1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Для векторного произведения в = х х у справедливо следующее: зхх=О, яху=О, )в!=(х( (у(згп(х,у), хю хз У1, Уг, Уз гз х (у х я) = Для него справедлива циклическая перестановка х (у х я) = у . (я х х) = з (х х у). Если в смешанном произведении какие-либо два сомножителя коллинеарны, то произведение равно нулю. Двойное векторное произведение представляется формулой х х (у х г) = у(х я) — я(х у). Пусть в некотором репере Оегегез вектор а а = аге1 + агег + азез Для левоориентировааното репера результаты должны иметь противоположные знаки, что связано с требовааием инвариантаости операпни прн преобразовааиях координат вектор в перпендикулярен плоскости, натянутой на векторы х и у, причем из конца вектора я поворот от х к у в кратчайшую сторону виден происходящим против хода часовой стрелки.
Перейдем к произведениям трех векторов х, у, и б Ез . Их существует два типа. Смешанное произведение дается формулой Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства 24 имеет координаты, представляющие собой функции скалярного ар- гумента 1 (например, времени): п| = пе(1), пз — — азЯ, аз = аз(1). В этом случае вектор а называется вектор-функцией аргумента 1 в репере Оееезез Выберем два значения аргумента: 1 и 1+ Ы. Значения вектор- функции для них обозначим а и а+ еьа соответственно.
Вектор гла назовем приращением вектор-функции вследствие приращения аргумента. Рассмотрим отношение Ьа/Ы. Предел этого отношения, если он существует при Ы О, есть вектор На, Ьа — 1пп —. й ас-о,гь1 Он называется производной вектора а по аргументу 1, взятой от- носительно репера Ое1егез. Таким образом, На Иа1 Ыаз Иаз — е1+ аз+ ез. й й й й Пусть компоненты метрического тензора (рл ) не зависят от 1 (см. определение метрического тензора).
Тогда справедливы формулы И На НЪ И Иа НЬ вЂ” (а Ь) = — Ь+а —, — (и х Ь) = — х Ъ+а х —, й й й' й й й' где Ь вЂ” другая вектор-функция аргумента Ъ Продифференцируем равенство а а = аз: На Иа а — = а —, или а па= она. й й' Другими словами, скалярное произведение вектора на его дифференциал равно произведению модуля вектора на дифференциал модуля. Если модуль вектора постоянен, то вектор и его дифференциал взаимно перпендикулярны: а. Иа = О. В частности, если ~а,( = 1, то аь ' (Иае/й) = О. Вектор-функции а = а(1) может изменяться и по модулю, и по направлению.
Вектор а представим как произведение модуля на единичный вектор: а = аа,. Взяв производную от обеих частей равенства, найдем Па Иа Ыа, — = — а, +а —. й й ' й 1.2. Свободные и скользящие векторы 25 Первое слагаемое правой части, очевидно, коллинеарно вектору а и носит название продольное сосшавляющез. Оно характеризует быстроту изменения модуля вектора. Второе слагаемое направлено перпендикулярно вектору а и называется поперечной, или трансверсаяьной, составляющей. Оно характеризует быстроту поворота вектора. Отметим, что, вообще говоря, — ф — )а(.
2 1.2. Свободные и скользящие векторы Согласно аксиомам аффинного пространства каждой точке из Е соответствует линейное пространство векторов, имеющих начало в этой точке. Вместе с тем часто возникает необходимость по той или иной причине считать одинаковыми некоторые векторы с различными начальными точками. Будем говорить, что множество эквивалентных (тождественных) в каком-нибудь смысле векторов образует конкретный класс эквивалентности.
Векторные операции над представителями одного и того же класса эквивалентности будем считать лишенными смысла. Векторные операции над классами эквивалентности будем понимать как операции, одинаково выполненные над отдельными любыми представителями классов, участвующих в операции. Сначала введем понятие свободного вектора. Напомним, что аффинное пространство Аз объединяет множество точек и пространство векторов йз. Выберем вектор а Е Яз и будем откладывать его от произвольной точки А Е Аз. Часто принимают, что все векторы, построенные таким образом, эквивалентны. Этот класс эквивалентности называется свободным вектором а.
Особую роль в теоретической механике играет понятие скользящего вектора. В пространстве Аз выберем опорную точку О, некоторую точку А и вектор и с началом в точке А. Зададим действительное число (параметр) Л и сопоставим ему точки А», В», определенные векторами (рис. 1.2.1) ОА» = ОА+Ли, ОВ» = ОА+(Л+1)ц. Когда Л принимает произвольные действительные значения, получим множество векторов А»В», каждый из которых имеет начало в точке А» и конец в точке В». Все векторы, принадлежащие этому множеству, отнесем к одному и тому же классу эквивалентности, который назовем скользящим вектором и обозначим (ОА, н). Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства 26 Прямая, определенная параметрически уравнением ОАл = ОА+ Лп, называется основанием скользящего вектора. Из сказанного следует, что в пространстве Ез, снабженном декартовыми осями координат с началом в точке О, скользящий вектор можно однозначно задать шестью параметрами (числами); тремя координатами точки А и тремя проекциями вектора п на координатные оси.
Пусть г = ОА есть радиус-вектор точки А. Два вектора г и п называются векторными координатами скользящего вектора, который в связи с зтим будем обозначать (г, и). Два скользящих вектора (г,п) и (г, — п) называются противоположными. Суммарное число координат векторов г и п на единицу превышает число независимых параметров скользящего вектора, равное пяти. В самом деле, пусть в Ез заданы две точки А1 и Аг и пусть точке А~ соответствует радиус-вектор гы а точке Аа — радиус-вектор га. Выражения (гы п) и (гм п) определяют один и тот же скользящий вектор тогда и только тогда, когда вектор А1Аа коллинеарен вектору п, Другими словами, для задания скользящего вектора можно воспользоваться координатами любой точки его основания (параметр, задающий смещение п вдоль основания, несуществен).
Моментом М' скользящего вектора (г, п) относительно опорной точки или (что одно и то же) полюса О называется векторное произведение М'=гхп. Начало вектора М' совпадает с точкой О. Модуль момента М' численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах г и п. Можно также сказать, что модуль момента равен произведению ~п~ на плечо 6. Плечом скользящего вектора относительно полюса называется длина Ь перпендикуляра, опущенного из полюса на основание скользящего вектора (рис. 1.2.1). Очевидно, что М' не зависит Геометрически понятие скользящего вектора означает следующее. Через заданную точку А проведена прямая ! с направляющим вектором п. Все векторы п, отложенные от произвольных точек прямой 1, считаются зквивалентными. Рис.
1.2.1. Скользящий вектор 1.2. Свободные и скользящие векторы 27 от того, какая точка на основании взята для задания скользящего вектора. Действительно, пусть точки АыАз принадлежат основанию и ты ге — соответственно радиусы-векторы этих точек. Тогда гз — г~ — — Ли. Обозначим Мье —— г~ х и, Мз- — гз хи. Вычитая из второго равенства первое, найдем Ме — Мз=(г~ — гз) хи=Лихи=О. Пусть нам известен момент М' относительно полюса О, а мы хотим найти момент М' того же скользящего вектора относительно точки С. Обозначим г, — радиус-вектор точки А относительно полюса С, а ОС вЂ” радиус-вектор точки С относительно О (рис.
1.2.2): г = г, — ОС. Имеем М' = г, х и = (г — ОС) х и = М' — ОС х и. Тем самым найдена формула пересчета момента при переходе к новому полюсу. При изменении полюса момент скользящего вектора изменяется, Добавляется момент, учитывающий положение нового полюса относительно исходного.
Однако, проекция момента на основание скользящего вектора остается постоянной. Рис. 1.2.2. Изменение полюса Теорема 1.2.1. Скользящий вектор (г, и) моззсно однозначно определить, задав векторы М' и и, удовлетворяющие условию М' и=О, что геометрически означает перпендинулярность векторе и моменту Мо Доказательство. Пусть заданы векторы М' и и. Найдем радиус-вектор г, начало которого совпадает с точкой О, а конец принадлежит искомому основанию скользящего вектора. Потребуем, чтобы вектор г был перпендикулярен вектору и: и х М' = и х (г х и) = гнз.
28 Глава 1, Векторные свойства евклидова пространства Следовательно, г= (и х М")и т, Тем самым скользящий вектор однозначно определен,П Координаты векторов и и М' составляют шесть параметров, задающих единственный скользящий вектор. Они не являются независимыми, так как связаны условием перпендикулярности векторов М' и и, и называются плюккеровыми координатами. Удобство их в том, что они одинаковы для любой точки основания скользящего вектора. Пусть е — единичный вектор оси 1, проходящей через полюс О. Рассмотрим скалярное произведение е М' = е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
