1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 7
Текст из файла (страница 7)
После умножения этого равенства векторно на г/ будем иметь р(и х ~/) = (г~з — гт) х ~/. Вычислим векторное произведение (гв га) х (и 1/) = [(гт г1) + (р Л)и] х (и — 3/) = (гт — г1) х и — (гз — г1) х 2/ + Л(и х Р/) — р(и х 3/) = = (гз — г1) х и — (гт — г1) х ~/ + (гт — г1) х ю/ — (гт — г',) х г/ = О в связи с выбором параметров дополнительной системы скользящих векторов. Вектор и — ~/ ф О. Следовательно, либо вектор гв — гл = О,либо этот вектор параллелен и†~/. И в том, и в другом случаях система скользящих векторов (га, о[и — г/]) (гв, -и[и — ~/]) эквивалентна нулю и ее можно исключить. Осталась система (г|, н~/), (г,', -цг/), представляющая собой пару скользящих векторов, смещенную и повернутую относительно исходной, но обладающую тем же моментом, что и исходная.
1.4. Пара скользящих векторов 35 В плоскости, параллельиой плоскости исходной пары, добавляются четыре одинаковых по величине скользящих вектора, попарно взаимно уничтожающихся и расположенных на двух основаниях, параллельиых векторам исходной пары. После преобразований остается пара с тем же моментом, что исходная, но расположенная в выбранной плоскости. ! и'Фl / гт Рис. 1.4.3. Смещение плоскости пары Перейдем к доказательству пункта б) теоремы (рис.1.4.3). В дополнительной системе скользящих векторов положим г/ ~ и, а вектор г', выберем произвольно. Рассмотрим скользящие векторы (гм им), (гю и м).
Оии эквивалентны одному скользящему вектору (г4, [и+ и']м), где г1и+ гти' гя = и+ и' Аналогично скользящие векторы (гг, -им), (г'„-и'м) можно заменить одним (гв, — [и + и']м), где гти+ г',и' гв = и+ и В соответствии с правилом выбора параметров дополнительной системы скользящих векторов найдем и(гт — г1) — и'(г~ — г[) (гв — гя) х м= хм=О. и+ и' Отсюда либо гв = гя, либо (гв -гя ) параллельно м.
В обоих случаях система (гл, [и+ и']и), (гв, -[и+ и']м) 36 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства эквивалентна нулю и ее можно исключить. Осталась система (Г1ы и гл), (Г2, -и'гл), представляющая собой пару с основаниями, параллельными основаниям исходной пары, с тем же моментом, но произвольно смещенную в пространстве. Плечо Ь' полученной пары выбирается в соответствии с равенством и'Ь' = иЬ, где Ь вЂ” плечо исходной пары.П Следствие 1.4.1.
Любые две пары эквивалентны, если их моменты равны. Безразлично также, к какой точке пространства приложен момент пары. Теорема 1.4.3. (О сложении пар). Система, состоящая из двух произвольно заданных пар скользящих векторов, эквивалентна одной паре, момент которой равен векторной сумме моментов заданных пар. Доказательство. Пусть заданные пары имеют моменты Мг и Мг.
Выберем в пространстве Ез произвольную точку А с радиусом- вектором гг и точку В с радиусом-вектором гг так, чтобы вектор АВ был перпендикулярен как вектору Мы так и вектору Мг. Согласно теореме 1.4.2 найдем такие единичные векторы )гг и )гг и скаляры иг и иг, чтобы было выполнено Мг — — АВ х 1сгиы Мг = АВ х 1егиг. Эти векторы и скаляры порождают две пары скользящих векторов (гы иг)ег) (гг иг)ег) (Г1 иг)гг), (Г2, — и21е2).
Но скользЯЩие вектоРы (гы и1)гг), (гы иг)сг) эквивалентны РезУльтирующему вектору (гы иг)гг + иг)гг), а скользящие векторы (гг, — и1)сг), (гг, — иг)ег) эквивалентны (гг, -[и21гг + иг)ег]). В итоге получаем пару скользящих векторов (гм и21сг+ иг)гг), (гж -[щ1гг+ иг)ег]) 37 1.5. Упрощение системы скользящих векторов с моментом М = АВ х (и1)с1+ иг1сг) = АВ х 1с|и1+ АВ х 1сзиг —— М1+ Мз,П Доказанные выше свойства пары скользящих векторов кратко формулируются в виде утверждения: момент пары есть свободный вектор (см.
стр. 25). 2 1.5. Упрощение системы скользящих векторов Пусть задана система скользящих векторов (г;, и;), г = 1,..., п, причем все векторы г; имеют начало в полюсе О. Назовем суммарным (главным) вектором величину а суммарным (главным) моментом вектор п М'=~~ г;хнь е=1 Ответ на вопрос о том, к какому наиболее простому виду, используя элементарные операции, можно привести произвольную систему скользящих векторов, дают следующие теоремы. Теорема 1.5.1.
Всякая система скользящих векторов эквивалентна системе, состоящей из одного скользящего суммарного вектора и одного суммарного момента (суммарной пары). Доказательство. Назначим полюс О. Рассмотрим произвольную систему скользящих векторов (г„п,), г = 1,..., и. Зафиксируем некоторый номер 1, В точке О приложим эквивалентную нулю систему скользящих векторов (рис. 1.5.1) (О, пе), (О, — и;), Система (О, — и;), (г;, пе) образует пару с моментом М; = г; х пь Выполнив такие же преобразования для каждого скользяецего вектора системы, получим эквивалентную исходной систему сходящихся в точке О скользящих векторов (О, пе),..., (О, и„) и пар с моментами Мы ., ., М„. Систему сходящихся скользящих векторов заменим одним результирующим скользящим вектором (О, В,), а систему пар— одной парой с моментом М,причем Глава 1.
Векторные свойства евклидова пространства 38 Таким образом, две системы скользящих векторов эквивалентны тогда и только тогда, когда равны их суммарные скользящие векторы и суммарные моменты. Найдем инварианты системы скользящих векторов по отношению к выбору полюса О. Лемма 1.5.1. При изменении полюса суммарный вектор не изменяется.
Остается также постоянной проекция суммарного момента на направление суммарного вектора. Доказательство. Пусть система скользящих векторов приведена к одному скользящему вектору (О,В.) с основанием, проходящим через точку О, и одному моменту М. Возьмем точку Ое и добавим к системе два скользящих вектора (ООг, — В.),(ООыВ.). Скользящие векторы (ООг,-В.),(О,К) образуют пару с моментом Мл = -ООе х В.. Новая система скользящих векторов эквивалентна исходной и состоит из скользящего вектора (ООе, В) с основанием, проходящим через точку Ог, и суммарным моментом Мг — — М+ Мн = М вЂ” ООг х В.. Видим, что при изменении полюса суммарный вектор не меняется.
Для расчета проекции суммарного момента на направление вектора К вычислим скалярное произведение Мг В.= (М вЂ” ООе х В.) К= М В,.а Лемму 1.5.1 можно переформулировать следующим образом. Следствие 1.5.1. Суммарный вектор, а также проекция суммарного момента на направление суммарного вектора инвариантны по отношению к изменению положения полюса. Основание скользящего вектора можно сместить так, чтобы оно проходило через произвольно выбранную точку О.
Такое преобразование будет эквивалентным, если добавить пару с моментом, равным моменту исходного скользящего вектора относительно точки О. Рис. 1.5.1. Сдвиг основания скользящего вектора 1.5. Упрощение системы скользящих векторов Винтом называется такая система скользящих векторов, для которой суммариый вектор и суммарный момент коллипеариы. Соответствующее основание с направлением суммарного вектора иазывается осью винта. Теорема 1.5.2. Всякая система скользящих векторов с отличным от нуля суммариым вектором эквивалентна винту.
Доказательство. Найдем полюс Оы для которого Мг 'ОК. Радиус-вектор ООг удовлетворяет уравнению ВхМг=О или ВхМ вЂ” Кх(ООгхК)=0. Потребуем, чтобы вектор ООг был перпендикулярен к В.. Тогда ОО ог Найденная точка Ог и определяет искомое основание винта.0 Уравнение оси винта можно записать в параметрическом виде: Кх М г= Нг +лм. На оси винта главный вектор перпендикулярен плоскости пары.
Ис- ключив А, найдем векторное уравнение оси вивта В. М Кх г= — В.— М ог эквивалентное двум линейно независимым скалярным уравнениям пересекающихся плоскостей. При упрощении системы скользящих векторов могут представиться следующие случаи. 1. В ф О, В. М = О. Для точек винтовой оси суммарный момент будет равен нулю. Система приведется к одному скользящему вектору.
Его называют результирующим вектором системы. П. К = О, М ф О. Система приводится к паре скользящих векторов, которая иаэывается результирующей парой. П1. В. ф О, В. М ~ О. Система приводится к винту. При приведении к винтовой оси модуль суммарного момента принимает наименьшее значение. 1Ч. В. = О, М = О. Система эквивалентна нулю. Теорема 1.5.3. Система скользящих векторов, принадлежащих одной плоскости, приводится либо к случаю 1, либо к случаю П, либо к случаю И.
Глава Е Векторные свойства евклидова пространства 40 М= ) г!хн!=~ (гл+г';)хпе=глхК+ ) г';хпь и=! Вектор П параллелен плоскости П. Поэтому В. М = О. Следовательно, случай 1И представиться не может, П Таким образом, всякая плоская система скользящих векторов, для которой К ф О, эквивалентна одному результирующему вектору. О 1.6. Параллельные скользящие векторы Система скользящих векторов, все основания которых взаимно параллельны, называется системой параллельныг скользящих векпьоров. Обозначим эту систему Я.
Пусть число скользящих векторов системы равно и, а е — направляющий единичный вектор оснований. Тогда Я = ((г;,еи;), ! = 1,..., и), где г! — радиусы-векторы с началом в полюсе О. Обозначим и и;, 1,-" г„= — з ги;, !зч е=! считая В ф О. Вектор г, определяет в пространстве Ез точку, назы- ваемую ценз!ром системы Я. Теорема 1.6.1. Система Я параллельных скользящих векторов, для которой В ф О, эквивалентна скользящему вектору (г„Ве). Доказательство. Для рассматриваемой системы о В.=ВефО, М=~~ г;и;хе, М.В.=О.
Следовательно, эта система эквивалентна результирующему вектору (ОО!, Ве), где ВехМ е !' '! 1 е ! ОО! — — —— — х ~ г;и; х е = — ~~ г;и; — — е ~~! гсщ ез! е=! с=! Доказательство. Пусть П вЂ” плоскость, содержащая все скользящие векторы системы, и точка Π— полюс. В плоскости П выберем произвольную точку А с радиусом-вектором гл. Радиусы-векторы г, можно представить в виде г; = гл + г'„где г'; принадлежат плоскости П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
