1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Следовательно, поле скоростей будет вращательным в любой момент времени. Угловая скорость задает направление мгновенной оси вращения, проходящей через точку О. Аксоиды представляют собой конические поверхности с общей вершиной в неподвижной точке. Подвижный аксоид катится по неподвижному без проскальзывания. Пусть угловая скорость ео представляет собой известную вектор- функцию времени 1. В неподвижной точке О выберем ортонормированный репер Я векторов е1, ею е~з, жестко связанных с твердым Глава 2.
Кинематика 134 с(е'; — ' = ю х е';, пг 1= 1,2,3. Таким образом, относительно каждого вектора е'; имеем одно векторное дифференциальное уравнение. В координатной форме оно эквивалентно системе из трех скалярных дифференциальных уравнений. Для того чтобы найти все столбцы матрицы оператора А, имеем систему из трех векторных (1 = 1,2,3) или из девяти скалярных дифференциальных уравнений. Скалярные произведения е'; е,' остаются постоянными для решений указанной системы. В самом деле И й — (е'; е1) = (ы х е~) е~ +е~ (ы х е)) = — ы.
(е'. х е,'+е,' х е') = О. Различных скалярных произведений базисных векторов — шесть: (е',) = (ез) = (ез) = 1, е', ез = е', ез = еэ ез = О. г 2 г х Эти равенства должны быть выполнены в лкбой момент времени. Их наличие облегчает процедуру поиска столбцов матрицы оператора А. Система уравнений, выражающая изменение векторов подвижного репера в репере Яэ, называется сисгоемоа уравнений Пуассона для базисных векторов, связанных с твердым телом.
Такая система удобна, если вектор щ задан координатами в неподвижном репере. В том случае, когда координаты вектора ы заданы в подвижном репере Я, удобнее определять не столбцы, а строки матрицы оператора А. Строки представляют собой координаты постоянных векторов еы ет, ез в репере Я. Чтобы получить нужные дифференциальные уравнения, заметим, что точка М;, определяемая концом вектора е;, участвует в сложном движении. Будучи неподвижной, она перемещается относительно репера 5, который в свою очередь имеет угловую скорость ы.
Относительная скорость такого движения получается путем дифференцирования (Й/й) координат вектора е; в базисе е', ею ез, так что ч„ = Йе,/й. Переносная скорость — это скорость, телом, и неподвижный ортонормированный репер Яэ векторов еы ею ез. Установим правило, с помощью которого, зная функцию ы(1), можно вычислить матрицу оператора А е 50(3), описывающего движение тела. Как отмечено на стр. 84, столбцы матрицы оператора А суть координаты векторов е';, 1 = 1, 2, 3, жестко связанных с телом, взятые в неподвижном базисе еы ею ез.
Если известен вектор ы, то скорость точки тела, совпадающей в каждый момент времени с концом вектора е'„выражается формулой 2.15. Поле скоростей тела с одной неподвижной точкой 135 которая была бы у точки М;, будь она элементом твердого тела: и, = иг х еь Абсолютная скорость точки М; равна нулю. Следовательно, Йе( — ' = — со х е;, г ае 1, 2, 3. с(е Получили систему уравнена(( Пуассона длл векторов неподвижного репера. Она сохраняет скалярные произведения: (ег) = (ег) = (ез) = 1, ег ег = ег ез = ег ез = О. Установим теперь соотношения между координатами вектора са и производными по времени от углов Эйлера.
Определение углов Эйлера дано на стр. 91, где оператор А Е 50(3) представлен в виде композиции А = Ав о Аа о Ат Здесь Ав соответствует углу прецессии 4, Ав — углу нутации д, Аи — углу собственного вращения р. По определению вектор угловой скорости вращения вокруг некоторой оси направлен вдоль нее так, чтобы из его конца вращение было видно происходящим против хода часовой стрелки, а модуль вектора угловой скорости равен модулю производной по времени от угла поворота. Оператор Аи оставляет неподвижным вектор ез .
Угловая ско(в) рость собственного вращения равна со = (оез (рис. 2.5.1). (ь) Оператор Ав оставляет неподвижным вектор е( = е( сов)г — е(г в1п )о. Поэтому угловая скорость нутации соа выражается равенством ыа = дег (г) Оператор Ав, оставляет неподвижным вектор ев. Значит, для угловой скорости прецессии иге имеем В примере 2.6.1 указаны выражения для элементов матрицы опера- тора А через углы Эйлера. Из этих выражений следует ез=е, япдв1п~р+е~ в)пдсов(о+еэ совд.
(е) (а) (ь) Пусть иг = ыге, +ыгег +ызез . По теореме о сложении угловых (в) (ь) (ь) скоростей будем иметь ы = саа+ ые +ив. Следовательно, ы( = фа(п да(п р+ д сов(о, ыг = ф япд сов(о — дяп)г, ыз = Ф сов д + Ф. Глава 2. Кинематика 136 Отсюда найдем выражения для производных: д = ы1 сову — ыг япсе, 4 = (м) яп (с+ ыг сов у)/яп д, 3) = ыз — псевд. Получили систему хинемвтичесхих уравнений Эйлера.
Она позволяет вычислить угловое положение твердого тела, если проекции ыы ыг, мз угловой скорости на оси координат, жестко связанные с телом, заданы как функции времени. Отметим вырождение кинематических уравнений Эйлера, когда д = О. Оно возникает из-за совпадения действий поворотов по углу прецессии и углу собственного вращения, когда ез = ез (см, рис.
(ь) 2.5.1). Найдем теперь соотношения между координатами вектора еи и производными по времени от кардановых углов а, )3, 7 (см. рис. 2.5.3). Оператор А(з) поворота на угол у оставляет неподвижным вектоР ез . УгловаЯ скоРость ыт выРажаетсЯ Равенством ыт = уез (ь) (ь) Оператор А(г) поворота на угол,9 оставляет неподвижным век(г) (г) тор е(г . Значит, евр = )Зе~~ ). Наконец, оператор А(1) поворота на угол а оставляет неподвижным вектор еь Следовательно, ев = аеь Учитывая действие операторов, будем иметь ег е1 в)п7+ег сов7 (е) (ь) .
(ь) . е1 = е~ сов)3 сову — ег сов)3яп у + ез в(п(3. Кроме того, должно быть св = ех + св() + ы . Позтому ь~( = асов)3сов у+)3в)п у, ыг = — асов)3в1п7+)Зсов7, ыз = аяп (3+ у. Разрешая зти равенства относительно производных, получим а = ( /1 соз 7 — ыг в! п 7) / сов )3, 13 = ыг яп у+ыгсов у, 7= з — ая )3. Имеем систему кинематических уравнений Эйлера для кардановых углов. Она вырождается, но теперь уже при )3 = х/2. Кинематические уравнения для параметров Эйлера (параметров Родрига-Гамильтона) свободны от вырождений. Вращение твердого тела (см. стр, 105) определено формулой Ре=ЯРЯ', Р„=-Р„', Р = — Р;, ЯЯ'=Е, сЫЯ=1, 2.15. Поле скоростей тела с одной неподвижной точкой 137 где Р, = х«о« + хрор + хзоз — косоэрмитова матрица, соответствующая вектору х точки в твердом теле, Р, = г«о« + грс«р + гзоз— косоэрмитова матрица, соответствующая вектору г положения той же точки в неподвижном пространстве, базисные матрицы о; определены на стр.
103. Соответствующие векторы х и г трехмерного пространства имеют вид х = х«е«+ хрер + хзез г = г«е«+ грег + «зез Матрица О. Е оП(2). По теореме 2.7.4 параметры Эйлера служат коэффициентами ее разложения по базисным матрицам Я = доЕ+ д«о«+ дрор + узор. С учетом того, что Р, — постоянная матрица, производная от матрицы Р, по времени дается равенством Р, = ЙРЯ + ЯРА = 4Я ЯРЯ'+ ЯР.Я Ю* или Р„= ОО.'Р„+ Р О,О.'. Обозначим Рп = 2ОО.'.
Очевидно, что Р„' = 2О«'«*. Кроме того, ОО =Е-ОЦ +Дд =б-Рпт-Рп. Поэтому матрица Рп косоэрмитова и Р„= -(Р,Є— Р„Р,). 1 2 Теорема 2.15.1. Справедлива формула « й« йр + «йз ) -йр + «йз -«й« ( ' где й«, йр, йз суть компоненты вех«пора угловой скорости п«в неподвижном репере: и« = й«е«+ йрер + йзез. Доказательство.
Очевидно, имеем Р„= Р„, где Є— косоэрмитова матрица, соответствующая вектору скорости и точки твердого тела с радиусом-вектором г. Сопоставим матрице Рп вектор й« Е Рез. Пользуясь формулами теоремы 2.7.3, получим Р. = Р. = 1«)ол) или и = й«х г для любой точки твердого тела. Другими словами, й« = щ. При этом координаты вектора угловой скорости и радиуса- вектора точки тела берутся в одном и том же (неподвижном в данном случае) репере Ое«ерез.С1 Глава 2.
Кинематика 138 Теорема 2.15.2. Параметры Коли-Клейна и хватернионы подчиняются хинематическим уравнениям Я = РпЯ/2, Ь = Ьп о Ь/2 соответственно. Здесь хватернион Ьп = йг1+ йа1+ йз1с задается компонентами вектора угловой скорости ео в неподвизюном репере Оегегез, Параметры Эйлера (Родриго-Гамильтона) подчиняются следующим хинематическим уравнениям 1 Чо = — -(ЙгЧг + ЙгЧг + ЙзЧз), 2 1 -(Й~ Чо + ПгЧз — ЙзЧг), 2 1 -Ягйо+ гезйг — гегйз) 2 1 -(Йзйа+ йгйг — ПгЧг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
