1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Случай 2. Предположим, что вода течет в реке а Северном полушарии с юга на север (а ) 0). При этом частицы воды должны получить ускорение тг„ направленное с востока на запад. Такое ускорение сообщает частицам воды берег реки. Следовательно, правый берег должен интенсивнее подмываться водой и будет более крутым, чем левый. Если река течет с севера на юг, то а < О, и кориолисоао ускорение изменит свое направление на противоположное.
Значит, и тогда река в Северном полушарии будет больше подмывать правый берег, который окажется круче, чем левый. Это свойство рек носит название закона Бэра. В Южном полушарии структура берегов будет иной. Случай 3. Представим себе, что с корабля, находящегося на Северном полюсе, производится выстрел из пушки з горизонтальном напраалении. Пусть снаряд имеет скорость э, Ускорение Кориолиса будет иметь величину 20е, и линейное отклонение снаряда от его первоначального направления по истечении времени 1 будет приблизительно 2.17. Поле ускорений в твердом теле 145 равно Йо1г. Угловое же отклонение этого снаряда будет приблизительно равно линейному отклонению, деленному на пройденный путь.
Следовательно, оно равно тД кз Йота/оМ = ЙС т. е, равно углу поворота земного шара за время С Случай 4. Значительное влияние кориолисова ускорения можно наблюдать в метеорологических явлениях. Ветер, т. е, движение воздушных масс, при отсутствии кориолисова ускорения дул бы в направлении от области ббльшего атмосферного давления к области меньшего.
Следовательно, направление ветра было бы перпендикулярно изобарам. Однако имеет место ускорение Кориолиса, направленное в Северном полушарии справа налево, если смотреть вдоль скорости потока. Поэтому в относительном движении частицы воздуха испытают добавочное ускорение. Область низкого давления с приблизительно концентрическими изобарами называют циклоном. Из-за кориолисова ускорения воздушные массы циклонов Северного полушария вращаются против хода часовой стрелки. В Южном полушарии такое движение совершается по ходу часовой стрелки.О 6 2.17. Поле ускорений в твердом теле Определение 2.17.1.
Точка твердого тела, ускорение которой в рассматриваемый момент времени равно нулю, называется мгновенным центром ускорений. П р и м е р 2.17.1. Рассмотрим круговой обруч, катящийся в вертикальной плоскости по горизонтальной прямой без проскальзывания. Если скорость центра обруча постоянна, то центр обруча и будет мгновенным центром ускорений. Вместе с тем мгновенный центр скоростей (см.
определение 2.14.1) совпадает с точкой соприкосновения обруча и опорной прямой.О Теорема 2.17.1. Если угловая скорость и угловое ускорение абсолютно твердого тела одновременно не равны нулю и не коллинеарны: ш х ш ф О, то существует единственный мгновенный центр ускорений, и его радиус-вектор относительно полюса 01 репера, жестко связанного с телом, выражается формулой 1 т = . ~(тг, (ш х ш) +ы (тге.
ш)) ш+ ]ш х ш]з +(тт, ф) ф — (тг, ш)(ш х ш)], где обозначения совпадают с принятыми в разделе 6.1б. Доквзвтельство. Воспользуемся теоремой 2.16.3 Ривальса. Так как абсолютное ускорение искомой точки равно нулю, то имеем урвв- Глава 2. Кинематика 146 пение, определяющее радиус-вектор этой точки: + х + ( ) а О Вектор г будем искать в виде г = сгсо+,9ео + 7(ю х ю). Подставим выражение для г в уравнение: тио (с" + 7'" К"' х "') + (7"' + ФМ "'))иг (7(е" '"') +"' Р)ю = О.
Умножим полученное равенство скалярно сначала на ю, затем на со, потом на (ю х ео). Тогда получим систему трех уравнений относительно трех неизвестных се, Д, у: 7(ыа~а (~ ~)г] ~ ' ю + 7)~ ~!~ О ж, ю+ д[(ю. ю)г — ыаю~1 = эг, . ю — д)иг х иг/г = О, иео (со х ю) — (а+ 7ы~))ео х со)~ = О. Отсюда легко найти се, Д и 7. После подстановки нх в выражение для г убеждаемся в справедливости теоремы,сл Если мгновенный центр ускорений принять за полюс, то для данного момента времени ускорение любой другой точки твердого тела выражается формулой иг = ю х г* + со х (ю х г'), где г* — радиус-вектор точки тела, имеющий начало в мгновенном центре ускорений.
В правой части этой формулы имеются лишь две составляющие: вращательное и осестремительное ускорения. Обратимся теперь к случаю, когда ы х ю = О. Так может быть, например, при ы = ю = О. Нетрудно убедиться в том, что тогда, если ьи, = О, то мгновенным центром ускорений будет любая точка твердого тела, а если ти, ф О, то мгновенный центр ускорений отсутствует. Пусть ю и ео не равны нулю одновременно. При ю х ю = О они будут коллинеарными, и можно принять ю = ы е,„, ю = ы е, где е„— единичный вектор их общего направления.
Теорема 2.17.2. Пусть угловая скорость ео и угловое ускорение ю удовлетворяют условиям хсоееО, + Тогда, если е ж, ф О, то мгновенный центр ускорений не существует, а если е иг, = О, то имеетсл мнозсество мгновенных центров 147 2.17. Поле ускорений в твердом теле ускорений, составляющих прямую, параметрическое уравнение ко- торой имеет вид 1 '2 4[ ь + ~]+ ;~2 + ~,~4 где Л вЂ” произвольный скалярный параметр, Доказательство. В условиях теоремы уравнение, служащее для определения радиуса-вектора мгновенного центра ускорений, запишем следующим образом: ьк, +ю(е х г)+мхе,„х (е,„х г) = О.
Поскольку е,„(е х г) = О и е [е„х (е х г)) = О, то решение этого уравнения может быть тогда и только тогда, когда чв, е = О. Пусть это условие выполнено. Будем искать г .1 иг. Для такого г уравнение принимает вид ю(е~ х г) — ы г = -«г,. Умножим это уравнение слева векторно на еы: — ю (е х г) — фг= -е„х «г,. 2 Исключим из полученных двух уравнений член, содержащий (е„х г): г =, „[чв,ы + ю х чв,] 2 Й +0l" Поскольку множество решений допускает сдвиг вдоль направления е, получаем уравнение прямой, указанное в утверждении теоремы. С2 Обратимся к изучению поля ускорений в плоскопараллельном движении. Зададим точку твердого тела радиусом-вектором г, выходящим из неподвижного полюса О, а мгновенный центр скоростей — радиусом-вектором г„с началом в том же полюсе. По теореме 2.14.1 найдем скорость точки твердого тела в плоскопараллельном движении: и = г = ш х (г — г„), где ю 1 и,ю 1 (г — г„).
Теорема 2.17.3. Абсолютное ускорение «г„точки твердого тела, совпадающей с мгновеннььн центром схоростей, выразюается формулой ьч, =-юхгь, где г„— абсолютная скорость двизюения мгновенного центра ско- ростей по неподвизесной центроиде. !О Глава 2. Кинематика 148 Доказательство.
Дифференцируя скорость плоскопараллельного движения, получим тг = ч = ф х (г — г„) + ы х (г — г„). Положим г = г„. Тогда г = О как скорость точки тела, совпадающей с мгновенным центром вращения.П П р и м е р 2.17.2. Рассмотрим круговой обруч, катящийся в вертикальной плоскости по горизонтальной прямой без проскальзывания (рис.2.17.1). Пусть ц — скорость центра обруча. Она направлена го- При качении обруча по горизонтальной неподвижной прямой мгновенный центр скоростей совпадает с точкой касания прямой и обруча. Если центр обруча движется равномерно, то мгновенный центр ускорений совпадает с центром обруча. Точка обруча, которая касается прямой, не имеет скорости, но имеет ускорение. Рнс.
2.17.1. Качение обруча по прямой ризонтально. Мгновенный центр вращения е каждый момент времени совпадает с проекцией центра обруча на опорную прямую. Значит, г„ = ц. Радиус обруча примем равным а . Тогда получим величину угловой скорости ы = и/а . Вектор угловой скорости ы Л. г„ направлен так, что из его конца вращение обруча видно происходящим против хода часовой стрелки.
Воспользоеавщись теоремой 2.17.3, найдем, что модуль ускорения точки обруча, совпадающей в данный момент времени с мгновенным центром скоростей, выражается формулой иг„= из/а. Вектор тг„направлен по радиусу из мгновенного центра скоростей (точки касания обруча с опорной прямой) к центру обруча.О Из теоремы 2.17.3, в частности, следует, что мгновенный центр скоростей будет одновременно н мгновенным центром ускорений тогда н только тогда, когда г„ = О, Если за полюс принять мгновенный центр ускорений плоскопараллельного движения, то по теореме 2.16.3 (Ривальса) формула для расчета ускорения произвольной точки М тела примет внд иг = ы х (г — г ) — ыт(г — г„), 2.17.
Поле ускорений в твердом геле 149 где г~ — радиус-вектор мгновенного центра ускорений. Другими словами, поле ускорений плоскопараллельного движения таково, как будто твердое тело вращается вокруг мгновенного центра ускорений. Вращательное ускорение перпендикулярно вектору (г — гч). Осестремительное ускорение параллельно (г — г ). Следовательно, угол 13 между направлением ускорения точки М и прямой, соединяющей точку М с мгновенным центром ускорений, не зависит от расположения точки М в теле и может быть вычислен с помощью равенства Фк 11 = ь1/ь12. Модуль ускорения точки вычисляется по формуле (чч( = (г — г„(~Д~ + ы4.
В плоскопараллельном движении угловая скорость и угловое ускорение коллинеарны; ы х ы = О. Когда эти параметры известны, мгновенный центр ускорений можно определить с помощью теоремы 2.17.2. По смыслу введенных обозначений будем иметь 1 Гь — Г1 = . рЧ1Ы + Ы Х 1Ч1~ 2 г+„,4 1 где г1 — радиус-вектор точки, ускорение которой известно и равно чч1. В частности, это может быть мгновенный центр скоростей. Тогда Г1 =Г„,2Ч1=Г1=-ЩХГ„И вЂ” [ь1Ä— ь1(ь1 х 1„)!. ~,'~2 + ы4 Мгновенный центр ускорений можно определить и тогда, когда заданы не совпадающие друг с другом ускорения двух различных точек твердого тела.
В самом деле, пусть щ1 — ускорение точки тела, имеющей радиус-вектор г1, а 1ч2 — ускорение точки, имеющей радиус- вектор гз. По теореме 2.16.3 должно быть выполнено равенство 2чг = зч1 + ы х (12 — г1) — ы (гг — г1), г в котором учтено, что ы Л. (г2 — г1). Из этого равенства следует (Г2 — Г1) Х (Щ2 — 2Ч1) 2 (1Ч2 — Щ1) (Г2 — Г1) 1Ч (г2 — г1)2 (Г2 Г1) Напомним, что модуль скалярного произведения векторов равен произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, а модуль векторного произведения равен произведению модулей сомножителей на синус угла между ними.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
