1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Параметры Эйлера 99 так как дз г+ дг + дг + дзг = 1 по опРеделению паРаметРов ЭйлеРа. Отсюда 4дз — — 1+ агг + агг + азз Если окажется, что дз ф О, то, учитывая данные теоремой 2.6.2 выражения для арь, р ф й, через параметры де, ды дг, дз, получаем систему уравнений 1. Пусть де = О. Тогда, применив следствие 2.6.1, заключаем, что матрица А симметричная.
Коэффициент а»» выражается формулой аы — — 2д, — 1. г Отсюда можно найти дь Если дг ф О, то получаем систему П, Если дг = О, то применим уравнение агг = 2дг — 1, г позволяющее в этом случае найти дг. При дг ф О имеем систему 1П. При дг = О получим систему 1Н.Сг Заметим, что каждая система уравнений теоремы 2.6.3 имеет ровно два решения, противоположных по знаку. Оба решения отвечают, как и следовало ожидать, вращению твердого тела на углы о+ 2яп, и Е Е.
Все эти углы дают одно и то же положение твердого тела в пространстве. П р и м е р 2.6.1. Пусть матрица оператора А задается углами Эйлера у», д, »р, так что А = АвАеА„. Коэффициенты аге матрицы А выражаются формулами Для расчета параметров да, дь дг, дз воспользуемся теоремой 2.6.3. Вычислим 4да г— — 1+ аы + агг+ азз. Подставим значения коэффициентов: г гд г»р+»р д = сов — сов Пусть дз ~ О. Применяя формулы случая! теоремы 2.6.3, найдем »р + д»»р — д» дадт = сов — вш — сов соз 7» аы = а»г = огз = аг» = агг = огз = озг = озг = озз = соз д соз уг — вш»д сов д вш — соз»д в1п д» вЂ” вш д сов д сов у», з1пдвшд, ап т/~ сов»р + сов»р сов д в1п»р, — з1п д в1п»р + соз д» сов д соэ дг, — создв1пд, з1п д вш у», з1п д соз д», соз д. Глава 2.
Кинематика 100 д д 1р+ Ч1, ог — Ч! додг = — соз — з!п — соз 2 2 2 2 81п Ч+Ф . Р+Р додэ = соз -соз 2 2 2 з!п —. В результате имеем дза решения. д р+Ф . д р — Ф 1) Чо = соз — соз , Ч1 —— з!п — соз д . р - д д . 1е + д Чг = — 8!п — 81п, Чз = соз 81п 2 2 ' 2 2 . д р-Ф д! —— — 81п — соз —, 2 2 д 22+ Ф 2) до = — соз — соз —, 2 2 д . 22 — 82 д . 1р+82 81п — 81п —, Чз = — соз — 81п 2 2 ' 2 2 соз(2Р— 1р) з!П(Ч! — 1р) 0 А = 81П(4 — ог) — соз(Ч! — 1р) 0 0 0 1 Вычислим 2д12 — — 1+ а1! —— 1+ соз(4 — 1р). Предположим, что д! ~ О, Имеет место случай П теоремы 2.6.3, для которого Чо = О, Ч! — соз —, Ч!Чг = 81п — соз —, 2 2 т' ~р ° т 1р 4 ~р 2 ' 2 2 дгдз = О.
Отсюда получаем решения: Ф вЂ” !О !г' — Ч! 1) Чо = О, д1 = — соз — дг = — 81п —, 2 ' 2 Чз = О Ф-р . Ф-р 2) до=О, Ч1= соз —, Чг= зш —, 2 ' 2 Ч, = О. Когда Ч! = О, то формулы случая П1 теоремы 2.6.3 дают Чо О Ч1 О Ч2 1 Чз О г Параметр Чо принимает нулевое значение, когда либо соз(д/2) = О, либо соз([р+ 4]/2) = О, лиБо оба эти сомножителя вместе равны нулю. Вариант 1: соз(д/2) = О, соз([1р+ Ч1]/2) ф О. Тогда Чо = 0 и матрица А примет аид 2.6.
Параметры Эйлера 101 Вариант 2: сов(д(2) уВ О, сов([у+ гр](2) = О. Имеем оо = О, а козффициенты арв матрицы А примут вид Здесь учтено, что сову = — сов4 и вшог = я!игр. Матрица А оказыва- ется симметричной (см. следствие 2.6.1). Имеем 2ог = 1 + а11 — — 1 — совг гр — в!пг гр соя д = вгпг гр(1 — сов д). Пусть о1 ф О. Тогда в соответствии со случаем П теоремы 2.6.3 найдем 2 2 2 д,, д,, д д туз =О, о1 — згп гдв!п —, огдг = — вгпгд созгр вш —, дгоз=яшгрягп — сов —.
2 2' 2' 2 2 Это дает решения: д д д 1) яо = О я! = 81п4'згп гуг = созгря!и —, оз = — сов —, 2 2' 2' д, д д 2) Чо = О, о! = З1пгдзгп-, ог = — сов!да!о —, оз — соз —. 2' 2' 2' Предположим, что оо — — О и о1 —— О. Тогда либо вшгр = О, либо 1 — совд = О, либо одновременно Ип!д = О и 1 — созд = О. Пусть сначала Ип гр = О, а 1 — сов д ~ О. Матрица А принимает вид -1 О О А = Π— совд — ягпд Π— Ипд сов д и получаются решения (случай!И теоремы 2.6.3): д д ог = ЯП вЂ”, Яз = — СОЗ вЂ”, 2' 2' 1) о, = О, д, = О, д Ог = — В1П вЂ”, Оз = 2' д сов —.
2 2) оо = О, я1 = О, а!г —— о!в = аг1 = а22— агз = аз1 = азг = азз = совг 4 — згпг гд сов д, Ип гд сов гр(сов д — 1), ягп гр яш д, в(п гР сов !д(соя д — 1), вгп гр — совг гр сов д, сов4~вш д, вш гд вш д, сов гр з(п д, сов д. Глава 2. Кинематика 102 Если 1 — сов д = О, то при любом значении 1Р матрица А имеет вид А= О -1 О что соответствует случаю !Ч теоремы 2.6.3. Вариант 3: сов д/2 = О, сов((у2+ 4]/2) = О. В этом случае — сов 2ф — в1п 24~ О А = — вш 21Р сов 22Р О О О -1 Теорема 2.6.3 дает следующие решения. 1) до=О, 21= — в1пд, 72= совФ, Чз=О, 2) йа — — О, д1 —— в1п2Р, й2 = — сов 4, дз = О. 3 2.7. Параметры Кэли-Кле(вна Рассмотрим движение твердого тела, имеющего в репере Ое1езез одну неподвижную точку, совпадающую с точкой О: з з г=Ах, Або(3), г=~ ге, х=~~ гуе2. Векторам г и х поставим в соответствие комплексные матрицы гз + 1гз ~ и -гг + 1гз -н'1 1 г1 г2 + 1гз г2 + 1гз 1г1 / Такое соответствие взаимно однозначно.
Определение 2.7.1. Пусть Р— матрица с комплексными компонентами. Сопряженной к ней называется матрица Рт Тем самым пример 2.6.1 полностью разобран.О Теорема 2.6.3 решает задачу о вычислении параметров Эйлера по заданным элементам матрицы А в общем случае. При изменении расчетных формул, связанном с переходом от варианта к варианту, всегда может быть обеспечен непрерывный переход от одного типа решения к другому (см. пример 2.6.1). 2.7. Параметры Коли-Клейна 103 где черта сверху означает переход к комплексно сопряженным компонентам.
Матрица гл называется эрмитовой (самосонряженной), если Р' = гл', и носоэрмитовой, если О' = -й. Очевидно, что Р„'= — Р„и Р" = — Р„т.е. матрицы Р„и Р, оказываются косоэрмитовыми. Кроме того, след этих матриц (сумма их диагональных элементов) равен нулю, Всякую косоэрмитову матрицу Р с равным нулю следом можно представить в виде суммы Р = рг о'г + ргог + рзоз, где ры рг, рз — действительные числа, ог = 1рз, ог = 'Рю оз = 1рг, а Ры Рг, Рз — сииновые матрицы Паули: Рг = 1 0 Рг = 1 0 Рз— Матрицы оы ог, пз вместе с единичной матрицей 0 1 линейно независимы.
Используя правило умножения матриц, можно убедиться, что ого1 = огог = озоз = — Е, огог = ого1 = оз, озог = — огоз = пг, огиз = — пзпг = о1. Определение 2.7.2. Матрица с комплексными компонентами называется унитарной, если Я'Я = Е. Свойство унитарности аналогично свойству ортогональности действительных матриц. Если матрица Ц унитарна, то де1й) . с1еФЯ = 1. Тем самым модуль определителя унитарной матрицы равен 1. При этом на аргумент определителя не накладывается никакого ограничения. Рассмотрим свойства коэффициентов унитарных матриц Я, для которых пег Я = оо — ~37 = 1. Глава 2. Кинематика 104 По отношению к унитарным матрицам это — дополнительное требование.
Матрица Я содержит восемь действительных параметров, так как каждый из ее четырех элементов есть комплексное число. Раскроем условие унитарности: ('- ))(: ()=(' ') Выполнив умножение матриц, найдем уравнения аа+уу=1, а)у+уб=О, аф+уб=О, Щ+бб=1. Видим, что третье уравнение есть следствие второго. Первое и четвертое уравнения — действительные. Второе уравнение — комплексное.
Из него следует: фб = — т/а. С помощью этого соотношения преобразуем выражение для детерминанта: аб — 131 = (а — Я/6)6 = (а + у у/а)6 = (аа + уу)б/а = 1. Согласно первому уравнению величина, стоящая в скобках, равна единице. Следовательно, б = а и )1 = — у. Унитарная матрица 1'„1 принимает вид Компоненты а и 11 подчиняются условию е)еФ Я = аа + ф~у = 1. Из-за этого условия матрица Я содержит только три независимые величины.
Как раз ровно столько, сколько нужно для определения ориентации твердого тела в трехмерном пространстве. 'Георема 2.7.1. Унитарные матрицы Я такие, что е1егЯ = 1, образуют группу относительно операции умножения. Доказательство. Роль единицы играет матрица Е, так как она унитарна. Пусть матрицы Щ и Яг удовлетворяют условиям Я~Яг = Е, 9гЯг — — Е, е)е191 —— 1, ОегЯг = 1. Покажем, что матрица Я = ЯЯг удовлетворяет тем же условиям. В самом деле, Я' = 9Я;. Следовательно, 2.7. Параметры Кали-Клейна 105 ЙеЩсЯг) = деС Яс Йег Яг = 1.П Определение 2.7.3.
Группа унитарных матриц (2 х 2) с определителем, равным единице, называется груаяой Я7(2). Рассмотрим преобразование Р, — Р, обусловленное матрицей Сй Е 50(2): При таком преобразовании матрица Р, как и Р, будет косоэрмитовой: Р' = Я")'Р;Ч' = Я( — Р,)Я' = — Р. Кроме того, О.' = О. к. Поэтому рассматриваемое преобразование сохраняет все собственные значения, а следовательно, сохраняет и след. Значит, Р имеет след, равный нулю. Отсюда Р = ргн, + ргег + рзез.
Далее, рассматриваемое преобразование сохраняет детерминант: оеСР— Рг+ Рг+ Рз = к)еСР = *с +ег+*э г г г г г г Тем самым длина вектора в Вэ, соответствующего матрице Р„совпадает с длиной вектора в Яз, соответствующего матрице Р. Другими словами, каждой матрице О Е ЯЦ2) можно поставить в соответствие некоторый ортогональный оператор А 6 ЯО(3), действующий в пространстве Ез.
Установим закон этого соответствия. Пусть Р = ~~~ ~ ауе, 1кц где н — базисные косоэрмитовы матрицы. Тогда з ЯРЯ' = ~ хЯеЯ'. Матрицы е1 — косоэрмитовы со следом, равным нулю. Значит, такими же будут и матрицы фткр*, у = 1, 2, 3. Они, как и матрица Р, представляются в виде разложения по матрицам еу с действительными коэффициентами: Глава 2. Кинематика 106 Коэффициенты аку можно вычислить, зная компоненты о, 13, у, б матрицы Я. Отождествим Р и Р,.
Сравнивая коэффициенты в выражении Р„= ЦРЯ' при базисных косоэрмитовых матрицах, найдем з гк = ~ акухб. Тем самым коэффициенты аку суть компоненты искомой ортогональной матрицы оператора А. Видим, что матрицы ог, будучи базисными для матриц Р, преобразуются так же, как векторы репера, жестко связанного с твердым телом. Определение 2.7.4. Компоненты а, д, у, б матрицы Я Е Я/(2): 7 = -)3, б = о, аа+ Д3 = 1, называются параметрами Кали-Клейна. Параметры Кэпи-Клейна могут служить для определения ориентации твердого тела. Теорема 2.7.2. Пусть оператору А1 Е ЯО(3) отвечает матрица Як Е ЯП(2), а оператору Аг Е 50(3) отвечает Яг Е ЯП(2).
Тогда композиции преобразований Ак о Аг соотвегаствует матрица 9 = ЯкЯг Е ЯП(2). Доказательство. Сначала применим оператор Аг. г = Агх. Это преобразование по условию теоремы можно описать формулой Применим теперь к вектору г оператор Ак. г = Акг. Тогда Рс = ЯкРсб;);. Подставляя выражение для матрицы Р„получим Р, = Окдгрд2д1,. По (евкс,ег) = Яг9; и произведение двух унитарных матриц есть также унитарная матрица. Поэтому матрица преобразования, получающегося в результате композиции, имеет вид Я = ЯкЯг.Сг Установим соответствие между параметрами Кали-Клейна и параметрами Эйлера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
