1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 20
Текст из файла (страница 20)
П Поскольку параметры Эйлера служат коэффициентами кватернионов из Нм теорема 2,6.2 и теорема 2.6.3 дают возможность найти оператор А б 50(3) по заданному кватерниону и обратно найти кватернион, описывающий то же движение, что и заданный оператор А б 50(3). Заметим, что коэффициенты кватерниона из Ны задающего преобразование х — з в соответствии с теоремой 2.8.2, называются параметрами Родриго-Гамильтона. Видим, что по смыслу параметры Эйлера и параметры Родрига-Гамильтона совпадают. 2.9. Произвольное движение твердого тела 113 П р и м е р 2.8.1 Воспользовавшись последним замечанием, легко устанавливаем связь между углами Эйлера и соответствующим кввтернноном.
Точно так же, кзк в теореме 2.7.5, этот кватерннон можно представить в виде Ь = Ье о Ьг о Ь, где Ф, Ф д .. д Ье = соз — + 1ссйп —, Ьг = соз — + (мп —, Ьв = соз — + 1сз1п —. 2 2' 2 2' 2 2 Для кврдвновых углов требуемые соотношения находятся аналогично. 3 2.9. Произвольное движение твердого тела В соответствии с теоремой 2.3.1 любой закон движения твердого тела можно выразить с помощью равенства г = А(1)х+ г'(1), где г — радиус-вектор отдельной точки тела, имеющий начало в полюсе О, г'(1) — вектор с началом в том же полюсе, одинаковый для всех точек тела, оператор А(1) б ЯО(3), х — постоянный вектор, конкретизирующий точку тела.
Движение, при котором все точки твердого тела получают одинаковое смеШение в пространстве, называется поступательным. Теорема 2.9.1. Поступательное движение реализуется тогда и только тогда, когда А — тождественный оператор. Доказательство. Необходимость. Пусть все точки тела получают одинаковое смеШение в пространстве. Закон движения принимает вид г(1) = х+а(1), где вектор а(1) один и тот же для всех точек. Выберем произвольно точки х1 и хз. Для них получим х1+ а(1) = А(1)х1+ г'(1), ха+а(1) = А(1)хз+г'(1), Вычитая из второго равенства первое, найдем хг — х1 = А(хг — х~).
Необходимость доказана, так как вектор хз — х1 может принять любое значение. Достаточность. Если оператор А — тождественный, то все точки тела одинаково смещаются на вектор г'(1).С1 Следствие 2.9.1. Произвольное движение твердого тела есть композиция вращения вокруг некоторой оси и поступательного движения. Глава 2. Кинематика 114 Теорема 2.9.2. Всякое перемещение твердого тела можно представить либо как результат поступательного движения, либо как результат винтового движения, т.е, такого, при котором поступательный сдвиг осуществляется вдоль оси вращения, определенной оператором А.
Если проекция вектора г' на ось вращения отсутствует, то найдется точка твердого тела такая, что движение сводится к повороту вокруг оси, проходящей через зту точку. Доказательство. В соответствии с теоремой 2.6.1 закон движения можно представить в виде г = х + 2до(се х х) + 2(сь х (сь х х)) + г'(1). Если вектор се = О, то имеем поступательное движение.
Пусть ск ~ О. Обозначим у точку тела, которая испытывает перемещение только вдоль направления вектора сь. Для этой точки имеем уравнение у + Лсь = у + 2до(се х у) + 2(а х (а х у)) + г'(1). Примем г'(1) =,Зсе + го(1), где го(1) 1. се, Л и,9 — скалярные параметры.
Очевидно, что тогда должно быть Л = д, так как результаты векторных произведений в исследуемом уравнении перпендикулярны вектору се, и до(се х у) + (се х (се х у)) = -го(1)/2. Это уравнение имеет множество решений, получающихся друг из друга сдвигом параллельно вектору сх. Ограничимся решением, для которого се у = О. После преобразования двойного векторного произведения последнее уравнение приводится к виду до(се х у) — сазу = — го(1)/2. Умножим его слева векторно на се.
После преобразования двойного векторного произведения получим второе уравнение: — а~(а х у) — овсе у = — се х го(1)/2. Исключив из этих двух уравнений член, содержащий (сь х у), найдем решение у = -(го + Ооа '(а х го)). 2 Выберем теперь новый полюс, соответствующий концу вектора у: х=в+у, г=г+у, 2.10. Дифференциал вращения 115 где теперь уже вектор я задает точку твердого тела.
Тогда получим г = я+ 2))е(а х я) + 2(а х (а х я)) + )За. Такое преобразование и есть композиция вращения и поступательного сдвига вдоль оси вращения, Если )1 = О, то получаем чистое вращение. П 3 2,10. Дифференциал вращения Как уже отмечалось, композиция А) о Аэ операторов Аг б ЯО(3), Ат б ЯО(3), вообще говоря, некоммутативна: Аг о Аз ~ Аз о Аы В выбранном ортонормированном репере Оегеэез действие оператора выражается матрицей.
Оператору Аг сопоставим матрицу Аы а оператору Аэ — матрицу Аз. Композиции операторов Аг о Аз соответствует произведение матриц АгАз. Некоммутативность композиции операторов связана с тем, что произведение матриц некоммутативно. Следствие 2А,2 устанавливает, что каждый линейный оператор А б ЯО(3) задает конечный поворот твердого тела вокруг собственного вектора, соответствующего собственному значению, равному единице. Композиция операторов из ЯО(3) (см.
раздел 2,5) эквивалентна последовательному выполнению конечных поворотов вокруг отличающихся друг от друга в общем случае направлений. Некоммутативность композиции операторов означает, что результат выполнения конечных поворотов зависит от того, в каком порядке эти повороты выполняются. Проиллюстрируем сказанное.
П р и м е р 2.10.1. Пусть оператор Аг определяет поворот твердого тела на угол лу'2 против хода часовой стрелки вокруг оси ез, а оператор Аз задает поворот на угол е/2 против хода часовой стрелки вокруг оси еэ. Матрицы этих операторов имеют вид Аг — — 1 0 О, Аз= 0 1 0 При действии композиции Аг о Аз сначала (см.
теорему 2.5.1) происходит поворот вокруг оси ез и вектор еэ переходит в ез — — -еы а затем П) П) осуществляется поворот вокруг вектора е~з . Произведение матриц равно Π— 1 О А~Аз= 0 0 1 — 1 0 0 Выполним теперь композицию Аз о Аг. Она означает, что сначала выполняется поворот вокруг вектора ез и вектор ез переходит в ез — — ег, П) Глава 2. Кинематика 116 П) в затем происходит поворот вокруг вектора ез .
Произведение матриц будет иметь вид АзА1= 1 0 0 Видно, что результаты применения операторов Ад о Аз и Ат о А1 получаются разными. О Пусть А й ЯО(3) есть дифференцируемая функция некоторого скалярного параметра (: А = А(Е), причем А(0) = Š— тождественному оператору. Изменяя (, получим различные повороты вокруг различных в общем случае собственных векторов оператора А((), зависящих от параметра ~. Выделим линейную по г, часть матрицы оператора А: А= Е+ЕЕ+ Матрица НА = ЕЕ определяет линейный оператор, который называ- ется дифференциалом оператора А.
Теорема 2.10.1. Дифференциалу дА оператора А б ЯО(3) отвечает кососимметричная матрица. Доказательство. Учитывая, что ААт = Е, получим (Е+ЕЕ+ ИЕ+Е~~+ . ) = Е или Е+ ~Е+ Ет к+ Последнее равенство должно быть выполнено при произвольном (. Поэтому Е = — Ет.С) Кососнмметричная матрица Е( определяется тремя числами: Е(= сз О В базисе еы ем ез матрице ЕЕ можно сопоставить вектор Ф= ) сеь а=1 Легко проверить справедливость равенства Е(х = Ф х х. В дальнейшем там, где это удобно и отсутствуют преобразования координат, будем отождествлять в записи оператор и его матрицу. 2АО, Дифференциал вращения 117 Теорема 2.10.2. Дифференциал композиции операторов выражаетсл суммой дифференциалов состав яющих операторов: И(А~ о Аг) = НА1+ НАг.
Доказательство. Рассмотрим композицию А1 о Аг. По определению дифференциала имеем ЬАг — — Ег(, ЬАг = Его, АгАг — (Е+бг(+ КЕ+Ггб+ ) = Е+Егье+8гб+ Следовательно, И(АгАг) = Е,б+ Гг(.О Видим, что дифференциал композиции операторов обладаег свойством коммутативности. Он не будет зависеть от порядка выполнения участвующих в ней операторов: И(Аг о Аг) = а(Аг о А1). Когда величина (, задающая дифференциалы дА = И(А, оАг) =Еб, дАг — — Егб, НАг = Егб, мала, то с точностью до членов второго порядка малости действие операторов А = А1 о Аг, Аы Аг можно представить с помощью векторных умножений г = Ах ав х+Ф хх, г1 = А1х аз х+Ф1 х х, гг — — Агх ав х+Фг хх. Векторы бг=Фхх, бг1 — — Ф1хх, бгг — — Фгхх называются дифференциалами вращений.
Следствие 2.10.1. Справедливо равенство Ф = Фг+Фг. Оно означает, что дифференциалы вращений образуют линейное пространство относительно композиции преобразований бг = бг1 + бгг. По смыслу вектора Ф ясно, что его влиянию не подвержены векторы х, которые параллельны Ф. Такие векторы образуют ось дифференциала вращения. Смещение бг = г — х происходит в плоскости, перпендикулярной Ф, а величина смещения равна )бг~ = ~хЦФ~ в)п д, где д — угол между Ф и х. Смещение бг можно отождествить с элементом дуги окружности, и тогда ~Ф~ получает смысл угла малого поворота. Глава 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
