1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Пусть а Р„Ъ ° Рк, с Р„а х Ъ Р(„к), а х (Ъ х с) Р(„(кл)), 2. 7. Параметры Кали-Клейна 107 где а, Ъ, а х Ь, а х (Ъ х с) — векторы трехмерного пространства, а Р, Рь, Р1е,ь), Р(,,(ь,е)) — их образы в пространстве комплексных косоэрмитовых (2 х 2) матриц. Теорема 2.7.3. Справедливы формулы 1 РаРь = г(е,Ь1 — (а Ь)Е, 1'(а,Ь1 = -(РаРь — РьРа), 2 1 (а Ь)Е = — -(РаРь+ РьРа) Р(ы(ьл)1 = Рь(а с) — Р,(а Ъ). 2 Доказательство. Как следует из определения, базисные косоэрмитовы матрицы сеь, егг, оз, имеющие различные индексы, умножаются по правилам векторного произведения базисных векторов пространства гсз.
Произведение указанных матриц с совпадающими индексами равно единичной матрице, взятой с обратным знаком (см. стр.103). Произведение Р,Рь можно представить в виде Р, Рь = (аьоь + агаг + азозН6ьоь + 6гог + 6зоз). После перемножения всех матриц оь с разными индексами объединенные коэффициенты при матрицах о; будут совпадать с компонентами соответствующего векторного произведения. Перемножение базисных матриц с одинаковыми индексами дает — (аьйь + аг6г+ аз6з)Е. В итоге получается первая формула утверждения теоремы.
Очевидно, что РьРе = Р(ьл) Е(» Ь) = Р(а,ь) — (а Ь)Е. Вычитая эту формулу из первой формулы утверждения теоремы, получим вторую формулу, а складывая, получим третью формулу. Четвертая формула есть очевидное следствие известной формулы для двойного векторного произведения,О Теорема 2.7.4. Пусть йг б ЯП(2). Тогда параметры Эйлера суть коэффициенты раэлоэесенил Ю = ЧоЕ+ Чьоь + Чгог + Чзоз.
Доказателъство. Согласно определению 2.7.4 всякую матрицу ее б ЯУ(2) можно представить в виде 9 = ЧОЕ+ Чьоь+ Чгаг + Чэоз. прьь'ьем е1еь ье' = Чо + Чь + Чг + Чз = 1. Пусть Р = Чьо ь + Чгог + Чзоз Очевидно, что ье = ЧаЕ+ Ра и справедливо соответствие Ра себ Кз, так что сь = Чьеь + Чгег+ Чзез. Глава 2. Кинематика Рассмотрим преобразование Рт ах ЯРА: (1]ОЕ + Ра)Рх(хоЕ Ра) ДОРх + с[О(РОРх РхРа) Ра(Рх~ а) В соответствии с теоремой 2.7.3 имеем Ра(РхРа) = Ра(Р[х,а] Е(сг ' 11)) = Р[а,[х,ай Ра(сх 11).
Кроме того, Р[а,[х,ай = Р ое — Ра(сх ' х) — > Ра(сх х) = Расе — Р[а,[х,ай. Учитывая сказанное, окончательно получим Р = ЯРхЯ' = Рх + 2ЯОУ~а,х]+ 2Р[а,[а,х]]. Эта формула означает в точности такое же преобразование, какое получается с помопеью параметров Эйлера в теореме 2.6.1. Чтобы убедится в этом, достаточно воспользоваться изоморфизмом пространства косоэрмитовых матриц и пространства Я~,С] Следствие 2.7.1.
Параметры Коли-Клейна выражаются через параметрь1 Эйлера посредством следующих формул ['см. определение 2.7.О',) о = до+гч!, ]] = ч2+гчз) 7 72+ 1чз д чо щ1 Следствие 2.7.2. Произвольному оператору А б ЯО(3) соответствует матрица [е б ЯП(2), описывающая то лсе самое движение твердого тела, что и А. Доказательство следует из теоремы 2.6.3, которая устанавливает правило вычисления параметров Эйлера для произвольной ортогональной матрицы А.П Теорема 2.7.5. Пусть двилсение твердого тела с фиксированной точкой определено углами Эйлера 1а, д, [о.
Соответствующая матрица [г б Я/(2) выражается формулой ['] = Я,ДЯ,, где Юе — — Е сов — + азз]п Ф 2 2' д д Яо = Е сов — + о1З1п —, 2 2' Я = Е соз — + 1гз 31п —. 'га . у 2 2 109 2.7. Параметры Кэлн-Клейна Доказательство. С помощью углов Эйлера движение представляется в виде композиции преобразований вспомогательных базисов. Сначала происходит поворот исходного репера на угол прецессии то вокруг третьей координатной оси.
Этот поворот (см. определение 2.6.1) задается набором параметров Эйлера: до — — соя(ф/2), о1 = О, дг — — О, дз — — я)п(ф/2). Согласно теореме 2.7.4 получаем формулу для матрицы ЯО, описывающей поворот на угол прецессии. Следующим происходит поворот на угол нутации д вокруг первой координатной оси. Для него параметры Эйлера имеют вид оа — — соя(д/2), о1 —— я1п(д/2), ог = О, оз = О. Отсюда получается формула для матрицы Яг, задающей вращение по углу нутации. Завершает композицию вращение на угол ут вокруг третьей координатной оси. Доказываемая формула для матрицы Я„, вполне аналогична формуле для матрицы ЯЕ. Согласно теореме 2.7.2 композиции преобразований соответствует произведение матриц составляющих преобразований, взятых в порядке преобразований вспомогательных базисов.С1 П р и м е р 2.7.1.
Найдем формулы для параметров Эйлера, используя теорему 2.7.5. Выполнив умножение биномов 1„1= Есоз — +оззш — ) 1Есоз — +огз)п — ) ~Есоз — +озгш 2 2) ~, 2 2) ~ 2 2) с использованием правил умножения матриц оп т = 1,2,3 (см. стр. 103), получим д Ф+р . д Ф вЂ” Ю . д . Ф вЂ” Ю д . Ф+р Я=Есоя — соя — +ст1яш — соя +о ге)п — я)п — +оз соя — ягп —. 2 2 2 2 2 2 2 2 Как и следовало ожидать, козффкциенты разложения матрицы Я по матрицам Е, оы ог, оз совпадают с выражениями первого решения для параметров Эйлера, найденными в примере 2.6.1 для случая до ф О. Второе решение получится, если ко всем вйлеровым углам прибавить 2т.
Следствие 2.7.3. Пусть движение твердого тела задано с помощью кардановых углов а, )7, 7. Тогда Я б ЯП(2) выражается формулой Я = Я„фут», где й, о Я = Есоя — + о|я)п —, 2 2' Ф . Р Яо = Е соя — + от я)п —, 2 2' Я» = Есоя — + ояя)п —. 7 7 2 2 Глава 2. Кинематика 110 Отметим, что если 6~ Е Яl(2) отвечает некоторому оператору А Е 50(3), то матрица -Я дает тот же оператор. Поэтому присутствие половинных углов Эйлера в выражениях для параметров Кэли-Клейна вполне естественно. Имеем взаимно однозначное соответствие между одним оператором из 50(3) и парой матриц Я, — Я) из ЯУ(2). Можно сказать, что Я есть двузначная функция операторов из БО(3). Для того, чтобы установить соответствие между параметрами Кэпи-Клейна и элементами матрицы А, совсем не обязательно сначала определять углы Эйлера или какие-либо другие угловые координаты.
Используя изоморфизм, отмеченный в следствии 2.7.1, можно непосредственно применить теоремы 2.6.2 и 2.6.3. 3 2.8. Кватерннбны Множество ква~иернионов — это пространство Н линейных комбинаций вида Ь = а + 6з + с1+ сйс, где а, 6, с, И вЂ” действительные числа, 1, т, Š— некоторые линейно независимые символы. В пространстве Н вводится билинейное умножение по правилу 1о1 = —,1о1 = 1с, 1о1с = — )со3 = 1, йо1 = — 1о1г = 1, 1з = 3~ = 1сз = — 1.
Принимается, что кватернионы, у которых 6 = с = Н = О, коммутируют при умножении со всеми остальными кватернионами. Сопоставим кюкдому кватерниону Ь унитарную матрицу Я(Ь), полагая о+6' с+й где 1 — мнимая единица. Очевидно, что если имеются два кватерни- она Ь1 и Ьз, то ч(Ь1+ Ьз) = Я(Ь1) + Я(Ьз). В связи с этим Я(Ь) = аЕ + 6о1 + снз + йтз, так как (см. стр. 103) Я(1) = ~ 0 .
) =он Я(,1) = оз, Я(1г) = оз. /1 0'1 Тем самым установлен изоморфизм пространств унитарных матриц и кватернионов. 2.8. Кватернибны Лемма 2.8.1. Пусть Ь| и Ьг — два кватерниона. Тогда справедливо равенство е|(Ьс о Ьг) = св(Ьс)Я(Ьг). Доказательство. Легко видеть, что Св(1)|вО) =-Я(1)Св(1) = "|о = з=ЖЬ), Щ)®1с) = — Я(1с)Щ) = огсз = о| = Я(1), Я(1с)Щ) = — Я(1)Я(1с) = ого| = ог = Я(1). Таким образом, матрицы Я(1), Я()), Я(Ь) при умножении подчиняются тем же правилам, что и соответствующие им кватернионы. Зависимость же между матрицами Я и кватернионами взаимно однозначна и линейна.П Пусть задан кватернион Ь = а+ Ь1+ с|+ И1с.
Сопряг|сенным к нему называется кватернион Ь = а — д1 — с,1 — д Теорема 2.8.1. Справедливы равенства (Ьс + Ьг) = Ь| + Ьг, Ь| о Ьг = Ьг о Ьс. Доказательство. Первое равенство с очевидностью следует из определения кватерниона. Для доказательства второго равенства заметим, что ЩЬ) = 9'(Ь), и воспользуемся взаимно однозначным соответствием злементов пространства У(2) и кватернионов: Се(Ьс о Ьг) =9"(Ьс о Ьг) =Я(Ьс)Я(Ьг)) = Я "(Ьг)Я "(Ьс) = 9(Ьг)|в|(Ьс).п Кормой хватерниона Ь = а+ О1+ с1 + И1с называется величина )Ц > О, определенная равенством )Ь)г = Ь.
Ь = '+ ьг+ сг+ дг. Прямое вычисление показывает, что |Ь(~ = бес Я(Ь). Позтому норма обладает свойством )Ьс о Ьг! = (Ьс((Ьг!. Для каждого отличного от нуля кватерниона Ь имеем )Ь| ф. О и су- ществует обратный кватернион Ьо~ )г обладающий свойствами Ь о Ь ' = 1, Ь ' о Ь = 1. Глава 2. Кинематика 112 Множество кватернионов с нормой, равной единице, обозначим Н1. Если Ь б 'Ны то Ь = Ь. Очевидно, что множество Н1 есть группа по умножению. Эта группа изоморфна группе Я/12). Изоморфизм устанавливается с помощью равенств аееоо, б=вь соева, д=оз, где оо, о1 дз, оз — параметры Эйлера.
Пусть Но — трехмерное пространство кватернионов х, удовлетворяющих условию х = — х. Метрика в этом пространстве задается формулой )х(з = х ох = -хз. Пространство Но изоморфно евклидову пространству Ез Теорема 2.8.2. Если )Ь~ = 1, то преобразование х — я: вееЬохоЬ, хбНо есть вращение трехмерного евклидова пространства. Доказательство. Так как х = — х, Ь = Ь ', то в = ЬохоЬ-1 = Ь 1 ох оЬ = -ЬохоЬ Следовательно, Далее (я(зеояой=(ЬохоЬ 1)о($~ 1охоЬ)=Ьохох Ь 1=)х)з. Другими словами, рассматриваемое преобразование сохраняет норму. Учитывая изоморфизм пространств Но и Ез, получаем, что такое преобразование эквивалентно вращению трехмерного пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
