1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Радиусы-векторы точек из й, имеющие начало в С, обозначим го 1 = 1,..., п, так что и т1г; = О. 1ю1 1.10. Преобразование зллипсоида инерции 51 С помощью радиуса-вектора г, имеющего начало в точке С, зададим произвольную точку О. Радиусы-векторы точек из Я, имеющие начало в точке О, обозначим г;.

Тогда будем иметь г; = г', — г. Для точки С значение билинейной формы дается выражением о Т,(х,у) = ~~! т;(г' ,х х) (г; 'х у), !=! а для точки О по-прежнему будем иметь н 'Т(х, у) = ~~!~пи(г; х х) (г! х у). Зададим Тм(х, у) = М(г х х) (г х у) билинейную форму в точке О, возникающую, если в центре масс рас- сматриваемого множества ьс поместить его суммарную массу о М=~ т!. Лемма 1.10.1. Действие формы 'Т(х,у) выражается суммой Т(х,у) = Т,(х,у)+Ты(х,у).

Доказательство. Подставив в правую часть формулы, определяющей Т(х, у), выражение г; = г; '— г, получим 'Т(х, у) = ~', т![(г; '— г) х х] [(г; '— г) х у] = !и! о (!е и т!(г'; х х) (г'; ху) — (гх х). ~~ ~ т;г'; х у !=! !н! / н [ 1, 'т;г; 'х х (г х у) + М(г х х) (г х у). 1=! Учитывая, что т!г;=О, вы! убеждаемся в справедливости леммы.0 Форма Т,(х, у) порождает в точке С тензор инерции 1е, называемый центральным тензором инерции, а форма 'Тм(х,у) — в точке О тензор инерции Лм.

Лемму 1.10.1 можно переформулировать следующим образом. Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства 52 Теорема 1.10.1. Тензор инерции Л мнолсества й, взятый в точке О, равен похомпонентной сумме центрального тензора инерции Л' того же множества ьг и тензора Лм точки С, когда в ней помещена суммарная масса М. Подробнее, если заданы ортонормироваиные базисные вехторы ем ез, ез, то Зрг — — Л„;+Л„,, р,я=1,2,3.

Доказательство. По определению тензора инерции найдем Лре — — 'Г(ер, ег) = Т,(ею е ) + Тм(ер, е ) = Л', +,7'~.0 Форма Тм(х, у) и, следовательно, тензор Л~ не зависят от расположения точек множества 1Л относительно центра масс. Они характеризуют расположение множества Я "в целом" относительно точки О. Формулы для расчета Л~ достаточно просты: ,7м = М(г х е )з = М[г~ — (г. ер)~), р = 1,2,3, ,Ум = М(г х ер) (г х ер), р ь7. д, р, д = 1, 2, 3. В частности, Л1 есть произведение суммарной массы на квадрат расстояния от центра масс до оси с направлением ею проходящей через точку О. Особенности "внутренней" структуры множества Я отражаются формой Тс(х,у) и связанным с ней тензором Л'. Теорема 1.10.1 дает возможность, определив однажды этот тензор, эффективно пересчитать его для любой интересующей нас точки пространства.

Перейдем к характеристикам эллипсоида инерции. Взятый относительно центра масс множества Я он называется центральным зллипсоидом инерции, его главные оси — главными центральнььми осями инерции, а моменты инерции относительно этих осей — главными центральными моментами инерции. Согласно определению, эллипсоид инерции с центром в точке О есть геометрическое место таких точек Р, расстояние от которых до точки О обратно пропорционально квадратному корню из момента инерции относительно оси, проходящей через точки О и Р.

Рассмотрим, как преобразуются осевые моменты инерции при переходе от полюса к полюсу. Теорема 1.10.2. (Гюйгенса-Штейнера). Момент инерции Л, относительно оси с произвольным направлением е, проходящей через точку О, равен сумме момента инерции Л,' относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения суммарной массы на хвадрат расстояния Н между осями: ,7, = Л,' + Ма~ = Л; + М(г х е) = Л; + М 1г~ — (г е) ].

1.10. Преобразование эллипсоида инерции 63 Доказательства. Пусть направление оси задано единичным вектором е. Применяя лемму 1.10.1, найдем ,1, = 'Т(е, е) =,7,' + М(г х е)э, о, ) Мг(э. Выберем произвольно на числовой оси и точек с координатами хг, хш, .., х„и сопоставим им массы гпг, гпэ,...,пэ„. Взяв момент инер- ции относительно перпендикуляра к числовой оси, проходящего через нулевую точку, получим ~~у гп! г=! г=! причем равенство достигается тогда и только тогда, когда х! —— ... — — х„. Выберем какие-нибудь не равные нулю числа 6!, Ьэ,...,Ь„и положим о! х;= —, г=1,...,п.

Ь;' гп! =Ь,, 2 Подставив эти выражения в полученное неравенство, найдем ~ агЬ! < ~~! а; ~~ Ь!1 Это неравенство называется нераеенствои Коши-Буняковского. Легко показать, что оно справедливо также, когда некоторые из чисел 6г,...,6„обращаются в нуль,О П р и м е р 1.10,2. Найти геометрическое место точек плоскости, для которых сумма квадратов расстояний от и заданных точек той же плоскости постоянна и равна а~.

Ре ш е н и е. Поместим в каждую из заданных точек массу, равную единице. Обозначим С центр масс образовавшегося множества точечных Но ~г х е) есть произведение модуля г радиуса-вектора на синус угла между г и е, что представляет собой расстояние И между осями.С! Как следствие отметим, что момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, меньше момента инерции относительно любой другой параллельной оси. П р и м е р 1.10.1. Из теоремы Гюйгенса-Штейнера следует нера- венство Глава В Векторные свойства евклидова пространства 54 масс.

Пусть Π— произвольная точка плоскости. По теореме ГюйгенсаШтейнера имеем 7с — — э" + пОС2 где дс — момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости и проходящей через точку О, э',с — момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс. По условию Ус = а . Следовательно, ОСг (аг Ус) 1 и и длина отрезка ОС, равная расстоянию от центра масс С до точки О, принадлежащей искомому геометрическому месту, должна принимать постоянное значение. Если а ) э',с, то получаем окружность с центром в С и радиусом ОС = (а2,7с) 1 Если аг = эс', то искомое геометрическое место есть центр масс С. Если а < дс, то решение отсутствует.О Исследуем теперь деформацию эллипсоида инерции в точке О по сравнению с центральным эллипсоидом при удалении точки О от центра масс С. Зафиксируем единичное направление е„смещения точки О, так что г = ге„, и будем изменять только модуль г. Пусть з'(х) — оператор нормали к центральному эллипсоиду, а з(х)— оператор нормали к эллипсоиду в точке О (см.

теорему 1.8.4). Теорема 1.10.3. Нормаль з(х) н эллипеоиду инерции е центром в тонне О могкет быть найдена по формуле з(х) = з'(х) + М[г х (х х г)] = з'(х) + Мгг[х — е„(х е„)]. Доказательство. В соответствии с определением нормали з(х) имеем Т(х, у) = у з(х). С другой стороны, согласно лемме 1.10.1 Т(х, у) = Тс(х, у) + Тм(х, у), причем Тс(х,у) = у з'(х), Тм(х,у) =у М[г х (х х г)]. Следовательно, у з(х) = у [з'(х) + М[г х (х х г)]. Доказываемое тождество справедливо, так как вектор у может быть выбран произвольно,П 1.10. Преобразование эллипсоида инерция 55 Теорема 1.10.4.

Если направление е„— главное для центрального эллипсоида инерции, то оно будет главным и для любой точки О, определенной радиусом-вектором г = ге, при произвольном значении г. И наоборот, если направление е„не было главным для центрального эллипсоида инерции, то оно не молсет стать главным ни при каком значении г. Доказательство.

Пусть х = хе„, Тогда я(х) = х'(х) + Мг~х[е„х (е„х е„)] = я'(х).0 Теорема 1.10.5. Пусть направление е„произвольно. Тогда при увеличении г диаметр зллипсоида инерции в точке О, соответствующий направлению е„, не изменяется. Остальные диаметры уменьшаются, так что весь эллипсоид сжимается к отрезку, направленному вдоль оси, проходящей через точки О и С. Две из трех главных осей инерции сгпремятся к плоскости, перпендикулярной е„третья ось стремится стать коллинеарной вектору е„. Доказательство. По определению, диаметры эллипсоида инерции обратно пропорциональны квадратным корням из соответствующих осевых моментов инерции. Согласно теореме 1.10.2 момент инерции относительно оси, проходящей через точку О параллельно вектору е„, остается равным соответствующему центральному моменту инерции при любом значении г.

Следовательно, диаметр, параллельный е„при любом г, будет таким же, каким он был в центральном эллипсоиде. Моменты инерции относительно осей, не коллинеарных е„, растут, а соответствующие диаметры уменьшаются, стремясь к нулю при увеличении г. Весь эллипсоид стремится к отрезку, равному диаметру центрального эллипсоида инерции в направлении е„.

Середина отрезка совпадает с точкой О, а сам отрезок расположен на оси, проходящей через точки О и С. Если х перпендикулярен е„, то вектор нормали к эллипсоиду в точке О можно представить (см. теорему 1.10.3) в виде где вектор х принадлежит поверхности эллипсоида. Первое слагаемое в квадратной скобке стремится к нулю быстрее, чем х, и направление вектора я(х) приближается к направлению вектора х. Отсюда в силу непрерывности функции в(х) следует, что любое направление в плоскости, перпендикулярной вектору е, тем меньше отличается от главного, чем больше г. Тем самым одна из плоскостей, определенная некоторыми двумя главными осями, приближается к плос- Глава 1.

Векторные свойства евклидова пространства 56 кости, перпендикулярной е„. Третья главная ось стремится стать параллельной вектору е,.П Теорема 1.10.6. Если некоторая ось оказалась главной для двух своих точек, то она проходит через центр масс и будет главной для любой своей точки, Доказательство. Пусть рассматриваемая ось проходит через точки Ое и Ою заданные соответственно радиусами-векторами га и гю имеющими начало в центре масс С. Эллипсоид инерции для точки Ое обозначим Эе. Эллипсоид инерции для точки Оз обозначим Эю Сравним векторы ге(х) и гз(х) для эллипсоидов Эе и Эю По теореме 1.10.3 будем иметь г~(х) = г'(х) + М[ге х (х х ге)], га(х) = г'(х) + М[га х (х х га)]. По условию теоремы разность векторов ге — га = ре определяет направление главной оси как для Эы так и для Эз, Это значит, что ге(е) = Лее и га(е) = Лае.

Кроме того, га(е) = г'(е) + М((ге + ре) х [е х (ге + ре)]) = = г'(е) + Мге х (е х г~) + Мре х (е х ге) = = ге(е) + Мре х (е х га). Учитывая результат действия операторов ге и гг. и раскрывая двойное векторное произведение, найдем Мрге = [Мр(е ге) + Ле — Лз]е. Отсюда следует, что векторы ге и е коллинеарны, а значит, ось ОеОз проходит через центр масс С. Следовательно, ге(е) = г'(е) и ось ОеОм будучи главной для эллипсоида Эе, будет главной и для центрального эллипсоида инерции, а по теореме 1.10.4 она будет главной для любой своей точки,П Нахождение главных центральных осей инерции упрощается, если множество точечных масс обладает той или иной симметрией.

Характеристики

Список файлов книги