1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Закон произвольного движения твердого тела есть аффинное линейное преобразование вида г(1) = А(1)х+ г'(1), где х — постоянный вектор, А(1) — ортогональный линейный оператор, зависящий от времени, г'(~) — радиус-вектор полюса, фиксированного в теле. Доказательство. В соответствии с леммой 2.3.1 закон движения произвольной точки твердого тела можно представить в виде г(1) = Л1В1+ Лзвг+ Лзезз+ ты где В1 хВг В1 = гг — гы Вг = гз — гы е~з —— , ' ) [В1 х В.з[ 2.3. Закон движения твердого тела 83 гы гз, гз — радиусы-векторы трех точек тела, не лежащих на одной прямой.
В точке г~ возьмем три взаимно перпендикулярных единичных вектора Ф / Р Р е, = Вч/Вы ез — — еэ х ем В этом репере В.~ — — Н~е'„Кт = Вг[е', соа(Вч Вг) + ет э)п(Вч, Нз)]. Видим, что коэффициенты разложений векторов В.~ и В,т оказываются постоянными. Закон движения г(1) можно представить следующим образом: г(1) = з~е', +ягела+ ввез+ты где координаты г~ = Л~В~ + Лтпт сов(Вч, Вз), кг = Лгпгяп(Н~ мт) гз = Лз не зависят от времени.
Пусть движение тела рассматривается в ортонормированном репере еы еж ез с началом в точке О. Линейное преобразование Ах определим его действием над базисными векторами по формулам Ае~ — — е~, Ает = е~ю Аез = е~з. Тогда г — г' = к~Ае~ + кгАет + хзАез = А(к~е~ + зтег + кзез) = Ах, где вектор г' = г~(1) есть радиус-вектор точки тела с известным законом движения. Поскольку оператором А ортонормированный базис переводится в ортонормированный, то А — ортогональный оператор (см.теорему 1.1.2).С1 Линейный оператор А зависит от времени. Линейное преобразование г(1) = А(С)х + г'(С) переводит множество Х постоянных векторов х в множество векторов, определяющих последовательные положения точек твердого тела в пространстве.
Как следует иэ доказательства теоремы 2.3.1, множество Х, оператор А и вектор г' будут разными в зависимости от выбора полюса в теле и базиса е~, е~ю е~з, жестко связанного с телом. Этот произвол можно использовать для получения наиболее удобного вида преобразования. Например, если известно, что одна точка твердого тела неподвижно закреплена, то полезно за полюс в Глава 2. Кинематика 84 теле принять именно ее. Тогда вектор г' будет постоянным.
Его можно сделать равным нулю, если неподвижный полюс О совместить с этой точкой. Если какая-либо ось тела сохраняет постоянную ориентацию относительно базиса ем еж ез, то матрицу оператора А можно упростить. С этой целью полюс надо взять на указанной оси, а ее единичный вектор принять в качестве одного из базисных направлений, связанных с телом. Смысл коэффициентов матрицы оператора А виден из следующей таблицы. По столбцам матрицы А стоят координаты связанных с телом векторов е|, е~з, е~э, взятые в базисе еы ез, ез, а по строкам — координаты векторов еы еж еэ, взятые в базисе е~1, е~э, ез.
Пусть, например, вектор еь сохраняет постоянную ориентацию в пространстве. Тогда и-й столбец матрицы будет состоять из постоянных элементов. Если дополнительно потребовать, чтобы е„= е~ю то на пересечении и-го столбца и р-й строки должна стоять единица, а остальные элементы и-го столбца и р-й строки будут нулями. В результате матрица А будет содержать только четыре зависящих от времени элемента. 8 2.4. Движение вокруг неподвижной точки Выше было показано, что закон движения конкретной точки твердого тела можно представить в виде г(1) = А(1)х+ г'(~), где г — радиус-вектор точки, имеющий начало в полюсе О, г'(1)— вектор с началом в том же полюсе, один и тот же для всех точек тела, А(1) — зависящий от времени ортогональный линейный оператор, х — постоянный вектор с началом в полюсе О, конкретизирующий точку тела. Конец вектора х принадлежит постоянному множеству Х, с которым изучаемое твердое тело можно совместить, не изменяя расстояний между его точками.
В практических задачах множество Х вЂ” так или иначе геометрически организованное ограниченное в пространстве Е множество точек. Вместе с тем преобразование, определенное оператором А(1) и 2.4. Движение вокруг неподвижной точки 85 вектором г', формально можно применить к любой точке пространства Ез . В этом смысле условимся считать, что твердое тело совпадает со всем пространством Е, и будем говорить о движении трехмерного пространства. Таким образом, каждому движению твердого тела можно сопоставить движение связанного с ним трехмерного пространства и, наоборот, каждому произвольному движению пространства можно сопоставить движение включенного в него твердого тела.
Движение пространства Е есть композиция двух преобразований. Первое из них обусловлено оператором А. Второе задает одинаковое смеШение всех точек пространства на вектор г'. Рассмотрим свойства первого преобразования: г(1) = А(1)х. Оно состоит в применении ортогонального оператора А к векторному пространству Яэ. Множество таких операторов образует относительно их композиции группу, называемую группой 0(3). Теорема 2.4.1.
Существует инвариантная прямая, точки которой при действии оператора А либо остаются на месте, либо зеркально отразюаются. Доказательство. Если е — направляющий вектор такой прямой, то мы должны иметь Ае= Ле, где Л вЂ” действительное число. Другими словами, е — собственный вектор оператора А с собственным значением Л.
Для определения Л служит характеристическое (вековое) уравнение йе1(А — ЛЕ) = О, где А — матрица оператора А, Š— единичная матрица. Относительно Л это уравнение — кубическое с вещественными коэффициентами. Оно имеет по крайней мере один вещественный корень Ло. Корню Ло отвечает хотя бы один собственный вектор ео. Для этого вектора, учитывая ортогональность оператора А, получим ео ео = Аео Аео = Лоео ео. г Значит, Ло = ж1.Сг Следствие 2.4.1. Плоскость, проходящая через начало координат О перпендикулярно вектору ео, инвариантна относительно действия оператора А. Глава 2. Кинематика 86 Выберем в пространстве Ггз ортонормированный правоориентированный базис еы ег, ез так, чтобы ез = ес. В этом базисе матрица А примет вид ам а1г 0 А = агг агг 0 0 0 х1 так как Аез — — Лсез, Ае1 Л.
ез, Аег .1 ез. Очевидно, что матрица А' = ортогональна. Условие ортогональности этой матрицы приводит к системе трех уравнений аы + агг — 1, аыагг+ аггагг — — О, а1г+ агг = 1. г г г г ПосколькУ аг„+ агг, — — 1, то сУществУет такой Угол ф, что аы — — созф, агг = з1пф. Тогда = — 1п ф, агг = созф или агг —— зшф, агг = — созф. Следовательно, Г созф -з1пф '1 сов ф зшф или зшф созф ( ~ з1пф — ссеф Проанализируем действие оператора А для всех возможных сочетаний знаков величин де$ А и Лз.
Вариант 1. бег А = 1, Лс = 1. Матрица А однозначно принимает вид соз ф — з1п ф 0 А = з1пф сов ф 0 0 0 1 При ф > 0 соответствующий ей оператор выполняет поворот вокруг вектора ез на угол ф против хода часовой стрелки, если смотреть с конца вектора ез. Вариант 2. Йе1 А = 1, Лс = — 1. Тогда имеем < сов ф з1пф 0 зшф — сов ф 0 0 0 -1 87 2.4. Движение вокруг неподвижной точки Напишем характеристическое уравнение (1 + Л)[-(совв ф — Лз) — в)пз ф) — О, Очевидны его решения: Л1 — — 1, Лг = — 1, Лв = Ло = — 1. Матрица А симметрична.
Значит, ее собственные векторы взаимно перпендикулярны. В базисе собственных векторов матрица А оператора А примет вид А= Π— 1 О Тем самым оператор А задает вращение на угол т вокруг первого собственного вектора. Вариант 3. сСеСА = — 1, Лв — — 1. Для матрицы А получаем выражение сов ф в1пф О А = вшф — сов ф О О О 1 Такая матрица получается вследствие композиции зеркального отражения относительно плоскости, натянутой на векторы еы ев, и последующего поворота на угол ф вокруг вектора ев (исходная правая система координат меняется на левую).
Вариант 4. деС А = -1, Лв —— — 1. В этом случае сов ф — вшф О А = в)пф совф О О О -1 Эта матрица означает композицию поворота вокруг вектора ез и зеркального отражения относительно плоскости, перпендикулярной вектору ев. Так же, как и в варианте 3, правая система координат меняется на левую. Теорема 2.4.2. Ортогональные операторы, имеющие определитель, равный единице, образуют в 0(3) подгруппу. Доказательство. Пусть Аы Аз — ортогональные операторы, причем деС А1 — — деС Ат = 1.
Матрица композиции операторов получается как произведение матриц составляющих операторов. Имеем деСАт| = деС А~в — — 1 и деС(АсАз) = деСА|деСАв = 1.0 Подгруппа ортогональных операторов в 0(3) с определителем, равным единице, называется группой ЯО(3). Глава 2. Кинематика 88 Следствие 2.4.2. (Эйлер). Всякий оператор из ЯО(3) имеет хотя бы одно собственное значение Л = 1. В связи с этим группа ЯО(3) состоит из вращений вокруг всевозможных прямых, проходящих через полюс О. Эти вращении сохраняют ориентированность троек базисных векторов. Следствие 2.4.3.
Если действие ортогонального оператора в Е сохраняет ориентированность троек базисных векторов (отсутствуют зеркальные отразюения), то этот оператор принадлежит группе ЯО(3). 3 2.5. Угловые координаты твердого тела Пусть в пространстве Ез выбран ортонормированный правоориентированный базис е1, ез, ез. Рассмотрим движение твердого тела, определенное действием оператора А б ЯО(3): з з Ах ее ~~ х)Ае1 ее ~ х)е( ), е ) = Аее. 1 1 Видим, что оператор А преобразует вектор х таким образом, что этот 1ь) И) вектор в ортонормированном правоориентированном базисе е1, е!з ), И) ез имеет те же координаты, что и в исходном.
Тем самым оператор А осуществляет преобразование от базиса пространства к базису, связанному с твердым телом. Предположим, что А представляет собой композицию операторов А!!) и А!з): А = А(!) о А!з), причем з А!~)е1 = ~~) а1,)егч ! = 1,2,3. з А1~)е1 = ~~а( )е е,— даче Обозначим е) ) = А1!)ее, 1' = 1,2,3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
