1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Тогда действие линейного оператора можно представить в матричном виде и интерпретировать как линейное преобразование координат. Если йеФ А ф О, то существует обратное преобразование к1 = *1(у) ,кь = к4у) вычисляемое по правилу (:.Н:.::.Й:.) |я~ 18 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства которому отвечает обратный линейный оператор х = А 'у, так что х=А 'Ах. Линейное преобразование координат называется двизесением метрики, если оно невырождено (е1ег А ф 0) и преобразование метрического тензора выражается равенствами д,'1(уы ...,рп) = ду(х~(у),...,хп(у)). Другими словами, движение метрики точно сохраняет вид скалярного произведения.
При движении метрики компоненты метрического тензора удовлетворяют равенствам ду асье р —— дар. Е К1=1 Представим зто в матричной форме АтСА С Ат — матрица, транспонированная по отношению к А, С = (д; )— матрица метрического тензора. В частности, для евклидова пространства Е" существует базис, в котором С превращается в единичную матрицу Е, и потому АтА = Е. Матрица А называется ортогональной, если Ат = А ~.
Поскольку с)е1Ат = де1А, то для ортогональной матрицы А получим с1е1А = х1. Линейный оператор, обладающий ортогональной матрицей в каком-либо ортонормированном базисе пространства Е", называется ортогональным линейным оператором. Теорема 1.1.1. Матрица ортогонального линейного оператора будет ортогональной в любом ортонормированном базисе пространства Е". Доказательство. Пусть задан ортогональный линейный оператор А. Это значит, что существует ортонормированный базис ее,..., е„пространства Е", для которого матрица 1.1. Точки и векторы 19 ортогональна: АтА = Е. Зададим базис е',,...,е,', с помощью ра- венств г % е;=~ с;е, е=1,...,п. 1=! Потребуем, чтобы этот базис был ортонормированным. Тогда матри- ца ортогональна (почему?). Применяя оператор А к векторам е;', най- дем и и и п 'Г~ к ч ч Ае; = ~,с~;Аек = ~~.вы~~.аргер = ~~вы~~.арь~~сруе,.
р=! ь=! р=! у=! А А = С А С С*АС = С А АС = СтС = Е. Это и требовалось доказать.П Теорема 1.1.2. Для ортогональности линейного оператора необходимо и достаточно, чтобы он переводил ортонормированный базис в ортонормированную совокупность векторов, число которых равно числу векторов базиса. Доказательство. Необходимость. Пусть А — ортогональный оператор. Тогда в ортонормированном базисе е!,..., е„его матрица А ортогональна: АтА = Е. Применяя оператор к базисным векторам,получим Ае! Ае = ~ атее "р ордер — — ~~ амар!ее ер — — ~!~!,аыаку = б!!.
ры! е,р=! Следовательно, в результате получаем и ортонормированных векторов. Достаточность. Пусть базисные векторы е!,..., е„переходят в попарно ортонормированные. Тогда, очевидно, бб = Ае! . Ае, = ~~ аь!аьзч г=! е,! =1,...,п. а значит, Ат А = Е.П Следовательно, матрица А оператора А в базисе ез,...,е„' может быть найдена по формуле А = СТАС.
Проверим ее ортогональностгк Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства 20 Слецствие 1.1.1. Ортогвнальнь!й линейный оператор сохраняет расстояния меэкду соответствующими точками евклидова пространства. Доказательство. Поскольку указанный линейный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный, то длина вектора в полученном базисе будет такой же, как и длина соответствующего вектора в исходном: / и 2 п (Ах) = ~~ хеАе; = ~ х;х Ь; = ~~! хг.С! е=! 01=1 е=! Пусть заданы два линейных оператора А и В.
Композицией линейных операторов называется линейный оператор С = А о В, действие которого равно результату применения оператора А к вектору, полученному вследствие применения оператора В. Другими словами, пусть х Е еь" — произвольный вектор. Тогда Сх = (А о В)х = А(Вх). Назначим базис е!,..., е„. Зададим матрицы операторов А и В: Ае;=~ аг;еу, Ве,=~ Ь,;е,. Применим последовательно линейные операторы: и и и и Сее = А(Ве;) = А ~ Ьче = ~~! Ь;Ае; = Ц~! ~~~ ае/ЬВее. г=! г=! ьп!1=! Видим, что матрица С оператора А о В получается с помощью умножения матриц: С = АВ. Произведение матриц некоммутативно. Некоммутативна и композиция линейных операторов. Совокупность Г некоторых элементов называется группой, если каждой паре а и 6 элементов из Г ставится в соответствие их произведение а о 6 Е Г, обладающее следующими свойствами; 1.
(а о 6) о е = а о(6 о с) — ассоциативность; 2. Существует элемент 1 б Г такой, что 1 о а = а о 1 = а; 3. Для любого а б Г существует элемент а ! Е Г такой, что аоа =1. П р и м е р 1.1.1. Множество квадратных невырожденных матриц образует группу относительно операции умножения. Роль единичного элемента здесь играет единичная матрица, роль обратного — обратная 1.1.
Точки и векторы 21 матрица. В соответствии с этим совокупность линейных операторов с невырожденными матрицами образует группу относительно их композиции. Теорема 1.1.3. Множество артаганальнмх операторов (ортоганальнмх матриц) образует группу относительно композиции операторов (апграции умножения матриц). Доказательство. Рассмотрим множество ортогональных матриц. Роль единичного элемента для него играет единичная матрица Е, роль обратного — транспонированная матрица.
Докажем, что произведение ортогональных матриц дает ортогональную матрицу. Пусть А и В ортогональны: АтА = Е, ВгВ = Е. Для их произведения С = АВ найдем СтС ГАД)т)АД) ДтАт АД Дт Д Е Таким образом, ортогональные матрицы образуют группу относительно их умножения, а ортогональные операторы — группу относительно их композиции.
П Группа ортогональных операторов над пространством Е" называется группой О(п). Подгруппа с с1еь А ) О называется ЯО1п). Рассмотрим реальное физическое пространство. Геометрически оно представляет собой трехмерное аффинное пространство Аэ . Направленные отрезки прямых назначим ортогонвльными, если они перпендикулярны. Выберем произвольно некоторую опорную точку О б Аэ и приложим к ней три взаимно перпендикулярных вектора, которые будем считать единичными. Тем самым определены соотнощения ) 1, еслиг=); 1 О, если ьф); ь,1=1,2,3, которые позволяют ввести скалярное произведение и превратить исследуемое пространство Аэ в евклидово пространство Еэ. Названная система векторов образует базис линейного пространства Еэ.
Взятая вместе с точкой О, она называется декартовым репером пространства Е . Коэффициенты разложения векторов с началом в точке О по укаэанному базису называются дсхартовмми координатами элементов пространства. Прямые, проходящие через точку О параллельно базисным векторам, называются декартовыми асями координат с началом в точке О. Ьазисные векторы будем обозначать еы ег, еэ. Разложения векторов х, у б Еэ примут вид х = х1е1+ хгег+ хэеэ, у = уье1+ угег+ уэеэ Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства 22 Скалярное произведение определено формулой х У = х1У1 + хгуз + хауз.
Модуль (длина) вектора есть что служит выражением теоремы Пифагора. Из курса аналитической геометрии известно, что: 1. х у = )х!. )у)соз(х,у) = хусоз(х,у). Можно также сказать, что скалярное произведение есть произведение модуля одного из векторов и проекции другого вектора на направление первого. Если один из перемножаемых векторов, например второй, оказался единичным, то скалярное произведение даст проекцию первого вектора на направление второго: х у = хю если )у) = 1. 2.
Выражение для косинуса угла между векторами принимает вид хФ~ + хгуз + хауз соз(х,у) = ху 3. В случае перпендикулярности векторов х и у имеем х1У1+ хтут+ хзуз = О. Рассмотрим теперь в евклидовом пространстве Ез билинейную кососимметричную операцию, ставящую в соответствие паре векторов х, у б Ез третий вектор г = х х у б Ез и обладающую свойствами: 1. х х у = — (у х х) (кососимметричность); 2. (бх) х у = б(х х у) (умножение на число б); 3. (х1 + хз) х у = х1 х у + хз х у (дистрибутивность).
В соответствии с принятыми свойствами будем иметь хху=~х1егх~~ уе.= ~ хууегхе. Следовательно, как и в случае скалярного произведения, для полного определения операции достаточно указать, во что она переводит пары базисных векторов. Пусть базисные векторы ориентированы так, что из конца третьего вектора ез кратчайший поворот от первого е1 ко второму ез виден происходящим против кода часовой стрелки. Система координат с таким базисом называется аравоориеящированяой (правой).
Е1. Точки и векторы 23 Потребуем, чтобы для правоориентированной ортонормированной системы координат были выполнены равенства' е1 х е1 = ег х ег = ез х ез = О, ег х ез = -ез х ег = е1, ез х е1 = -е1 х ез = ег, е1 х ег = -ег х е1 = ез. Тогда, очевидно, х х у = (хгуз — хзуг)е1 + (хзу1 — хгуз)ег + (хгуг — хгу1)ез или символически с помощью определителя е1 ег ез х1, хг, хз У1> Уг, Уз х х у тс Построенная таким образом операция носит название векторного произведения (векторного умножения).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
