки О. Точки тела, расположенные на основании винта, также будут иметь нулевую скорость, а скорость произвольной точки тела будет выражаться формулой ч = ео х г, где г и щ имеют начало в неподвижной точке О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
