1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Кинематика 118 Рассмотрим два соседних по времени положения некоторой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного полюса О: г(1) = А(1)х, г(1 + Ы) = А(1+ Ь1)х. Учитывая свойства оператора А, найдем г(1 + Ь1) = А(1+ Ы)А г(1)г(1). При малом А1 матрица В = А(1+ Ы)Ат(1) близка к единичной. Поэтому движение твердого тела вокруг неподвижной точки можно приблизить последовательно выполняемыми дифференциалами вращений вокруг осей, соответствующих соседним моментам времени.
8 2.11. Сложное движение точки Пусть Я вЂ” ортонормированный репер е1, е~г, еэ с началом в точке О', который движется как твердое тело относительно репера 5, ортонормированных векторов еы ег,ез с началом в полюсе О. Рассмотрим движение некоторой точки М. Его можно описать как с помощью репера Я, так и с помощью репера Я,. Движение точки М по отношению к реперу Я, назовем абсолютным двиоюеиием, а ее траекторию в этом репере — абсолютной траекторией. Движение точки М по отношению к реперу Я назовем относительным двиогсепием, а траекторию М в репере Я вЂ” относительной траекторией.
Движение репера Я назовем переносным движением. Скорость ч движения точки по абсолютной траектории называется абсолютной скоростью. Скорость ч, движения точки по отношению к подвижному реперу 5 называется относительной скоростью. В каждый конкретный момент времени 1 точка М совпадает с некоторой точкой М' пространства, жестко связанного с репером Я. Скорость точки М', возникающая из-за движения этого пространства (движения репера о), называется переносной скоростью ч, точки М.
Теорема 2.11.1. (О сложении скоростей). Абсолютная скорость точки равна векторной сумме ее переносной и относительной скоростей: ч, =ч,+ч„, где ч, — вектор абсолютной скорости; ч, — вектор переносной ско- рости; ч„— вектор относительной схорости. Доказательство. В соответствии с теоремой 2.3.1 сложное движение точки можно описать с помощью равенства г(1) = Ах+ г', 2.11. Сложное движение точки где зависящие от времени оператор А б 50(3) и вектор г' задают движение пространства, жестко связанного с репером 5, а вектор х конкретизирует точку М в репере Я.
Если М движется относительно репера Я, то х = х(1) есть вектор-функция времени. Продифференцируем по времени закон движения точки: ИА г = — х+ г'+ Ах, д1 где символ дА/Й означает дифференцирование по времени каждой компоненты матрицы оператора А. Первые два слагаемых выражают скорость, которая была бы у точки, если бы вектор х сохранял постоянное значение. Такой вектор выделяет точку М' пространства, жестко связанного с репером Я. В рассматриваемый момент времени точки М и М' совпадают. Другими словами, ИА и, = — х+г'.
Й Третье слагаемое представляет собой относительную скорость х, преобразованную с помощью оператора А к реперу Я,.О Замечание. Радиус-вектор г движущейся точки М можно всегда представить суммой векторов: г = го+ты где го есть радиус-вектор начала О' подвижного репера Я, а г»вЂ” радиус-вектор точки М с началом в О~. Дифференцируя это равенство по времени, найдем Иго Иг1 и, = — + —. Й Й Равенство верно в любой момент времени. Однако первое слагаемое в нем — не переносная скорость, а второе — не относительная скорость. Они станут таковыми лишь в случае поступательного движения репера Я. Теорема 2.11.2.
(Случай нескольких реперов). Допустим, что точка М совершает движение в репере Яы который двиэгсется относительно репера Яг. Репер Яг движется в репере Яз и т.д. Наконец, репер Я» совершает движение относительно репера Я . Тогда абсолютная скорость точки М выражается формулой » иа — иг + Глава 2. Кинематика 120 где ч„— скорость М относительно репера Я, а ч; — скорость относительно репера 5;+1 пюй точки репера Я, хоторал в данный момент совпадает с точкой М. Доказательство.
Воспользуемся теоремой 2.11.1 о сложении скоростей и найдем скорость ч„ точки М в репере Яг; (г) ч(. ) = ч„+ чы где ч| — скорость относительно репера Яг той точки репера Яы которая совпадает в данный момент с точкой М. Обозначив далее чг скорость относительно репера оз той точки репера Яю которая совпадает в данный момент времени с точкой М, по теореме 2.11.1 найдем скорость ч„ точки М в репере Яэ: (э) ч(з) ч(2) + ч2 Продолжая этот процесс, получим утверждение теоремы.П 2 2.12. Поле скоростей твердого тела При поступательном движении (см.
стр. 113) векторы скорости всех точек тела равны между собой в любой момент времени. За скорость поступательного движение принимают скорость любой точки тела. Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором две точки тела неподвижно закреплены на этой оси. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси каждая его точка описывает окружность в плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Радиус окружности равен расстоянию от точки до оси вращения. Положение некоторой точки М тела в пространстве можно однозначно охарактеризовать двугранным углом о между двумя плоскостями, проходящими через ось вращения.
Одна из плоскостей неподвижна, а вторая содержит точку М и вращается. Величина скорости точки М при движении по окружнссти есть где выражение Но/Й называется угловой скоростью тела,  — расстояние от точки до оси вращения. Скорость точки М параллельна плоскости ее движения и направлена перпендикулярно радиусу в сторону вращения. 2.12. Поле скоростей твердого тела 121 Введем скользящий вектор ю (см. раздел 1.2), основание которого совпадает с осью вращения. Ориентируем его так, чтобы из его конца вращение было видно происходящим против хода часовой стрелки. Полюс О расположим на оси вращения. Пусть г — радиус- вектор некоторой точки твердого тела.
Тогда ее скорость может быть выражена с помощью векторного произведения (формула Эйлера): и = ю х г. Выражение, стоящее в правой части, не зависит от расположения полюса О на оси вращения. В самом деле, пусть г = г1+ го, где га 'й' ео. Тогда ых г1 — — их (г-гв) =юх г — их го — — сох г=и. Перейдем к изучению поля скоростей (см.
стр. 15) в общем случае движения твердого тела. Определение 2.12.1. Поле скоростей называется поступательным, если векторы скоростей всех точек тела совпадают. Поле скоростей называется вращательным, если существует скользящий вектор щ (вектор угловой скорости) такой, что скорость и любой точки тела дается формулой и=яхт, где г — радиус-вектор рассматриваемой точки, имеющий начало на основании вектора ео, одинакового для всех точек тела. Теорема 2.12.1. (Эйлера о поле скоростей твердого тела).
В любой момент времени произвольного двизесеиия твердого тела его поле скоростей мозюет бить представлено как сумма поступательного и вращательного полей скоростей: и = чо + ю х г, где чо — скорость, одинаковая для всех точек тела, г — радиусвехтор точки тела, имеющий начало в полюсе О репера Я, связанного с телом, со — схользящий вектор с основанием, проходящим через точку О'. Доказательство.
Закон движения любой точки твердого тела можно в соответствии с теоремой 2.3.1 представить в виде г(1) = А(1)х+ г'(1), где х — постоянный вектор, г'(1) — абсолютный радиус-вектор полюса О', фиксированного в теле, А(1) Е 50(3) — ортогональный линейный оператор с матрицей А, удовлетворяющей условию ААт = Е. Глава 2. Кинематика 122 Продифференцируем закон движения точки: Иг дА Иг' и = — = — х+ —. Й Й дг Величина Иг'/д1 есть скорость точки О'. Вместе с тем она, будучи одинаково отнесена ко всем точкам, задает поступательное поле скоростей, упомянутое в условии теоремы. Обозначим ио = дг'/дг. Далее, очевидно, г = г — г' и х = Ат г.
Подставляя последнее выражение в формулу для скорости точки тела, найдем "А ти = — А г+ио Й Покажем, что матрица (дА/дг)Ат кососимметрична. В самом деле, учтем, что ААт = Е. Тогда ИА т дАт ЫА т дАт / дА т'1 Ат+ А = О или — Ат А Ат Й Й д1 дг '1, д1 Следовательно, существует тройка чисел ин, ыг, мз такая, что — „А = ыэ Π— ы1 а умножение на эту матрицу эквивалентно операции векторного умножения на вектор со = (ыыюг,юз), ассоциированный с тройкой чисел ич, юг, ыз Поэтому "А т— А г=еохгС1 д1 Следствие 2.12.1. Проекции скоростей концов отрезка твердого тела на направление самого отрезка совпадают. Доказательство. Достаточно умножить формулу теоремы 2.12.1 скалярно на вектор г. После умножения получим г и = г ио.
Но ио — скорость точки, совпадающей с началом вектора г, а и — скорость конца этого вектора, С1 В доказательстве теоремы 2.12.1 был использован тот факт, что умножение на кососимметричную матрицу эквивалентно векторному умножению на вектор, ассоциированный с его элементами. Построить такой вектор можно лишь тогда, когда фиксирован некоторый базис. Остался неизученным вопрос, будет ли этот вектор одним в тем же при изменении базиса. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
