1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 28
Текст из файла (страница 28)
3 3.2. Первый закон Ньютона. Принцип относительности При поступательном движении какого-нибудь тела скорости и ускорения любой пары его точек одинаковы, и все точки описывают траектории, которые можно получить друг из друга сдвигом на вектор, постоянный вдоль траектории отдельной точки.
Анализ движения такого тела сводится к изучению движения какой-либо одной его точки. Определение 3.2.1. Материальная точка — это точка, заменяющая реальное тело, способное в силу сложившихся конкретных условий совершать только лишь поступательное движение. Взаимодействие материальных точек означает взаимодействие соответствующих поступательно движущихся тел. Материальной точке придаются все свойства поступательно движущегося тела, определяющие закон его движения. Замечание. Ответ на вопрос о том, можно ли заменить материальной точкой тот или иной объект, зависит не столько от размеров объекта, сколько от особенностей его движения и степени идеализации задачи.
Определение 3.2.2. Система отсчета называется инерциальной, если по отношению к ней любая свободная от взаимодействий с другими объектами Вселенной (изолированная) материальная точка движется равномерно и прямолинейно. Первый закон (постулат) Ньютона состоит в утверждении, что инерциальные системы отсчета существуют. Наделение некоторой системы отсчета свойством инерцивльности является сильным утверждением и всегда нуждается в обосновании.
Теорема 3.2.1. Все системы отсчета, получающиеся из инерциальной с помощью галилеевого преобразования, будут инерциальными. Доказательство. Пусть в инерциальной системе отсчета координаты изолированной материальной точки имеют вид (х, 1), а закон 3.2. Первый закон Ньютона. Принцип относительности 157 ее равномерного движения задан равенством х = хо + чЬ где хо, ч суть постоянные векторы. Применим к этой системе галилеево преобразование у = Ах+ Ъ|+с, 1' =1+с,. Тогда закон движения рассматриваемой материальной точки в новой системе отсчета (у, 1') примет вид у = ус+ чз1, где уо = А(хо — чсе) — Ьс~ + с, чз — — Ач+ Ъ, причем векторы уо и чз постоянны.
Это — закон равномерного движения.О Из теоремы 3.2.1 следует, что инерциальных систем отсчета существует бесконечно много. Принцип относительности Галилея утверждает, что ври изучении законов двизесенил все инерциазьнме системы отсчетов равноправны. Экспериментатор, проводящий опыты в инерциальной системе отсчета, не может обнаружить движение этой системы. Определение 3.2.3. Механической системой называется множество материальных точек и твердых тел, которые могут взаимодействовать друг с другом и с любыми другими объектами. Нзолированной механической системой называется множество материальных точек и твердых тел, которые могут взаимодействовать друг с другом, но лишены воэможности взаимодействовать с другими объектами Вселенной. Согласно принципу относительности все законы н уравнения механики, установленные для изолированной механической системы в какой-либо одной инерциальной системе отсчета, сохраняют свой смысл и форму при переходе к любой другой инерциальной системе отсчета (инвариантны по отношению к преобразованию координат).
Это значит, что после выполнения преобразований, связанных с переходом к новой системе отсчета, структура математических выражений законов в новых переменных имеет такой же вид, какой она имела в исходных переменных, н законы выражаются с помощью одних и тех же функциональных зависимостей. Исследуем ограничения, которые накладывает принцип относительности на структуру законов механики. Пусть и~;— ускорения, ч; — скорости, г; — радиусы-векторы материальных точек (1 = 1,..., Ф) изолированной механической системы, 1 — время и пусть равенство Ф(ччы..., ччк,ч;,...,чгг,гп, ..,гя,1) = О выражает некоторый закон механики.
Тогда: Глава 3. Динамика поступательного движения 158 1, Изолированная механическая система всегда автономна, т. е. функция Ф не зависит явно от времени. Действительно, пусть г;(1), 1 = 1,...,Ф суть законы движения всех точек системы. Среди галилеевых преобразований имеется сдвиг по времени. В соответствии с теоремой 3.2.1 и принципом относительности получим, что функции г;(1 — т), 1 = 1,..., Ю при любом значении г будут законами движения тех же точек, а значит, соответствующие им эг;(1 — т), ч;(1 — т) вместе с г;(1 — т) обязаны удовлетворять уравнению Ф(и;(1 — т),ч (1 — т),гю(М вЂ” т),1) = О. Обозначив э = 1 — т, найдем Ф(тг;(а), ч;(я), г;(э), э+ т) = О.
Поскольку г произвольно, видим, что Ф не зависит от т. 2. Функция Ф может зависеть лишь от разностей радиусов-векторов и разностей скоростей точек изолированной системы. В самом деле, среди галилеевых преобразований имеются сдвиги в трехмерном пространстве. Пусть г;(1), 1 = 1,..., У суть законы движения всех точек системы. Тогда г;(1) + г, 1 = 1,..., М, г = сопят также будут законами их движения. А это значит, что совместно должны быть выполнены равенства Ф(и;,и;, гп..., гн) = О, Ф(тгь кьг1+г,...,гн+г) = О, в любой момент времени 1.
Зафиксируем время и выберем сначала г = — гь Тогда получим другое, эквивалентное в данный момент времени исходному, выражение для исследуемого закона механики: Ф(эг;,ч;,О,гэ — гм..., гн — г1) = О. Применим к этому выражению повторный сдвиг всех векторов на век- тор г = г1+ г', где г' — произвольный вектор.
Тогда получим Ф(ж;, ч;, г1 + г~, гэ — гм..., гн — г~) = О. Поскольку значение г' произвольно, видим, что Ф от г' не зависит, а значит Ф может зависеть только от комбинаций г; — г1. Аналогичное рассуждение можно провести для любого другого вектора гь Следовательно, Ф может зависеть лишь от разностей г; — г .
Далее, среди галилеевых преобразований имеются переходы к равномерно движущимся системам отсчета с сохранением направлений базисных 3.3. Принцип детерминированности векторов. Такие преобразования приводят к изменению всех скоростей ч;, 1 = 1,..., Ю, на постоянный вектор к. При этом закон Ф = О должен остаться справедливым: Ф1чк;,и1+ и,их+и,...,ик+ч,г, — г ) = О. Проводя теперь рассуждения, аналогичные тем, которые применялись при доказательстве первой части свойства, убеждаемся, что Ф может зависеть только от разностей хч — к1 и не может зависеть непосредственно от значений скоростей. 3.
Функция Ф инвариантна относительно преобразования всех аргументов с помощью ортогональных линейных операторов. По теореме 3.1.1 среди галилеевых преобразований имеются преобразования с помощью ортогональных линейных операторов. Значит, если г;(1), 1 = 1,..., 1ч', суть законы движения точек изолированной системы, то г; '= Аг; выражают те же законы, но в повернутой инерциэльной системе отсчета.
При этом АА = Е и А — постоянный линейный т оператор. Значит, к! = Ак;, чо,' = Атос. Согласно принципу относительности Галилея равенства Ф(эк;,и;,гс) = О, Ф(Аи;,Аис,Агс) =О должны быть эквивалентными, что и доказывает справедливость свойства. 4. Если изолированная механическая система состоит из одной материальной точки, то функция Ф зависит только от ускорения ж этой точки, причем уравнение Ф(эк) = О допускает нулевое решение. В самом деле, согласно пунктам 1 и 2 функция Ф в рассматриваемом случае не может зависеть от радиуса-вектора г, скорости и точки, а также от времени 1.
По определению инерциальной системы отсчета изолированная материальная точка имеет в ней ускорение, равное нулю. Следовательно, равенство н = О должно быть следствием рассматриваемого закона механики, и такое и должно удовлетворять уравнению Ф(эк) = О. Изолированная материальная точка может испытывать ускорение в какой-либо системе отсчета, только если эта система отсчета не инерциальна. Если система отсчета инерциальна, а материальная точка имеет ускорение, то это ускорение есть следствие влияния других объектов и точка не изолирована.
3 3.3. Принцип детерминированности Состоянием механической системы (определение 3.2.3) называется набор одновременных значений радиусов-векторов и скоростей всех ее точек. Глава 3. Динамика поступательного движения 160 Принцип детерминированности Ньютона утверждает, что состояние мехаиичесной системы, заданное а любой момент времени, однозначно определяет асе ее дальнейшее движение.
Этот принцип беэусловно удовлетворяется, когда между ускорениями точек механической системы и составляющими ее состояния существует зависимость, не содержащая третьих и более высокого порядка производных от радиусов-векторов точек. Существование такой зависимости в дальнейшем принимается в качестве эквивалента принципу детерминированности. Зависимость между состоянием системы и производными третьего порядка и выше также может быть установлена, но без дополнительных ограничений она приведет к дифференциальным уравнениям, для однозначного решения которых недостаточно задать лишь состояние системы, что окажется в противоречии с принципом детерминированности. Рассмотрим изолированную систему из двух материальных точек в инерциальной системе отсчета.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
