1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 36
Текст из файла (страница 36)
дФ(дч, и для его определения нужна дополнительная информация. З.В. Влияние связей на движение материальной точки 199 В механике реакция связи всегда считается пассивной силой. Это означает, что реакция связи не может самостоятельно вызвать движение, не приводящее к нарушению связи, а может тормозить такое движение или препятствовать его возникновению. Вместе с тем реакция всегда препятствует нарушению связи. Чтобы однозначно найти Х„следует указать закон торможения. Таким, в частности, может быть закон сухого трения скольжения (см, пример 3.4.3) Х„т — у Л— где у — коэффициент трения, а вектор ч,=ч — — ч есть составляющая скорости, перпендикулярная вектору дФ)дч и потому сохраняющая связь. Может встретиться также и закон вязкого трения (см.
пример 3.4.4): Х, = — т(ч,) ч„т(ч,) > О. Особо выделим случай, когда Я, = О. Тогда Х = Л дФ/дч. Определение 3.8.2. Пусть вектор бг задает перемещение точки, удовлетворяющее условию дФ вЂ” бг = О. дч Такой вектор бг называется виртуальным перемещением точки. Вектор бг определен неоднозначно. Он принадлежит плоскости, перпендикулярной вектору дФ/дч, Определение 3.8.3. Связь, стесняющая движение материальной точки, нвзываетси идеальной, если для любого виртуального перемещения бг ее реакция Х удовлетворяет условию Х.бг = О. Очевидно, что условие ортогональности реакции Х и любого виртуального перемещения есть необходимое и достаточное условие того, что Х, = О.
Можно сказать также, что реакция идеальной связи не препятствует движению, совместимому со связью в данный момент времени, и однозначно определена активной силой и уравнением связи. Особо обратим внимание на различие между действительнмм перемещением Иг материальной точки во времени и виртуальным ее перемещением бг в данный фиксированный момент времени. Глава 3. Динамика поступательного движения 200 Лемма 3.8.1.
Справедлива формула дФ дФ вЂ” Нг= — чй, дч дч где дт — дифференииал перемещения точки в действительном дви- зесении (действительное перемещение). дФ вЂ” чфО дч множество виртуальных перемещений не включает действительное перемещение. Если же дФ вЂ” и=О, дч то действительное перемещение точки эа время ей будет принадле- жать множеству виртуальных. Теорема 3.8.1. Связь Ф(ч, г, е) = 0 допускает принадлежность действительного перемещения мнозесеству виртуальных тогда и только тогда, когда при фиксированных г и 1 она определяет в пространстве скоростей коническую поверхность с вершиной в точке ч = О. Доказательство.
Необходимость. Пустьсвязьдопускает принадлежность действительного перемещения множеству виртуальных. Тогда одновременно должны быть выполнены уравнения дФ вЂ” ч = О. Ф(ч,г,й) = О, Зафиксируем г и ~. Так как ~дФ/дч) ф О, можем воспользоваться теоремой о неявной функции и записать эти уравнения в виде ду ду хз = — щ+ — ог, до1 дог Ф = оз — ((ом от) = О, где ом оз, оз — координаты вектора ч в каком-нибудь ортонормированном базисе. Па плоскости (ом ог) рассмотрим произвольный луч о| = га, оз —— г~д, где а и р фиксированы, а г переменный параметр, Доказательство.
Скорость точки и дифференциал ее радиуса- вектора в действительном движении связаны равенством дг = ч Й. Умножив обе части этого равенства скалярно на дФ/дч, получим утверждение леммы. П Видим (см. определение 3.8.2), что при З.В. Влияние связей на движение материальной точки 201 выделяющий точки луча. Тогда второе уравнение можно преобразовать к виду ф Уо в — 1 или У в ~ оз в7~ дв ва где уо есть значение функции У при начальном в = во. Следовательно у = уо/во фиксировано при изменении в. Тем самым показано, что если уравнению связи удовлетворяет вектор ч, то и вектор вч удовлетворяет уравнению той же связи.
Точка ч = О, будучи предельной при в - О, всегда может быть доопределена, как удовлетворяющая уравнению связи. В пространстве скоростей имеем структуру конической поверхности с вершиной в точке О. Заметим, что плоскость есть частный случай конической поверхности. Достаточность. Если уравнение Ф = 0 определяет коническую поверхность с вершиной в точке О, то зто означает, что функция Ф не меняется вдоль направления скорости, а потому дФ вЂ” «=О.п дч Реакция идеальной связи выразится формулой Х = Л вЂ”. дФ дч Для материальной точки, стесненной идеальной связью Ф(», г, 8) = О, уравнение движения принимает вид дФ т«г = Г + Л вЂ”, дч' и оно вместе с уравнениями связи и начальными условиями однозначно определяет закон движения.
Полученное уравнение называется уравнением Лагранзеса с множителем. Теорема 3.8.2. (Влияние идеальной связи на кинетическую энергию). Допустим, что на материальную точку налолсена идеальнал связь Ф(ч,г,1) = О. Тогда изменение кинетической энергии определено выражением ВТ дФ вЂ” = Е «+ Л вЂ”.ч.
д1 дч Доказательство. Поскольку связь идеальна, мы можем воспользоваться уравнением Лагранжа с множителем и скалярно умножить обе его части на скорость ч точки. Тогда И г'то''1 дФ вЂ” ~ — ) =Г +Л вЂ” «П е(1'ь, 2 ) дч Глава 3. Динамика поступательного движения 202 Член ((Л дФ/дч) . ч) выражает мощность (см. определение 3.7.5), затрачиваемую реакцией связи при движении точки. Теорема 3.8.3. (Интеграл энергии при наличии идеальной связи). Пусть связь идеальна и такова, что действительное веремещение в любой момент времени вринадлеэгсит мнолсеству виртуальнмг, а активная сила воо1енциальна с силовой функцией У(г). Тогда имеет место интеграл энергии Доказательство.
Коль скоро действительные перемещения принадлежат множеству виртуальных и силы потенциальны, то дФ дУ Л вЂ” =О, Е= —, дч и доказываемая теорема есть следствие теоремы 3.8.2.П Рассмотрим наиболее часто встречающиеся типы связей. Пусть уравнение связи имеет вид Ф(г,ч,~) = А ч+ В = О, А ф О, где вектор А = А(г,1) и скаляр В = В(г,~) зависят только от радиуса-вектора г точки и времени 1. Такое ограничение носит название линейной дифференциальной связи. Из-за нее конец вектора ч должен принадлежать плоскости, перпендикулярной вектору А и смещенной от материальной точки на расстояние В/~А~.
Это ограничение выделяет допустимые значения вектора скорости для любого заданного положения точки и для любого заданного фиксированного момента времени. Для такой связи дФ/дч = А, и уравнение, определяющее векторы виртуальных перемещений, представляется следующим образом А бг=О. Вектор бг определен неоднозначно. Он принадлежит плоскости, перпендикулярной вектору А.
Далее, в силу уравнения связи получим дФ вЂ” ч=А ч=-В. дч Таким образом при В ф О множество виртуальных перемещений не включает действительное перемещение. Если же В = О, то действительное перемещение точки за время й будет принадлежать множеству виртуальных. З.В. Влияние связей на движение материальной точки 203 Реакция идеальной линейной дифференциальной связи выразится формулой М=ЛА. Для материальной точки, стесненной такой связью, уравнение Ла- гранжа с множителем принимает вид гптг = Р+ ЛА, и оно вместе с уравнением связи и начальными условиями однозначно определяет закон движения. Следствие 3.8.1.
Допустим, чгао на магпериальную точку наложена идеальная связь А и+В = О. Тогда изменение кинетической энергии определено выражением дТ вЂ” = Р— ЛВ. Й Доказательство. Воспользовавшись теоремой 3.8.2, найдем МТ вЂ” =Р т+ЛА т. дс Но уравнение связи влечет А ч = — В.П Член ( — ЛВ) выражает мощность, затрачиваемую реакцией связи при движении точки. Следствие 3.8.2.
Пусть линейная дифференциальная связь идеальна и такова, чгао дейсгпвигпельное перемещение в любой момент времени принадлежит множеству виргпуальных ~В = 0), а активная сила погаенциальна с силовой функцией У(г). Тогда имеет месгао интеграл энергии Т= У+Л. Доказательство. Коль скоро В = 0 и Р = дУ/дг, то доказываемое утверждение вытекает из следствия 3.8.1.П П р и м е р 3.8.1. Точка перемещается в трехмерном пространстве относительно ортонормированного репера Оегетез.
Ее радиус-вектор выражается формулой г = х1е1 + хзет + хзез. Пусть а каждой плоскости, перпендикулярной вектору ез, задано направление проекции скорости точки на эту плоскость, зависящее от координаты хз и времени; *т = У(хз,т)хь Глава 3. Динамика поступательного движения 204 где /(кз,С) — заданная функция. В этом случае имеем дифференци- альную связь А ч + В = О, для которой А = (/(кз,С),— 1,0), В = О, и действительное перемещение принадлежит множеству виртуальных, несмотря на зависимость вектора А от времени.
Функция Ф(г, ч, С) имеет вид Ф(г ч С) = 1(кз С)кг — кз. Множитель Л дается выражением (1+ 1 ) ~У(кэ~С)рг ез+™ ~ т1кэ+ *1 г -1 /д/ .. д/. д*з дС где Е1 и гэ — компоненты активной силы У.О Выше были рассмотрены случаи, когда связь существенно зависит от скорости. Предположим теперь, что дФ/дч = О. Такая связь означает, что движение материальной точки ограничено поверхностью, заданной уравнением /(г,С) = 0 (геометрическая ееязь/. Соответствующая дифференциальная связь имеет вид А - ч + В = О, где д/ дУ А= —, В= —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
