1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции и учитывая, что производная от Ф в силу уравнений движения равна нулю, найдем ИФ/й = О. Значит, Ф = с есть первый интеграл,П Для того чтобы полностью узнать закон движения материальной точки, достаточно найти шесть независимых первых интегралов. Такой набор первых интегралов назовем золнмм.
Найти полный набор первых интегралов не всегда легко. Однако наличие первых интегралов упрощает исследование. Пусть, например, найдены три первых интеграла Ф!(1, гм гг, гз, гь гз, гз) = с;, 1 = 1, 2, 3. Их можно рассматривать как новую систему трех дифференциальных уравнений, эквивалентную исходной, но уже не содержащую вторых производных. Предположим, что новую систему удалось привести к следующей равносильной системе: И вЂ” Ф1(1, гм гг, гз, см сь сз) = О, 1 = 1, 2, 3. Й Отсюда следует Ф;(1,гмгз,гз,с„сг,сз) =сз+;, 1= 1,2,3. Полученные функции, будучи независимыми, задают искомый закон движения. 3 3.6.
Скалярные формы уравнений движения Положение материальной точки в пространстве не обязательно задавать непосредственно компонентами гм гю гз радиуса-вектора г в системе ортонормированных базисных векторов ем ез, ез. г = г1е1 + гзег + гзез Для этой цели годятся любые независимые координаты хы хз, хз, однозначно связанные с компонентами законом преобразования г1 = г1(хм хю хз), гз = гг(хм хг, хз), гз = гз(хм хм хз). Величины хм хз, хз называются хриеолинейнмми координатами точки.
Когда криволинейные координаты выбраны, закон движения г(1) однозначно задается функциями хс(М), 1 = 1, 2, 3. З.б. Скалярные формы уравнений движения 177 Переход к криволинейным координатам особенно зффективен, когда имеется априорная информация о траектории точки. Его полезно применять также, когда поле действующей силы обладает той или иной симметрией. Поясним это. Пусть, например, из постановки задачи ясно, что точка может двигаться только вдоль поверхности, заданной уравнением 1(г1,гз, гз) = О. Рассмотрим семейство поверхностей: 5(г1,гз гз) = хз где хз — произвольный постоянный параметр. При выполнении усло- вий теоремы о неявно заданной функции найдем 53 — ф(51 52 Хз).
Полученное выражение может оказаться достаточно сложным. До- пустим, что оно упрощается, если ввести замену г1 — — г1(х1, хг, хз), гг = гз(х1, хю хз), где х1, хз — более удобные переменные. Тогда искомое преобразова- ние координат примет вид г1 = г1(х1,хмхз), гз = гг(х1,хг,хз), гз = гз(х1, хг, хз) = ф(г1(х1, хю хз), гг(х1, хг, хз), хз). В итоге при движении точки будем иметь хз ш О. Тем самым остается найти только две функции х1(!), хз(!). Аналогичную процедуру можно применить, когда по условиям решаемой задачи материальная точка должна двигаться вдоль кривой, заданной системой уравнений 5 1(г1, гз, гз) = 0,,52 (г1, 1 2, гз) = О.
Рассмотрим два семейства поверхностей Л(Г1,ГЪГЗ) = Хг, 12(Г1,гг, ГЗ) = ХЗ, где хз, хз — произвольные постоннные параметры. Разрешая систему уравнений поверхностей относительно гз, гз при любых конкретных значениях параметров хз, хз, получим г2 = ф1(г1, х2, хз), гз = ф2(г1,х2) хз). 12 — 1503 Глава 3. Динамика поступательного движения 178 Учитывая возможность упрощения полученных выражений, введем дополнительную замену переменной г1 = г1(ег,ег,ез), где з1 — более удобная координата, чем г1.
В итоге получается преобразование координат г1 = 1.1(*1, *г, зз), гг = гг(к1, хг, яз) = ф1(г1(е1, ег, жз), хг, зз), гз = гз(е1, ег, ез) = Фг(гг(е1, кж ез), ег, ез). По условию рассматриваемой задачи материальная точка обязана двигаться так, чтобы было ег = ез = О. Остается найти только одну функцию я1(1). Рассмотрим примеры криволинейных координат.
П р и м е р 3,6.1. Цилиндрические координаты: г1 = рсоа уг, гг = рзгп1р, гз = гз. При фиксированном значении р точки принадлежат поверхности прямо- го кругового цилиндра, заданного уравнением г1+г =р Направление оси цилиндра определено базисным вектором ез. Если зафиксировать угол 1з, то точка принадлежит плоскости — 11згп1р+ гг сов 1с = О, перпендикулярной единичному вектору ег — — -ег зги У1+ ег сов Уг и проходящей через третью координатную ось.
В этой плоскости р и гз служат декартовыми координатами, а радиус-вектор любой точки плоскости выражается формулой Ф г = ре1 + гзез, где единичный вектор е', имеет вид е', = егсов~р+ егзш~р. Наконец, когда постоянной считается координата гз, то получаем плоскость, параллельную базисным векторам е1, ег, и в этой плоскости р и 1з суть полярные координаты точки.О П р и м е р 3.6.2. Сферические координаты: г1 = рсоа дсозф, гг — — рсоздзшф, гз = рагид.
3.6. Скалярные формы уравнений движения 179 Координатная поверхность, соответствующая постоянному значению р, представляет собой сферу: гг+гг+гг рг При фиксированном значении гз точки принадлежат плоскости Р, параллельной базисным векторам еы ег и находящейся на расстоянии рвш д от соответствующей им координатной плоскости. При различных значениях гз соответствующие плоскости Р пересекаются с координатными сферами по параллелям, В каждой плоскости Р величины рсоа д, гр суть полярные координаты точек. Когда зафиксирован только угол ф, то получается координатная плоскость Ры заданная уравнением -г1 вш4+ггсовгр = О. Эта плоскость перпендикулярна вектору ег — — — ег з)п ф + ег сов д и проходит через третью координатную ось. Каждая точка этой плос- кости задается радиусом-вектором г = кге+ вгез, где е = е1 соз 1г + ег з1п гр, в1 = р сов д, вг = рв)п д. Ясно, что в плоскости Р1 величины р и д служат полярными координатами.
При всевозможных значениях д координатная сфера пересекается плоскостями Р1 по меридианам. Параллели и меридианы образуют сетку координатных кривых.О Как уже отмечалось выше, выбранным конкретным значениям криволинейных координат зы аг, кз соответствует единственный радиус-вектор евклидова пространства г = г(вы ям зз).
Когда меняется только одна координата з;, а остальные остаются постоянными, конец этого вектора описывает координатную кривую, отвечающую координате з;. Частная производная дг/дкг задает касательный вектор к этой кривой. Из произвольной точки А пространства можно провести три единичных вектора Глава 3. Динамика поступательного движения 180 касательные к соответствующим координатным кривым. Векторы ты тг тз, с началом в точке А образуют локальный репер криволинейной системы координат. П р и м е р 3.6.3. Локальный базис цилиндрической системы координат принимает вид дг др дг ти д1г дг тз =— дгз ег соз~р+ егз1п1э, = — ег зш уг + ег соз у, ез. Видим, что это — взаимно ортогональные векторы.О П р и м е р 3.6.4. Локальный базис сферической системы координат: -1 е г соз д соз гр + ег соз д зш гр + ез з1 и д, -1 = — ег в1п д соз гР— ег з1п д зш Ег + ез соз д, -1 = -ег згп гр + ег соз р.
Здесь вектор тр направлен вдоль радиуса-вектора, вектор тв — по касательной к меридиану, вектор те — по касательной к параллели. Векторы тр, те, та взаимно перпендикулярны.О С целью получения уравнений движения в проекциях на оси локального репера криволинейной системы координат хы хг, хз рассмотрим скалярные произведения ускорения материальной точки и единичных векторов ты тг, тз.
ют=ж т;= — —.— = — — ч — — т Очевидно имеем ч дг, дг, дг, дг, ч = ~ — х; = — хг+ — хг+ — хз. ~, дх; ' дхг дхг дхз Следовательно, дг дт дг дт д /эг'1 дх; дх;' дх; дх; дх; ~, 2) дг д дг та =— дд те =— дФ дг др дг дд дг др дг др дг ду дг дгз 3.6. Скалярные формы уравнений движения Кроме того, 181 д дг дгг . дгг .
дгг х1+ хг+ хз дг дх; дхгдх; дхгдх; дхздхе ди дгг . дгг . дгг хг+ хг+ хз. дх; дхедх, дхедхг дхедтз Сопоставив зти равенства, найдем д дг д» йда; дх; Значит, Отсюда и,' = — — —. — — — —, е'= 1,2,3. Определение 3.6 1. Выражение „г Т=— 2 называется обоби1енной силой, соответствующей координате х,.
Теорема 3.6.1.Уравнения движения материальной точки в проекииях на оси локального репера криволинейной системы координат имеют вид у —, — — — — ф, 1=123. Доказательство. Умножим обе части уравнения скалярно на вектор т;: дг 1дг тш,'=х ° —— дх; ~дх; называется кинетической энергией материальной точки. Выражение Глава 3. Дяиамяка поступательного движения 182 Учитывая найденное выше выражение для ит и то, что масса материальной точки всегда постоянна, получаем утверждение теоремы.0 Система дифференциальных уравнений теоремы 3.6.1 вместе с начальными условиями определяет зависимости криволинейных координат хы хг, хз от времени.
Они задают закон движения материальной точки. Элементарное перемешение точки имеет вид Нг = ~ — дхь дг дх; Рассмотрим элементарную работу силы Р на перемещении Ыг: дг А= Р Иг = ~ $' — И~; = ~~~фдхь дх; ~ю1 1т1 Видим, что обобщенные силы суть коэффициенты при дифференциалах криволинейных координат в выражении для элементарной работы. Скорость и квадрат скорости даются равенствами дг . к=~ — х;, ; — дх' " 2 дгд.. э э =~ — — хх. сукн дх; дху дг дг дг ~~ дг дх; дху дх;~~дху суть компоненты метрического тензора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
