1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

(г х и). Представим (рис. 1.2.3) векторы г и и в виде г= г„+г„и = и„+и, таким образом, чтобы векторы г и и„были перпендикулярны вектору е, а г, и и, — параллельны ему: гк е=О, и .е=О, г,()е, и,'йе. Тогда е М' = е ((г„+г,) х (не+и,)) = е (г, х и, +г, х ик+г, х и, +г, хи,). С учетом способа представления векторов г и и будем иметь е М' =е (г„хи„). Полученное равенство означает, что проекция момента М' на ось 1 есть момент проекции скользящего вектора на плоскость, перпендикулярную е. Момент скользящего вектора относительно оси вычисляется как момент его проекции на плоскость перпендикулярную оси, взятый относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Указанный момент не меняется при смещении плоскости вдоль оси. Рис. 1.2.3. Момент скользящего вектора относительно оси 1.3. Системы скользящих вектороо Одновременно доказано, что если на оси 1 взять другой полюс, например С, и рассмотреть момент М', то е М' = е М'. Сказанное дает возможность корректно ввести следующее определение. Моментом скользящего вектора относительно иехоторой оси называется проекция на эту ось момента скользящего вектора, вычисленного относительно любой точки оси. й 1.3. Системы скользящих векторов Множество скользящих векторов, для которого заданы операции преобразования к другому множеству, назовем системой скользящих векторов.

Прежде чем указать набор таких операций, введем следующие понятия. Множество скользящих векторов называется сходящимся в точке, если основания всех векторов множества пересекаются в этой точке. Пусть имеется множество из и скользящих векторов, сходящееся в некоторой точке Р с радиусом-вектором гр. Очевидно, что эти векторы можно задать в виде (гр, нг), (гр, цг),..., (гр, н»), причем вектор гр будет одинаковым для всех скользящих векторов множества.

Результирующим вектором этого множества называется скользящий вектор гр,~ и, Теорема 1.3.1. (Вариньбн). Пусть задано сходящееся в точке Р мнозгсество скользящих всхторов. Момент результирующего вектора относительно полюса О равен сумме моментов относительно того зюе полюса скользящих векторов, составляющих данное мноясество. Доказательство. Пусть основания всех и скользящих векторов множества пересекаются в точке Р. Представим скользящие векторы в виде (гр, нг),..., (гр, н»), где гр — радиус-вектор точки Р относительно полюса О. Момент М' результирующего вектора выражается формулой » М =гр х~ нь » Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства 30 С учетом свойств векторного произведения найдем М'= ) гп хпь Но каждое слагаемое в правой части последнего равенства есть момент соответствующего скользящего вектора относительно полюса О.П Перечислим теперь операции над элементами системы скользящих векторов, которые будем считать допустимыми.

1. Замена множества сходящихся скользящих векторов соответствующим результирующим скользящим вектором. 2. Присоединение или исключение множества из двух скользящих векторов с общим основанием и результирующим нулевым скользящим вектором. Системы скользящих векторов, которые можно преобразовать друг в друга с помощью указанных элементарных операций, называются эквивалентными.

Теорема 1.3.2. Пусть задана система двух скользящих векторов с иараллельиыми основаниями: (гы иге), (гг иге), причем иг+ из ~ О. Тогда эта система эквивалентна одному сколь- зящему вектору (г„[иг + иг]е), где ггиг + ггиг гс = и1+ иг Доказательство. Добавим к заданной в условии теоремы системе два эквивалентных нулю скользящих вектора (гы Л[гг — гг]), (гг, Л[гг — гг]). Эти два вектора имеют общее основание и их результирующий вектор равен нулю. Вся полученная система эквивалентна двум скользящим векторам (гы и1е+ Л[гд — гг]), (гг, иге+ Л[гг — гг]), основания которых не параллельны. Они имеют общую точку, радиус-вектор которой обозначим гп. Согласно операции 1 заменим эту сходящуюся систему одним результирующим вектором (гр, [иг + иг]е). 1.4.

Пара скользящих векторов 31 По теореме 1.3.1 найдем гп х е(иг + иг) = гг х еиг + гг х еиг = (ггиг + ггиг) х е, или [гп(иг + иг) — (г~иг + ггиг)] х е = О. Но векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда либо хотя бы один из сомножителей равен нулю, либо векторы, участвующие в произведении, коллинеарны. Вектор е ф О. Тогда либо гп = г„либо гп — г, = ее, где о — скалярный множитель.

В том и другом случаях конец вектора г, принадлежит основанию результирующего вектора,а 3 1.4. Пара скользящих векторов Обозначим м Е Пз — направляющий единичный вектор, и — скаляр, гь гг — радиусы-векторы, имеющие начало в некотором полюсе О. Парой (рис.1.4.1) называется система двух параллельных скользящих векторов (гьиел),(гг,— им), основания которых не совпадают. Плоскость, определяемая основаниями пары, называется плоскостью пары. Расстояние 6 между основаниями называется плечом пары.

Расстоянию 6 отвечает вектор Ь. Пара образована двумя параллельными скользящими векторами, равными по модулю и противоположно направленными. Основания этих скользящих векторов параллельны. Расстояние между основаниями есть плечо пары. Плечо пары отлично от нуля. Рис. 1.4.1. Пара скользящих векторов Момент пары есть сумма моментов векторов пары относительно произвольной точки О. Момент пары перпендикулярен плоскости пары и направлен так, что из его конца "вращение" плеча, создаваемое парой, видно происходящим против хода часовой стрелки. Теорема 1.4.1. Момент пари М = — и(Ь х и) пе зависит от выбора полюса О. Модуль момента равен произведению [и[6, в котором 6 — плечо пары.

Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства 32 Доказательство. Рассмотрим пару скользящих векторов (гы ии), (гг, — ии). Найдем вектор Ь = (гг — г1) — м[(гт — г1) .3/]. Очевидно, что Ь и = О, и поскольку и — единичный вектор, то 6 = ~Ь~ есть плечо пары. Конец вектора г1 + Ь принадлежит основанию скользящего вектора (гю — ии). Следовательно, момент пары равен М = г1 х им+ гт х ( — ии) = г1 х им+ (г1+ Ь) х (-ии) = = г1 х ии — г1 х ии — Ь х им= — и(Ь х и). Отсюда видно, что изменение положения точки О в пространстве Еэ не влияет на результат вычисления вектора М. Меняется лишь начало этого вектора. Из-за перпендикулярности векторов Ь и и имеем (Ь х и! = 6. Поэтому (М( = (и|П.СЗ Заметим, что если задан момент пары, то скользящие векторы, ее образующие, определяются неоднозначно.

В самом деле, тогда для определения указанных скользящих векторов будем иметь уравнение М = и(и х Ь), и. Ь = О, в котором неизвестными служат и, и, Ь. В соответствии с определением векторного произведения заключаем, что и и М перпендикулярны: и М = О.

Зададим какой-нибудь вектор и, перпендикулярный к М, и найдем уравнение, связывающее вектор Ь и скаляр и: и х М = ии х (и х Ь) = и(и(и Ь) — Ьиз). Но и Ь = О и поэтому иЬ = М х и. Если теперь произвольным образом задать и, то вектор Ь может быть найден однозначно. Теперь ясно, как получить конкретную пару с заданным моментом М ф О. Выберем произвольно радиус-вектор г1 и скаляр и ф О, назначим и, чтобы было М и = О, и определим Мхи гг=г1+ и Пара скользящих векторов (гмии), (гт, — ии) будет обладать заданным моментом М. Действительно, в соответствии с теоремой 1.4.1 получим — и(Ь х и) = и х (М х и) = М. Таким образом, все пары скользящих векторов с одинаковым моментом образуют пятипараметрическое семейство.

Докажем, что все эти пары эквивалентны. 1.4. Пара скользящих векторов 33 Теорема 1.4.2. При помощи элементарнмк операций пару можно, не изменял ее момента, а) повернуть в ее плоскости, б) перенести параллельно самой себе в любую точку пространства, при желании изменив плечо. Доказательство. Пусть задана исходная пара скользящих векторов (гю ии), (гг, -им). Добавим к ней эквивалентную нулю систему (г'„и'е/), (г',, -и'е/). (гг, -и е/), (гг, и г/).

Потребуем, чтобы г/ был единичным вектором, в(йп и' = в)йп и и и (гг — гг) х г/ = и(гг — гг) х ы Из последнего равенства, в частности, следует, что разность (гг — г',) и вектор г/ параллельны плоскости исходной пары. Для доказатель- В плоскости исходной пары произвольно выбираются две параллельные прямые, составляющие некоторый угол с ее основаниями и отстоящие друг от друга на расстояние, ранг/ нов плечу исходной пары. После элементарных преобразований эти прямые станут основаниями новой пары, эквивалентной исходной.

Рис. 1.4.2. Поворот пары в ее плоскости ства пункта а) (рис. 1.4.2) выберем вектор г', так, чтобы его конец лежал в плоскости пары, зададим г/ ~ гл и и' = и. Тогда конец вектора гг тоже принадлежит плоскости пары. Основания скользящих векторов (гм иге), (г'„— и'е/) непараллельны, принадлежат одной плоскости и, следовательно, пересекаются в точке, радиус-вектор которой обозначим гл. Его можно найти из условия гл = гг+ Ли= г'~ + Л'г/, Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства 34 где Л и Л' — скалярные параметры. Чтобы определить Л, умножим это равенство векторно на ю/.

Тогда получим Л(и х и/) = (г, — г1) х и'. Скользящие векторы (ты ни), (г'„-в~/) заменим одним скользящим вектором (га, о[и — ~/]). Аналогично система скользящих векторов (гт, -ни), (г',, ни') эквивалентна скользящему вектору (гв, — и[и — и']), в котором радиус-вектор гв определяется из условия гв = гт+ ри= гт+р 3/.

Характеристики

Список файлов книги