1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Показывается, что аппарат динамики системы материальных точек применим для описания движения твердого тела и систем твердых тел. Проясняется вычислительная экономность использования уравнений Эйлера. Традиционно анализируются случаи Эйлера-Пуансо, Лагранжа-Пуассона, Ковалевской [24]. В качестве примера методики получения частных случаев интегрируемости приводятся случаи Гесса и Бобылева-Стеклова [6]. С целью демонстрации приложения развитых методов к практике даются основы элементарной теории гироскопов [14, 41], достаточные для качественного анализа действия гироскопических приборов. Как инструмент для изучения произвольных голономных систем материальных точек получены уравнения Лагранжа второго рода и канонические уравнения Гамильтона [66].
Дается понятие о лагранжевом формализме [1, 36]. Изучается поведение полной энергии системы в зависимости от структуры обобщенных сил и кинетической энергии. Дается метод циклических координат [5, 58]. Устанавливается, что для голономных систем интегралы количества движения, кинетического момента и обобщенный интеграл энергии Якоби [70] всегда могут быть представлены как следствие существования соответствующих циклических координат. Указывается на возможность использования аппарата теории групп для поиска интегралов движения [5]. Изложение вариационных принципов Гамильтона и Мопертюи-Лагранжа-Якоби [17, 38, 70] выполнено в соответствии с современной теорией оптимальных процессов [2, 5, 13].
Геометрически наглядная трактовка придана теории малых колеба- Предисловие к 1 изданию 13 ний [3, 5, 21, 22]. Содержащиеся в книге методы анализа систем канонических уравнений Гамильтона включают метод Якоби-Гамильтона, теорию последнего множителя Якоби [70], интегральные инварианты, переменные действие-угол [21, 49, 55]. Для иллюстрации эффективности приложений всего этого арсенала методов в книге даются элементы теории возмущений.
Дополнительные подробности о содержании книги читатель сможет узнать из оглавления, где перечислены все важнейшие ее разделы. Теоретический материал поясняется решением большого числа задач и примеров различного уровня сложности [8, 35, 43, 57]. Существующая библиография по теоретической механике огромна.
Приведенный в книге список литературы не претендует на полноту. В нем содержатся только работы на русском языке, близкие к настоящему изданию по назначению. К ним при необходимости читатель сможет обратиться за дополнениими. В этом случае предисловие сыграет роль предметного указателя. Большое значение имеет возможность самостоятельной оценки читателем качества усвоения материала. С этой целью на базе 1ВМ РС разработано приложение к книге в виде компьютерного учебного пособия, содержащее справочный теоретический материал, образцы решения задач различного уровня сложности, контрольные вопросы и задачи, элементы практикума по теоретической механике.
Балльная система оценки знаний, элементы анимации изображения на экране дисплея, дружественный интерфейс делают компьютерное пособие привлекательным средством интенсификации процесса обучения как для преподавателя, так и для человека, решившего самостоятельно закрепить свои знания. По вопросам, связанным с приобретением компьютерного учебного пособия, следует обращаться на кафедру теоретической механики МГУ (тел. 9393681) или в ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, тел. 2507877 (Голубев Ю.Ф.), 2507925 (Павловский В.Е.).
В работе над книгой автор мог неограниченно пользоваться помощью и советами своих коллег по кафедре теоретической механики МГУ, за что приносит им глубокую благодарность. Автор признателен Н. Н. Колесникову, В. В. Козлову, А. П. Маркееву, Д. В. Зенкову, И. А. Серегину, Р. Г. Мухарлямову, А. С. Галиуллину, прочитавшим рукопись и сделавшим ряд существенных замечаний по уточнению отдельных разделов книги.
Глава 1 Векторные свойства евклидова пространства 2 1.1. 'Хочки и векторы Предмет теоретической механики состоит в изучении и предсказании движений материальных систем. С этой целью формулируются законы механики, создаются и анализируются соответствующие математические модели. Понятие аффинного точечно-векторного пространства представляет собой математическую модель простейших геометрических объектов и их отношений, на которых базируется теория движения. Аффинное точечно-векторное п-мерное пространство А" есть множество, состоящее из элементов двух типов; точек и векторов пространства.
При этом предполагаются выполненными следующие четыре аксиомы: 1. Множество всех векторов пространства А" образует и-мерное линейное пространство Вп. П, Каждые две точки А и В, взятые в определенном порядке, задают единственный вектор г = АВ. Ш. Если даны произвольный вектор г и произвольная точка А, то существует единственная точка В такая, что г = АВ, Пара "точка А и вектор г" называется "вектором г, приложенным к точке А", При этом точка А называется начальной точкой приложенного к ней вектора г, а точка  — концом вектора г (приложенного к точке А).
1Ч. Если г1 = АВ и га = ВС, то г1 + гэ = АС. Вещественное и-мерное линейное пространство Яп есть множество элементов (векторов), обладающих следующими свойствами: 1. Дла любых двУх элементов гм гэ б Яп однозначно опРеделен элемент а б Я", называемый их суммой и обозначаемый г1 + гю причем должно быть выполнено: 1. г1 + гт = гэ + г1 (коммутативность); 2. г1 + (гг + гэ) = (г| + гг) + гэ (ассоциативность); 3. Существует элемент О б ееп: г+ О = г для любого г б ееп; 4. Для любого г б Я" существует элемент — г б Я": г+ ( — г) = О. 1.1.
Точки и векторы 15 между точками А и В соответствуюшего аффияиого пространства А". Аффиииое пространство с введенной в пем евклидовой метрикой называется евклидовым пространством Е". В силу сформулированных выше свойств операция скалярного умножения вполие определена, если указано, во что эта операция переводит пары базисных векторов ем,, ., е„пространства В".
Обо- значим уй — еи ' еу 9Ц вЂ” Уз а ° Пусть разложения х б В" и у б В" по базисным векторам имеют вид х = ~~ хне;, у=~ уе;. сгп ны П. Для любого числа а и любого элемента г б В" определен элемент аг б В" (произведеиие элемента г па число а), причем должно быть выполнено; 1, а(33г) = (а(3)г; 2. 1г=г; 3. (а + 13)г = аг+ 13г; 4, а(гг + гг) = агг + агг. Пусть каждой точке аффиииого пространства по какому-нибудь правилу поставлен в соответствие единственный вектор из В" . Такое множество пар точек и векторов называется векторным нолем. Суммой векторных полей называется векторное поле, каждой точке которого поставлен в соответствие вектор, равный сумме векторов, приложенных к этой точке от составляющих полей.
Евклидова структура в линейном пространстве В" задается скалярным произведением двух векторов. Конкретно скалярное произведение можно задать с помощью какой-нибудь положительно определенной билинейной симметрической формы, устанавливающей соответствие между парой векторов и некоторым числом. Другими словами, скалярное произведение гг гг, 'тыгг б В" — это операция, имеюшая свойства: 1. г г > О для любого г б В", причем г г = О, только если г = О; 2.
гг гг = гг гг', 3. (агг) гг = а(гг ° гг); 4. (гг + гг) гз = гг гз + гг гз. Скалярное произведение позволяет определить расстояние (евклидову метрику) Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства 16 Следовательно х.у = ~ ~д; рпуу. 61=1 Естественно потребовать, чтобы скалярное произведение не менялось при переходе к другим базисным векторам.
Тогда коэффициенты скалярного произведения должны подчиняться специальному закону преобразования. Укажем этот закон. Пусть базис е1,..., е'„связан с базисом еы..., е„посредством формул еэ — — ~ аеье;, /с=1,...,н. В базисе е',,..., е'„коэффициенты скалярного произведения примут вид и ! Ф Ф е;.е; =дед = Р дэРаыаР1. й,р=1 Совокупность 0 коэффициентов д;, скалярного произведения, подчиняюшаяся указанному закону при преобразованиях координат, образует тензор второго ранга, который называется мешрическим. Покажем, что если С вЂ” тензор, то скалярное произведение в самом деле инвариантно относительно линейных преобразований координат.
Пусть в базисе е'„..., е'„векторы х, у выражаются формулами в о х = ) к;е'„у = ~ ~у е . ~=1 1=1 При этом справедливы формулы преобразования координат ! гь= р там, в=1 ! ур = ~ у1арг ггы Имеем г % % Ф Р х у = р д; к;у = гр р дгр амар х,у. = ~~ дгркьур П зд=1 э,ргм ь,р=1 61=1 Векторы х,у Я Я", для которых х у = О, называются оргногоналэными, а векторы х б В", для которых х . х = 1, называются нормированными (единичными). В линейной алгебре доказывается, что всякую положительно определенную квадратичную форму можно привести к диагональному виду. Простейший способ задать скалярное произведение — это 1.1. Точки н векторы 17 указать, какие и векторов пространства В" должны быть единичными и взаимно ортогональными.
Линейным оператором А: В" — В" называется правило, ставящее в соответствие вектору х б В" вектор Ах б В" и удовлетворяющее условиям: 1. А(Лх) = ЛАх, Л б В; 2. А(х+ у) = Ах+ Ау, у б В", Пусть еы..., е„— базисные векторы и х= ~ кчеь Используя свойства линейного оператора, найдем Ах = ~ ~к;Аеь Следовательно, линейный оператор вполне определен указанием образов базисных векторов. Результаты действия оператора над базис- ными векторами разложим по самим зтим векторам: и Ае; = ~~ а;е., 1=г Матрица А = (гй1), 1, г = 1,..., п, называется матрицей линейного оаерагиора в базисе еы..., е„. Козффициенты разложений векторов у = Ах и х по базису запишем в виде матриц-столбцов размерностью (и х 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
