1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Пусть в плоскости Р траектория точки задана полярными координатами г = т~р). Направление отсчета 1а положительно при вращении г (у) против хода часовой стрелки, если смотреть с конца вектора и. Установим выражение для секторной скорости в полярных координатах.
3.7. Основные теоремы динамики материальной точки Обозначим Ир — приращение полярного угла. Тогда 193 2ЫЯ = г(у5)г(1р+ йр) е1п(г(у), г(1р+ др)) = гтдр, Последнее соотношение справедливо, так как речь идет о равенстве диф- ференциалов. Таким образом, Теорема ЗЛ.5. Проекция кинетического момента на постоянный единичный вектор гг равна произведению массы и удвоенной секторной скорости, которую имеет проекция радиуса-вектора материальной точки на плоскость Р, перпендикулярную к вектору гг. Доказательство.
Рассмотрим скалярное произведение К и= т(г х ч) .гг. Векторы г и ч всегда можно представить в виде г = г„+ гам, ч = ча+ о,и, где г„б Р, че б Р, причем ч„= Ига/а1. Следовательно, (г х ч) = (гн + г. 3г) х (ча + ег гг) = га 51 ча + гс гг х чн + ос гн х 3г. Векторное произведение ортогоиальио сомножителям. Поэтому (г х ч) гг = (г„х ч„) . гг.
Теперь достаточно применить теорему 3.7.4: дЕ К гг=2т —, Й' где Я вЂ” площадь, заметаемая вектором г„в плоскости Р.ь3 Теорема 3.7.6. (Теорема площадей). Если проекция моменп1а силы на какое-либо постоянное направление гг равна нулю, то проекция радиуса-вектора материальной точки на плоскость, перпендикулярную гг, заметает в любые равные промежутки времени одинаковые площади. Приближенное равенство выполнено с точностью до малых второго по- рядка относительно Ые. Пусть д~р положительно. По определению сек- торной скорости найдем Глава 3. Динамика поступательного движения 194 Доказательство.
Применим теорему 3.7.2 и учтем, что проекция момента силы на направление и равна нулю: дК и — =и (гхоз)=0. М Единичный вектор и не изменяется. Имеем первый интеграл К и=с. Постоянная с вычисляется по начальным условиям, заданным в мо- мент времени $о. По теореме 3.7.5 получим сБ 2т — = с, а1 где 5 — площадь, заметаемая проекцией радиуса-вектора на плоскость, перпендикулярную вектору и. После интегрирования найдем с Е= — (à — 1 )+Ео, 2т где ос — начальное значение площади.
П Теорема З.Т.Т. Если материальная точка описывает плоскую траекторию, причем ее радиус-вектор с началом в полюсе О, расположенном на плоскости, заметает за любые равные промежутки времени одинаковые площади, то движение осуществляется под действием центральной силы, линия действия которой проходит через точку О. Доказательство.
Пусть и — единичный вектор, перпендикулярный к упомянутой в условии теоремы плоскости. Тогда кинетический момент К точки параллелен вектору и. По условию теоремы секторная скорость точки постоянна: ~Б 2т — = К ° и= с. ~Й Следовательно, ЫК гхГ= — =О. М Поэтому Р))г.П Доказанная теорема есть пример частичного решения обратной задачи механики. Наличие векторного интеграла кинетического момента представляет собой необходимый и достаточный признак того, что сила, действующая на материальную точку, будет центральной.
3.7. Основные теоремы динамики материальной точки 195 Теорема 3.7.8.(Об изменении кинетической энергии). Дифференциал дТ кинетической энергии Т = тот/2 равен работе силы на действительном элементарном перемещении материальной точки: ЙТюГ дг. Доказательство. Умножим уравнение, выражающее второй закон Ньютона, скалярно на и. Будем иметь д(ти) и. д1 =Г и или Теорема 3.7.9. (Интеграл энергии). Если сила, действующая на материальную точку, потенциальна с силовой функцией (7(г), то уравнения движения допускают первый интеграл (интеграл энергии) Т+ П = Л, где П = — (7 — потенциальная энергия, Л вЂ” постоянная энергии, вычисляемая по начальным условиям. Доказательство.
На элементарном перемещении, учитывая определение силовой функции, будем иметь Г дг = д(7. Теорема 3.7.8 дает дТ = д(7, или а(Т вЂ” (7) = О. Поэтому утверждение теоремы справедливо, причем Ь сохраняется на конкретной траектории. От траектории к траектории величина Ь может принимать разные значения, так как изменнть траекторию — значит взять другие начальные условия,О Определение 3.7.4. Скалярная величина Е = Т+ П называется полной меканической энергией материальной точки. С помощью теоремы 3.7.9 можно сделать качественные выводы о характере движения. Например, пусть на точку действуют потенциальные силы с силовой функцией П(г). Тогда пьоэ — = (7(г)+ Ь.
2 Имеем оэ > О. Следовательно, Цг) + Л > О, что выделяет область допустимых положений движущейся точки. Определение 3.7.5. Скалярное произведение Г ч вектора силы Г и вектора скорости и материальной точки называется мощностью силы. Единицей мощности служит "ватт": 1вт = 1н м/с. Мощность имеет смысл работы, которую сила способна совершить за единицу времени. и Глава 3. Динамика поступательного двяжепяя 196 Следствие ЗЛ.1.Производная пв времени от кинетической энергии точки равна мощности силы, действующей на эту точку: Й'à — =У т. сй П р и м е р 3.7.3. Движение точки в поле параллельных сил тяжести. Основные формулы для такого движения можно найти в примере 3.5.2.
Здесь проиллюстрируем действие основных теорем динамики точки. Пусть вектор ез задает направление вертикали, и на материальную точку действует сила тяжести Р = -туев. Выберем ортонормированный репер Ое1еэеэ с началом в произвольной точке О трехмерного пространства. Векторы е| и еэ образуют горизонтальную плоскость Р, проходящую через начало координат О.
Количество движения материальной точки подчиняется уравнению й(тт) — = — туев. М Проекция силы на горизонтальную плоскость Р равна нулю. Согласно теореме 3.7.1, проекция скорости точки на горизонтальную плоскость (горизонтальная скорость) будет сохраняться как по величине, так и по направлению. Поэтому проекция точки на плоскость Р будет перемещаться по прямой линии 1, уравнение которой зададим в параметрическом виде: г„= г, +ге, где е ŠР— постоянный единичный вектор направления горизонтальной скорости, к — координата переменного положения проекции материальной точки на плоскости Р, вектор г, Е Р привязывает прямую к началу координат, задает точку прямой при к = 0 и остается постоянным при движении материальной точки.
Таким образом, га Е Р при любом значении к. Обозначим и„ модуль горизонтальной составляющей скорости и представим радиус-вектор г точки и ее скорость т в виде г= уеэ+г„, и =уев+иге. Очевидно, что г= т = уез+г„. Откуда г„= к е = и„е - к = и„= сопэ1. Поэтому к = ко+ (е — ео) ие где ка — значение координаты к а начальный момент движения 1 = 8а. 3.8. Влияние связей на движение материальной точки 197 Проекция уравнения количества движения на вертикальную ось дает у = — д у = — -(1 — 1е)' + (1 — ге)э. + уэ, 2 где ээ — начальное значение вертикальной скорости, а уэ — начальное значение вертикальной координаты. Максимальное значение ую координаты у можно найти с помощью интеграла энергии (теорема 3.7.9). Имеем '2+ 2 ,2+ 2 2 гп "+гаду= в= то ' ' +гпдуе или у,„— уз = — ', 2 2 2д' так как для максимальной высоты у,„— уэ имеем у = О.
Отметим, что в рассматриваемой задаче вектор силы тяжести не создает момента вокруг вертикальной оси. Теорема 3.7.6 утверждает, что в этом случае горизонтальная проекция радиуса-вектора будет иметь постоянную секторную скорость. В самом деле, площадь, заметаемую проекцией радиуса-вектора на горизонтальную плоскость, можно найти по формуле 2Яез = (г, х е)(з — зо) = э„(г, х е)(~ — 1о) Видим, что Я меняется равномерно по времени, и теорема площадей а данном случае имеет очевидную интерпретацию. О Ниже будут даны другие примеры применения доказанных теорем, иллюстрирующие их эффективность при исследовании движения.
3 3.8. Влияние связей на движение материальной точки Рассмотрим задачи, в которых из-за геометрических и кинематических ограничений (свлзеэ) ускорение иг, реально получаемое точкой, не совпадает с ускорением тгр = э /гп, которое возникло бы под действием заданной силы Е при отсутствии ограничений. Естественно разницу между т» и ир объяснить влиянием некоторой дополнительной силы. Определение 3.8.1. Реакция связи есть сила, которая, будучи приложенной к материальной точке вместо связи, сохраняет неизменным закон движения точки. Принцип освобождения от связей утверждает, что всегда существует реакция связи, действие которой эквивалентно действию связи. Глава 3. Дияамяка поступательного движения 198 Пусть Х вЂ” реакция связи.
При освобождении от связи второй закон Ньютона следует записать в виде Силу и' в отличие от реакции связи будем называть активной силой, вызывающей требуемое движение. Предположим, что ограничение задано с помощью уравнения Ф(г,ч,1) = О, причем дФ/дч ф О. Такое ограничение носит название диффсреяциальиой связи. Зто ограничение выделяет допустимые значения вектора скорости для любого заданного положения точки и для любого заданного фиксированного момента времени.
Активнаи сила и обеспечивает выбор действительных значений скорости среди всех допустимых. Прн действии активной силы г реакция связи Х должна быть такой, чтобы левая часть уравнения дифференциальной связи была первым интегралом уравнения движения, ибо вдоль действительной траектории зта связь должна тождественно удовлетворяться. Воспользовавшись теоремой 3.8.1, приравняем нулю производную в силу уравнений движения от функции Ф: 1 дФ дФ дФ вЂ” — ° (г'+ Х) + — ч+ — = О. т дч дг й Отсюда получаем необходимое и достаточное условие, которому должна удовлетворять реакция Х, чтобы движение материальной точки происходило в соответствии с заданной дифференциальной связью: — Х = — — г'+ т — ч+— Зто условие ограничивает лишь проекцию Х на вектор дФ/дч. Сле- довательно, вектор Х целесообразно представить в виде Х = Л вЂ” + Х„ дФ дч где скаляр Л = Л(г, ч, 1) однозначно определен: Л = — — — Р+ п1 — ч+— а вектор Х, Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
