1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Доказательство. Действие операторов с определителем, равным — 1, проанализировано в вариантах 3 и 4. Оказалось, что такие операторы всегда содержат зеркальные отражения,с) Определитель ортогонального оператора А непрерывно зависит от времени и, следовательно, при движении остается постоянным. Это означает, что репер, связанный с твердым телом, сохраняет свою ориентированность. В начальный момент его всегда можно выбрать той же ориентированности, что и неподвижный репер. При этих условиях определитель оператора А всегда будет равен +1. В дальнейшем ограничимся изучением действия операторов из группы ЯО(3).
2.5. Угловые координаты твердого тела 89 Теорема 2.5.1. Оператор Аз в композиции А = А()) о А(з) пре(») образует векторы е; е точности по тем же формулам, ио каким он преобразует вектор»с еы ез, ез пространства Ез. Доказательство. Применяя оператор А, найдем з з з Ае; = А(~) о А(з)е = А(~) ч а( )е = ч а( )А(~)е = ~~а( )е( ).П Следствие 2.5.1.
Столбцы матрицы оператора А(з) суть компоненты векторов е( ) конечного базиса, взятые относительно промежуточного базиса е»~ ), е(з, е(з, полученного в результате де(ь ствия оператора А('). Пусть Во = (еы ез, ез) исходный базис, В» = (е,, ез,ез ) (») (») (») промежуточный базис и В» =(е,,ез,ез ) (») (») (») конечный базис. Действие композиции А = А(') о А(з) можно представить как следующую последовательиость преобразований базисов: В» = А(»)Во, В» = А(г)В» Другими словами, сначала с помощью оператора А(1) осуществляется переход от базиса Во к промежуточному базису Вы а затем с помощью оператора А(з) выполняется переход от промежуточного базиса В» к конечному базису В».
Напомним, что матрица композиции линейных операторов равна произведению их матриц, взятых в том же порядке, в котором операторы участвуют в композиции. Пусть теперь указана последовательность ортоиормироваииых базисов В» = (е('), е(з, ез(')), 1 = О, 1, 2,..., (е, и линейные операторы А(() перехода от одного базиса к другому: Тогда оператор А, переводящий исходный базис Ве в конечный базис В», можно найти как композицию А = А(') о А(з) о ... о А(»), Глава 2. Кинематика 90 а матрицу оператора А — как произведение матриц составляющих операторов.
Выясним теперь, какое минимальное число параметров требуется, чтобы однозначно определить положение твердого тела в пространстве. Всякому оператору А б ЯО(3), взятому в конкретном ортонормированном базисе, отвечает ортогональная матрица а» а>г а>з А = аг> агг агз аз> азг азз Условие ортогональности АтА = Е приводит к шести уравнениям на коэффициенты а;>. 3 а;а =бг ) 1, если (=у, '10, если > ~ ), >у = 1,2,3. р=> Всего коэффициентов девять.
Следовательно, имеется три свободных параметра, полностью определяющих действие ортогонального оператора в Ез. Так как А б ЯО(3), то дополнительно должно быть выполнено условие >)е(А = 1. Поскольку определитель ортогонального оператора равен 1 или — 1, последнее условие, не уменьшая числа свободных параметров, сужает множество, которому они могут принадлежать.
Три параметра, однозначно определяющие оператор А б 50(3), могут быть выбраны различными способами. Укажем один иэ наиболее распространенных. Пусть требуется найти параметры оператора А, действие которого состоит в том, что е, = Ае>, ег = Аег, ез — — Аез, (ь) (ь) (ь) где е,, ег, ез — заданный произвольный ортонормированный правоориентированный базис. Пусть сначала ез ф ез.
Построим (ь) промежуточные базисы (ь) (г) ез х ез (г) (ь) (г) (г) (ь) е, ег = ез " е> ез — ез )ез х ез ез — — ез. Оба базиса, как нетрудно видеть, — правоориентированные. Переход от базиса е>, ег, ез к базису е>, ег, ез можно представить в виде (ь) (») (ь) последовательности Аьч А('> А('> Ва ~ В> — Вг Вю 91 2.5. Угловые координаты твердого тела Преобразование от базиса Вз к базису В» оставляет неподвижным (») (з) (») вектор е(з ).
Матрица А(з) описывает поворот вокруг вектора е( Угол этого поворота обозначим у и назовем углом собственного вращения. Матрица оператора АОО имеет вид сов ф — в1п ф О в(п )а сов )з О О 1 Переход от базиса В| к базису Вз оставляет неподвижным вектор е; . МатрицаА(з) описываетповорот вокругвекторае( . Угол этого (1) (') поворота обозначим д и назовем углом нутации. Матрица оператора А(з) имеет вид 1 О О А(~) = О совд — в(пд О в)пд совд Переход от базиса Ва к базису Вз оставляет неподвижным вектор ез.
Матрица А(') описывает поворот вокруг вектора ез. Угол этого поворота обозначим т/~ и назовем углом прецессии. Матрица оператора А()) имеет вид сов»з — в1п»з О А(~) = в)пд сов 4 О О О 1 Оператор А есть композиция операторов: А = А(1) о А(з) о А(з), а его матрица вычисляется как произведение матриц: А А())А(з)А(з) Углы ф, д, ~р носят название углов Эйлера. Теорема 2.5.2.
Существуют углы Эйлера, задающие произвольное положение твердого тела относительно базиса Ва. Доказательство. Если ез ф ез, то справедливость теоремы (») следует из определения углов Эйлера. Если ез = ез, то базис Вз (") не определен. Его можно тогда принять совпадающим с базисом В). Будем иметь д = О. Получим композицию А = А(') о А(з), которую можно заменить одним поворотом на угол ~р+ ф вокруг вектора ез. О Рис. 2.5.1 иллюстрирует последовательность поворотов при использовании углов Эйлера. Сначала происходит поворот на угол прецессии 4~ вокруг вектора ез, и базис Во переходит в базис (е1, ез, ез). (») (») Глава 2.
Кинематика (1) Затем выполняется поворот на угол нутации д вокруг вектора е~ и базис ()) П) (ед, ез, ез) переходит в Наконец, поворот на угол собственного вращения у переводит базис в базис Вы жестко связанный с телом. Прямая с направляющим ('1) вектором е~, проходящая через точку О, называется лэииеа узлов. Углы Эйлера задают последовательность вращений: сначала на угол прецессии З) вокруг оси ез, затем на угол нута- 1О ции д вокруг повернутого на е угол т) положения первой оси и, наконец, на угол собственег ного вращения ~р вокруг нового положения третьей координатной оси, получившегося после первых двух поворотов. Рис.
2.5.1. Углы Эйлера Представляет интерес аналогия углов Эйлера 1) и д полярным координатам точки на плоскости. Концы единичных векторов принадлежат сфере единичного радиуса с центром в точке О . На рис. 2.5.2 условно изображена такая единичная сфера. Положение кон- (ь) ца вектора е~ на ней фиксируется следующим образом. Углом к) задается положение дуги большого круга, плоскость которого проходит через вектор ез и содержит вектор ез . Положение вектора 1ь) И) ез~ ) в этой плоскости задается углом нутации д. Угол 4~ аналогичен полярному углу, а угол д — полярному радиусу. Углы Эйлера доставляют минимальный набор координат, определяюших положение твердого тела. Когда они заданы, матрица оператора А вычисляется однозначно.
Обратное неверно. Одному и тому же оператору А отвечает множество наборов углов Эйлера, так как каждый из углов может быть найден с точностью до слагаемого, кратного 2х. Чтобы избавиться от этого неудобства, следует учесть, 2.5. Угловые координаты твердого тела Дуга большого круга между точками пересечения осей ез и ез со сфе(д) рой отвечает углу нутации и аналогична полярному радиусу.
Угол прецессии задает вращение этой дуги вокруг вектора ез и аналогичен полярному углу. Угол собственного вращения осуществляется вокруг (ь) оси ез( ), и к отмеченной аналогии отношения не имеет. Рис. 2.5.2. Аналогия углов Эйлера полярным координатам Аед — — е (ь) Аег = ег (д) Аез = е( ). з — з Выберем следующую последовательность промежуточных базисов: (г) (ез х ед) х ег (г) ез х ед (г) (д) (ь) (д) (д) ед еэ = ез ! з " ! !ез х ед! е()=е е()=е() ез ед ег (д) (г) Переход от базиса Вг к базису Вь оставляет неподвижным вектор (ь) ез( . СоответствУющий опеРатоР А(з) задает повоРот вокРУг векто(д) ра е( ). Угол этого поворота обозначим 'у. Матрица оператора А(э) имеет вид сов 7 — Здп 7 О А(э) = вшу соз у О О О 1 Переход от базиса Вд к базису Вг оставляет неподвижным вектор е(г ). Оператор А(г) задает поворот вокруг вектора е(г .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
