1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 14
Текст из файла (страница 14)
1.23. Пусть г — радиус-вектор, имеющий начало в точке 0 и конец в центре масс множества й точечных масс, А, В, С вЂ” главные центральные моменты инерции множества й. Найти момент инерции множества Я относительно оси с направляющим вектором е, проходящей через точку О. Контрольные вопросы к главе 1 75 1.24. Доказать, что если точечные массы множества Я расположены симметрично относительно плоскости Р, причем симметричным точкам отвечают одинаковые массы, то а) центр масс системы принадлежит плоскости Р; Ъ) одна из главных осей инерции множества й перпендикулярна плоскости Р.
1.25. Доказать, что если точечные массы множества й симметричны относительно оси, причем симметричным точкам отвечают равные массы, то а) центр масс множества й принадлежит этой оси; Ъ) одна из главных осей инерции множества Я совпадает с этой осью. 1.26. Доказать теорему Гюйгенса-Штейнера без привлечения леммы 1. 10. 1, воспользовавшись непосредственно определением осевого момента инерции. 1.27. Применив теорему Гюйгенса-Штейнера, доказать, что осевой момент инерции не зависит от расположения точки О на соответствующей оси.
1.28. Методом геометрии масс доказать, что сумма квадратов расстояний от вершин правильного и-угольника до любой точки, взятой на описанной около него или вписанной в него окружности, есть величина постоянная, не зависящая от положения точки на окружности. 1.29. Пусть точечные массы ты тт, тз расположены на концах координатных ортов. Найти тензор инерции. Показать, что этот тензор удовлетворяет теореме 1.12.1. 1.30. Каков критерий тензора инерции в главных осях инерции? 1.31.
В примерах 1.14.1 и 1.14.2 указать вид поверхности У'(х, х) = 1 (см. э 1.8). 1.32. Определить центральный тензор инерции для гантели, состоящей из однородного стержня массы гп и длины! и прикрепленных к концам стержня одинаковых однородных шаров массы М и радиуса г каждый. Глава 2 Кинематика Кинематика — это раздел механики, в котором с геометрической точки зрения изучаются пространственно-временнйе свойства движения различных объектов. С целью практических приложений значительное внимание уделяется рациональным методам расчета скоростей и ускорений отдельных точек, как изолированных, так и входящих в состав абсолютно твердых тел.
Владение такими методами полезно при разработке реальных механических систем, выявлении структуры их виртуальных перемещений, составлении уравнений динамики. Движение происходит во времени 1 6 1 С Я, где 1 — заданный интервал множества В действительных чисел. Выберем множество Х С Еэ. Задать движение Х вЂ” значит указать, какое положение в пространстве Еэ займет любая точка из Х в произвольный момент времени ~ б 1. Множество одновременных положений точек из Х для фиксированного времени ~ обозначим Х(1).
Движение будем рассматривать как взаимно однозначное преобразование Х- Х(1), ~б1. В зависимости от особенностей движения к этому преобразованию предъявляются специальные требования. В частности, примем, что оно по крайней мере дважды дифференцируемо по времени и что существует значение ~а б 1, для которого Х = Х(1э). й 2.1. Скорость точки Пусть множество Х содержит лишь одну точку. Положение точки Х в пространстве Еэ будем задавать ее радиусом-вектором г с началом в фиксированном полюсе О.
При движении точки ее радиус- вектор меняется в зависимости от времени: г = г(г). Вектор-функция г(~) задает замом дамжемия точки. Кривая в Еэ, состоящая из последовательных положений точки Х(~) при ее движении, называется траекторией точки. 2.1. Скорость точки Рассмотрим два положения точки Х(1) и Х(1+ а), соответствующие моментам времени 1 и 1+ а. Точке Х(1) отвечает радиус-вектор г(1), точке К(1+ и) — радиус-вектор г(1) + Ьг = г(1+ а). Величина Ьг есть вектор перемещения точки эа время а. Отношение вектора егг ко времени перемещения называется ередией скоростью эа время а". и,р —— Ьг/~т. Предел этого отношения при и — О называется скоростью точки: Ьг е1г и = 1ппи,р —— 1пп — = — = г.
а, а а Й Выражение г есть общеупотребительное обозначение производной от вектора г по времени. По отношению к траектории точки вектор Ьг задает секущую. При в — О вектор иер займет предельное положение, совпадающее с положением касательной к траектории в точке Х(1). В пространстве Еэ введем декартову систему координат с началом в точке О и условно неподвижным ортонормированным базисом еы ег, ез. Тогда г = ггег + ггег + гзез, где числа гы гг, рб суть координаты вектора г в указанном базисе.
При движении точки Х(1) координаты вектора г представляют собой функции времени и потому в репере Оегегез аг1 Й г агз и = игег + игег + иэеэ = — ег + — ег + — ез, Й Й Й так что компоненты вектора и получаются дифференцированием по времени координат движущейся точки. Модуль скорости точки можно выразить следующим образом: аг аг аб и = 1и) = ~(и и = г/— )/,Д12 Й ' где дб — дифференциал длины дуги траектории точки. Направление отсчета дуги совпадает с направлением движения точки Вцоль траектории: Ыб/а1 > О.
Сместим вектор и(1) параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с полюсом О. Получим вектор У(1). При изменении 1 конец вектора й(1) опишет в пространстве кривую, называемую годографом скорости. В дальнейшем векторы и и У будем отождествлять. Пусть скорость точки известна в каждый момент времени.
Тогда с точностью до векторной константы закон движения может быть Глава 2. Кинематика Т8 восстановлен посредством квадратур. В самом деле, .,(1) (1+ сг 1 м Постоянная с = сгег + сгег+ свез определяется по положению точки в некоторый начальный момент времени 1в. Вектор с можно сделать равным нулю, специально выбрав полюс О, Простейшим можно считать движение, при котором и — постоянный вектор.
Такое движение называется равноиерным. Его закон имеет вид г(1) = (М вЂ” ге)т+ с. Траектория любого равномерного движения есть прямая линия. П р и м е р 2.1.1. Пусть хь хг, хз — декартовы координаты точки Х(г), и закон движения имеет вид хг = о+ тссовыг, хг = 6+ ггвгпмг, хз = с, где а, 6, с, ы,  — постоянные. Траектория получается после исключения й (хг — а) +(хг — 6) = Ггг, хз = с и представляет собой окружность с центром в точке (а,6,с), расположенную в плоскости, перпендикулярной к третьей оси. Компоненты скорости найдем, дифференцируя закон движения: г(хг ег = — = И.
сов ыг, ез = О. гй Ихг в1 —— — = -Иав(пыг, Й 8 2.2. Ускорение точки Вектор ускорения определяется как скорость движения конца вектора т(1) по годографу. Другими словами, ускорение гбила) г(гг(1) гй Йг есть вторая производная от радиуса-вектора по времени. Символ г часто используется для обозначения ускорения.
Следовательно, годограф скорости — зто окружность радиуса И > с центром в начале координат, лежащая в плоскости первой и второй координатных осей.о Глава 2. Кинематика 80 в точке Х(1) для соприкасающейся окружности и для траектории, совпадают. Определим единичный вектор ф бинормали к траектории по фор- муле 13 = т х и. Оси координат с началом в точке Х(1) и направляющими единичными взаимно перпендикулярными базисными векторами т, и, 13 называются естественными осями. Представим ускорение в виде суммы Теорема 2.2.1. Проекции ускорен я на естественные оси даютея формулами „г ю Р Ио ют — ив дг ' Доказательство. Учитывая результат дифференцирования вектора и = от и используя понятие радиуса кривизны, найдем „г ие = — т+ — ы.0 а'е р Следствие 2.2.1.
Усхорение точки принадлежит соприкасающейся плоскости, Можно также сказать, что соприкасающаяся плоскость натянута на вехторы скорости и ускорения. Модуль ускорения определяется равенством гг — В вгп ыг, г1 = НсозИ, гз = ае. Определить траекторию и найти вв радиус кривизны. Если векторы скорости и ускорения коллинеарны, то соприкасающаяся плоскость не определена, а р = со. Так, например, будет, когда траектория движения точки представляет собой прямую. То же будет и в точках перегиба траектории. Отметим, что в общем случае проекция ю„ускорения аналогична центростремительному ускорению при движении точки по окружности. П р и м е р 2.2.1, Пусть точка движется в соответствии с законом 2.3. Закон движения твердого тела 81 Решен и е.
Траектория представляет собой винтовую линию на поверхности кругового цилиндра радиуса ге. Образующая цилиндра параллельна третьей оси. Найдем векторы скорости и ускорения; ъ = г = (-Вгвгпеге, Высовы1, а), ж = ч = ( — 1йггсовыг, — й,Рвгп1гг, О). Видим, что ч ти = О. Поэтому и1„= ев. Отсюда г 2 Ог г+аг и1г = — = ПЕг, Р ее о г В данной задаче, если а ф О, радиус кривизны р оказывается больше радиуса 12 цилиндра, поверхности которого принадлежит траектория.О 8 2.3.
Закон движения твердого тела Твердым телом называется множество точек, попарные расстояния между которыми постоянны. Закон движения твердого гпела относительно некоторого репера есть правило, позволяющее однозначно установить в этом репере закон движения любой, произвольно взятой точки тела. Лемма 2.3.1. Длл определение закона движения твердого тела достаточно гадать законы движения трех его точек, не лежащих на одной прямой. Доказательство. Пусть относительно некоторого репера с началом в точке О заданы законы движения трех точек твердого тела Г1(1) Г2И), гзн), не лежащих на одной прямой.
Обозначим К1 = Г2 — Г1, еьг = Гз — Г1. По условию леммы д(В~! д(В~! сЦВ~ — В ~! д д д Единичный вектор ез определим равенством В1 ХВ2 з — )Вч „В~! В - Мог Глава 2. Кинематика 82 Этот вектор существует, так как заданные точки не принадлежат одной прямой. Пусть г — радиус-вектор произвольной точки тела. Тогда справедливо равенство г — гг = В(1) = Л1В1 + Лгв,з + Лзез, где Лг, Лз, Лз не зависят от времени. В самом деле, умножив это равенство скалярно сначала на Вы а затем на В.з,получим относительно Лы Лз систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами В В =Л~Н,+Лая В, В Вг = Л1В1 Вз+ Лгвг.
Определитель этой системы Ь = В,Аз[1 — соз (Вм Вз)) = [В1 х Вг[ отличен от нуля. Следовательно, Л1 и Лз всегда существуют и постоянны. Постоянным будет и скаляр Лз, задающий расстояние от точки до плоскости векторов Вы В,г, неизменно связанных с телом. Таким образом, имеем взаимно однозначное соответствие между точками тела и тройками постоянных коэффициентов Лы Лз, Лз. Закон движения произвольной точки тела дается выражением г(1) = В.(1) + г1(1).П Теорема 2.3.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
