1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

Член Е дг/дг учитывает мощность активной силы, возникающую из-за того, что связь зависит не только от д, но и от 1. Если сила, действующая на точку, потенциальна с силовой функцией П(г), то полученное уравнение принимает вид б (,дт ~ дт би д(г — ~у —,-Т~+ — = — — —. с(1 ~, дд ,/ д1 Й д1 ' Следствие 3.8.7. Пусть сумма Т+ (г не зависит явно от времени: д — (Т+ П) = О. Тогда справедлив обобщенный интеграл энергии Якоби .

дТ у —,— Т=П+й. дд Если связь от времени явно нс зависит, то у(дТ(ду) = 2Т, и этот интеграл переходит в обычнмя интеграл энергии. Таким образом, имеем одно дифференциальное уравнение второго порядка, позволяющее установить закон движения точки по связи под действием активной силы Е. Умножив это уравнение на д, полу- чим 3.9. Одномерные осцилляторы 211 Отсутствие явной зависимости суммы Т+ У от времени служит достаточным условием существования обобщенного интеграла зиергии пе только для случаев, рассмотренных выше, по и в гораздо более общем случае (см'. следствие 8.4.3). 3 3.9. Одномерные осцнллнторы Изучим свойства решений часто встречающихся ка практике типов дифференциальных уравнений движения. Опи будут иметь приложение как к движению одной материальной точки, так и к движению систем материальных точек, подверженных связям.

Гармоническим осцилллтором называется механическая система, движение которой полностью описывается дифференциальным уравнением вида х+ы х=О, где х — координата, а ы — положительная постоянная, называемая цихличесхой частотой. П р и м е р 3.9.1. Аребметр — зто цилиндрический сосуд с делениями, по глубине погружения которого в жидкость можно судить о ее плотности. Пусть ее — уровень равновесного положения, Р— вес, 5 — площадь поперечного сечения ареометра, р — плотность жидкости. В положении равновесия вес ареометра уравновешен силой Архимеда: Р = ееЯрд.

Если ареометр имеет меньший уровень погружения е = еа — х, то архимедова сила станет меньше веса. Без учета сил трения прибора о жидкость проекция уравнения второго закона Ньютона на вертикальное направление примет вид тх = — Р+ (ее — х)орд, или х+ — х=О. ~рд т Тем самым ареометр представляет собой гармонический осциллятор с циклической частотой ы = ,/Ярд/ти.о П р и м е р 3.9.2. Пусть однородная ровная доска находится под действием силы тяжести и лежит горизонтально на двух роликах, быстро вращающихся так, что силы сухого трения, возникающие в точках контакта доски с роликами, направлены навстречу друг другу. В положении, когда центр тяжести доски расположен точно посередине между роликами, силы трения взаимно уравновешены.

Половину расстояния между роликами обозначим 1. Сдвинем доску на расстояние х от первого ролика ко второму. Тогда сила давления Агг со стороны доски на первый ролик и сила давления 1чз со стороны доски на второй ролик 212 Глава 3. Динамика поступательного движения уравновешивают вес доски и связаны друг с другом правилом рычага первого рода 1У~(1 + к) = )уз(1 — а), )уг + /уг = Р или )Уг — гУз = -яР/1.

По условию задачи имеем выражения для сил трения: Р~ = ЙФы Рз = /г)ую где с — коэффициент трения скольжения роликов о доску. Уравнение движения доски принимает вид зйР гпй = )г(~У~ — )Уг) = —— 1 Следовательно, рассматриваемая механическая система есть гармониче- ский осциллятор й+ — я=О дй с циклической частотой ы = /дс/1.О П р и и е р 3.9.3. Рассмотрим электрический колебательный контур, состоящий из конденсатора емкости С и катушки индуктивности Ь.

Пусть д — заряд на конденсаторе, 1 — ток в контуре. При изменении тока в катушке возникает ЭДС самоиндукции й1 и, = — Ь вЂ”. Й Разность потенциалов на пластинах конденсатора есть и = д/С. Следо- вательно, Н д — 1,— = —. с(1 С' По определению тока 1 = Ид/й.

Колебания заряда на пластинах конденсатора описываются уравнением гармонического осциллятора д'+(СЬ) 'д = О с циклической частотой ы = фС1,) г.О Видим, что весьма разнородные физические явления подчиняются дифференциальному уравнению одного и того же типа и в этом смысле оказываются подобными. Каждый раз, когда имеется такое подобие, возникает принципиальная возможность моделировать явления одной физической природы явлениями другой природы, по той или иной причине более удобными для экспериментатора.

Гармонический осциллятор — это система с одной степенью свободы, заданной координатой з. Фазовое пространство для него есть фазовая плоскость (а,я). Общее решение уравнения гармонического осциллятора выражается равенствами а — сг созмг + сз 81п йМ, а = ш( — с~ з)пИ + сз сов~А), 3.9. Одномерные осцилляторы 213 где с1 и с2 — постоянные интегрирования, определяемые по началь- ным условиям.

Пусть в момент времени 1 = 0 заданы х = хО, х = хО. Тогда, очевидно, С1 = ХО, С2 = ХО/Щ. Уравнение гармонического осциллятора допускает интеграл энергии 2 г г — + — =а 2 2 где а = (х2О + щтх2О)/2 — постоянная энергии. Из интеграла энергии следует, что фазовая кривая представляет собой эллипс, заданный уравнением 2;2 — + — =1, а2 Ь2 где а = чг26/м, Ь = ~/2а — полуоси. Фазовая точка движется по эллипсу в направлении часовой стрелки (рис. 3.9.1). Пусть посто- В зависимости от различных начальных условий имеем семейство концентрических эллипсов, отличающихся друг от друга только одним параметром — постоянной энергии.

Начало координат (положение равновесия гармонического осциллятора) в соответствии с общепринятой классификацией особых точек представляет собой цеящр. Рис. 3.9.1. Фазовый портрет гармонического осциллятора янная энергии фиксирована. Тогда увеличение частоты м влечет уменьшение полуоси а, из-за чего фазовый эллипс выглядит все более вытянутым вдоль оси ординат. Фазовый поток выражается матрицей с ( созыва, щ ~ з1пмМ 1 — м з(пОЛ, сов~А / ' Общее решение уравнения гармонического осциллятора можно переписать в виде х = а соз(~Л + а), Глана 3. Динамика поступательного движения 214 где 1 . ~/2а кг+ а~гг2 м а а— га Цо = — —.

ыга Осциллятор совершает гармонические колебания. Коэффициент а называется амплитудой колебаний, а аргумент косинуса — фазой колебаний, о есть начальное значение фазы, зависящее от выбора начала отсчета времени. Время т одного колебания (период колебаний) выражается формулой т = 2т/м = 1/о, где и — число колебаний за 1 с. Частота колебаний и измеряется в "герцах": о = 1гц — это частота, при которой эа одну секунду совершается одно колебание.

Энергия и = агыэ/2 гармонического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды. Зависимость от времени координаты к гармонического осциллятора часто бывает удобно представить в виде действительной (вещественной) части комплексной функции и=Не(А е"), где Аа — комплексная постоянная, называемая комплексной ам- плитудой. Она задается равенством А = ае'", так что модуль А совпадает с амплитудой а, а аргумент — с начальной фазой (рис. 3.9.2). Комплексный вектор г(1) имеет модуль, равный амплитуде а, и в начальный момент времени г(0) = А Если из этого положения вектор г, сохраняя его модуль, вращать против хода часовой стрелки с угловой скоростью ы, то его проекция на действительную ось дает в любой момент времени значение действительной координаты г, соответствующее гармоническому колебанию.

Рис. 3.9.2. Комплексная плоскость гармонического осциллятора Гармонический осциллятор представляет собой идеализированную механическую систему, в которой не учитывается трение. Обычно на систему действуют диссииагаиаиме силы, рассеивающие энергию движения. Ниже иллюстрируется изменение свойств системы из-за добавления такого рода сил.

3.9. Одномерные осцилляторы 215 Осцилллгпор с сухим трением описывается дифференциальным уравнением вида х+ы х = — уябпх, где у" — постоянная, характеризующая абсолютную величину силы трения, функция епйп х выделяет знак скорости х. П р и м е р 3.9.4. Рассмотрим движение груза, лежащего на шероховатой горизонтальной плоскости и прикрепленного к вертикальной стене с помощью горизонтальной пружины. Если груз оттянуть от стены на достаточно большое (см. ниже) расстояние, то под действием упругости пружины он будет стремиться к исходному положению и возникнут колебания груза в окрестности положения, соответствующего недеформированному состоянию пружины (положение равновесия).

Пусть х— отклонение груза от положения, в котором пружина недеформирована. На груз действуют две горизонтальные силы: сила гл = — сх, развиваемая пружиной, где с — жесткость пружины, и сила трения скольжения гтр —— -ЕФзнйпх. Нормальное давление гт' на горизонтальную плоскость равно весу груза, й — коэффициент трения. Уравнение движения груза принимает вид глх = — сх — хтпэ анйпх, что совпадает с изучаемым уравнением при ыз = с/т, у = 39.0 Перейдем к анализу общих свойств движения осциллятора с сухим трением.

Для этого, в зависимости от знака скорости х, выделим два случая. Случай 1: х > О. Уравнение движения осциллятора запишется следующим образом: Оно имеет первый интеграл типа интеграла энергии зхт — + — + ~х = й+, 2 2 где Л+ — постоянная вдоль отдельной фазовой траектории, расположенной в верхней фазовой полуплоскости (рис. 3.9.3). С помощью тождественных преобразований приведем этот интеграл к виду Полученное уравнение задает на фаэовой полуплоскости х > О семейство (по 6') половин эллипсов с центром в точке О+, имеющей абсциссу -у/ыз.

Характеристики

Список файлов книги