1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Рис. 3.9.6. Апериодическое движение: хо = 4ыо Найдем точки пересечения фазовых кривых с осью абсцисс (рис. 3.9.6). Сначала определим момент времени 1, при котором достигается равенство х = О: 1 = 2хо/[й(хо + йхо/2)). Видим, что если хо > О, хо + ххо/2 > О, то существует единственный положительный момент 1 пересечения фазовой кривой с осью Ох (прямое направление движения вдоль фазовой кривой).
При хо ( О, Глава 3. Динамика поступательного движения 222 хо+ Йхо/2 > О получим $ < О, что соответствует обратному движению вдоль фазовой кривой. Аналогично, если хо < О, хо + хха/2 < О, то д > О, а если хо > О, ха+ ххо/2 < О, то д < О. Сопоставив выражения для х и 1, убедимся, что в момент 1 справедливо равенство х = — хо+ — хо ехр Значит, если ха + (дха/2 > О, то равенство х = О достигается при положительном значении х, а если ха + хха/2 < Π— то при отрицательном. Суммируя сказанное, получаем фазовый портрет системы в рассматриваемом случае (рис. 3.9.6). Начало координат представляет собой особую точку типа "вырожденный узел".
Вариант Зд хг > 4одг. Тогда корни характеристического уравнения действительны и различны %~ 4 — ~ а Лд — 4 Лд= <О, Лг= <О, Лд<Лг. 2 2 Общее решение уравнения осциллятора дается формулами х = сд ехр(ЛдМ) + сг ехр(ЛгМ), х = адЛд ехр(ЛдМ) + сгЛг ехр(ЛгХ). Используя начальные условия, получим Лгха — хо сд —— л — л Лдхо — хо сг = Лд — Лг Исключив время из общего решения, найдем уравнение фазовой тра- ектории ! Лдх-х 1 ( Лгх — х 1 1 л1 1л, сг(Лд — Лг)~ ~сд(Лг — Лд)~ Чтобы построить фазовый портрет, сделаем замену переменных: Лдх х Лгх сг(Лд — Лг) сд(Лг — Лд) и В новых переменных фазовая траектория подчиняется степенной зависимости: дд=бе, во= Лд/Лг >1, причем во все время движения имеем б > О, О > О.
Образ фазовой точки перемещается вдоль графика степенной зависимости к началу координат (рис. 3.9.7, а). Поэтому (рис. 3.9.7, б) все фазовые кривые 3.0. Одномерные осцялляторы 223 Лгх — х = 0 =О Рис. 3.9.7. Апериодическое движение: хг > 4ыг стремятся к положению равновесия.
Они не могут пересекать ни прямую, соответствующую ( = О, ни прямую, соответствующую г1 = О, т.е. прямые, определенные уравнениями Лгх — х = О. Лгх — х= О, Впадая в начало координат, фазовые кривые касаются прямой г1 = О, т.е. л. — *'=о. Если 1рис. 3.9.7, б) начальная фазовая точка принадлежит области А, для которой выполнены неравенства Л1х — х<0, Лгх — х<0, то существует момент времени 1 пересечения фазовой кривой с осью абсцисс. Этот момент вычисляется как решение уравнения сгЛг ехр(ЛдК) = -сгЛгехр(ЛгХ), сг < О, сг > О.
Отсюда 1 ( сгЛг1 — 1и Лг — Лг ~ сгЛг / Подставив 1 = 1 в функцию х(г), найдем, что фазовая кривая пересе- кает ось абсцисс в точке с координатой л — л 1' с л 'Лухц й=сг ~ — — ') >О. Лг сгЛг Глава 3. Динамика поступательного движения 224 Аналогично если начальная фазовая точка принадлежит области В (рис. 3.9.7,6), для которой выполнены неравенства Л1х — х>0, Лгх — х>0, то фазоввл кривая пересечет ось абсцисс в точке с координатой х < О. Легко установить, что если начальная фазовая точка принадлежит области С, для которой справедливо альтернативное выполнение двух систем неравенств Л|х — х < О, Лэх — х > О, либо Л1х — х > О, Лтх — х < О, то фазовая кривая не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Суммируя сказанное, получаем фазовый портрет, изображенный на рис.
3.9.7, б. Движение, соответствующее такому фазовому портрету, называется апериодически н. Процесс успокоения асимптотически устойчивый. Вместе с тем ни за какой конечный интервал времени система не в состоянии попасть в начало координат. Имеем особую точку типа "узел".
Все рассмотренные выше примеры механических систем объединяет то, что активная сила стремится вернуть систему к положению равновесия. Изучим теперь движение под действием отталкивающей силы, описываемое следующим дифференциальным уравнением: х — шах=О, ы>0.
П р и м е р 3.9.6. Возьмем механическую систему такую же, как в примере 3.9.2, с тем лишь отличием, что ролики, поддерживающие доску, вращаются в противоположном направлении. При этом силы трения будут направлены от середины доски. Уравнение движения примет вид йд х — — х = О. Для него, ы~ = Хд/!.О В рассматриваемом случае характеристическое уравнение Лт ыт — 0 имеет решение Л = жы. Закон движения выражается формулой х = с1ехр(ы1) + отехр(-ьй). 3.9, Одномерные осцилляторы 225 Используя гиперболические функции сЬ(мФ) = [ехр(ьч) + ехр(-~Л)]/2, зЬ(ьа) = [ехр(ыФ) — ехр( — ~Л))/2, представим закон движения в виде я = зо сЬМ~) + — эЬ(ьц). йо Интеграл энергии определяет уравнение фазовой траектории й ш я — — — = 6.
2 2 Изменяя значение постоянной энергии Ь, получаем семейство гипербол, асимптотически приближающихся к прямым На рис. 3.9.8 изображен фазовый портрет системы. Начало ко- Под действием отталкивающей силы фазовая точка стремится покинуть окрестность положения равновесия, если только она не принадлежит асимптоте с отрицательным наклоном: з = -шз, Точки, принадлежащие указанной асимптоте, стремятся к положению равновесия, однако ни за какое конечное время его не достигают. Рис. 3.9.8. Неустойчивое движение ординат — особая точка типа "седло".
Видим, что фазовая точка, не совпадающая с началом координат и не лежащая на асимптоте й = — шз, покидает любую сколь угодно малую окрестность начала координат, удаляясь в бесконечность. Реальная механическая система, описываемая дифференциальным уравнением рассматриваемого типа, неустойчива и имеет тенденцию к разрушению. Изученные выше характерные особенности простейших законов движения часто встречаются как элементы фазового портрета более сложных движений. Проиллюстрируем это, построив фазовый портрет математического маятника.
Глава 3. Динамика поступательного движения 226 Определение 3.9.1. Математический маятник — это материальная точка, вынужденная двигаться по дуге неподвижной окружности в поле параллельных сил. Модуль и направление силы предполагаются постоянными. Направление сил параллельно плоскости окружности. Начало полярной системы координат поместим в центр упомянутой окружности. Тогда радиус-вектор математического маятника имеет постоянный модуль г.
Пусть вектор е задает направление силы; Г = Ре. Положение материальной точки на окружности будем задавать углом ~р между радиусом-вектором точки и вектором е (рис. 3.9.9). Материальная точка, вынужденная оставаться на окружности постоянного радиуса, совершает в поле параллельных сил движение, аналогичное движению груза на растянутой нити, когда размеры груза малы по сравнению с размерами нити. Рис. 3.9.9. Математический маятник Уравнение изменения кинетического момента д — (тг х и) = г х Е Й имеет ненулевую проекцию только на перпендикуляр к плоскости окружности. Радиус-вектор г и скорость т взаимно перпендикулярны, и о = г~р. После преобразований уравнение изменения кинетического момента для математического маятника примет вид Р+ызе1пу= О, где ыа = Г(тиг. Это и есть уравнение движения математического маятника. П р и м е р 3.9.7. Груз подвешен на невесомой нити длины ! и колеблется под действием силы тяжести около нижнего положения равновесия.
Если угол ее измеряет отклонение нити от вертикали, то когда нить натянута и имеет длину, значительно превышающую размеры груза, уравнение движения груза практически совпадает с уравнением математического маятника, в котором ыз = д/1 (см. у 6.4),О Для малых значений угла уг (~р ч. 1) можно принять з)луг ~р.
Оказывается, что при малых углах движение математического маятника приближенно описывается уравнением гармонического осциллятора. Если у = к+к, где к 4,.', 1, то а1пр т — к, и для переменной к 3.0. Одномерные осцнлляторы 227 получаем приближенное уравнение, соответствующее движению под действием отталкивающей силы. Уравнение движения маятника допускает интеграл энергии „~2 2 — = ив сов р+ Ь = Ф(~р, Ь), который при конкретном значении Ь следует рассматривать как уравнение фазовой кривой. Область допустимых значений угла 1о выделяется неравенством Ф(1о, Ь) = ыт сов 1в + Ь ) О.
Рассмотрим эволюцию фазовых кривых при изменении постоянной энергии Ь в пределах — ы~ < Ь < +со. Выделим следующие случаи. Случай 1: Ь = — ыт. Допустимыми будут значения ~р = 2/св, ~р = О, Й = О, +1, +2, . На фазовом портрете (рис. 3.9.10) им соответствуют изолированные положения равновесия, которые в реальном физическом пространстве совпадают, так как получаются друг из друга целым числом полных оборотов по углу 1о. Рис. 3.9.10. Фазовый портрет математического маятника Случай 2: — ыв < Ь < ыв. Допустимые значения у выражаются неравенством 2Ьт — агссов(-Ь/ы~) < р < атосов(-Ь/ы~)+ 2/ся, Ь = О,Ы, Для конкретного значения Ь выделяется связная область положительных значений функции Ф(~р, Ь).
В каждой такой области имеем семейство симметричных относительно оси абсцисс замкнутых фазовых кривых, заданных соотношением ~ = ~,/2вэ, ц. Глава 3. Динамика лостулательного движения 228 Ветвь, соответствующая знаку "+", непрерывно (с вертикальной касательной) сопрягается с ветвью, соответствующей знаку "— ". Такие фазовые траектории изображают периодическое движение системы. В течение периода т фазовая точка пройдет всю фазовую кривую по ходу часовой стрелки и вернется в исходное положение. Из симметрии фазовой кривой заключаем, что за четверть периода абсцисса фазовой точки смещается от положения равновесия на величину размаха колебаний А = агссоа( — Ь/ыт). Следовательно, справедливо равенство А А А г ( ~6р ( Ыу 1 / Иу 4 3 АФ(р,~) ! '~~( ~.,'.С 3,~~( .~-. т ) о о а Сделав замену э1п(1о/2) = из1п(А„,/2) и обозначив е = э1п(А„,/2), выражение для периода колебаний можно привести к виду Интеграл в правой части называется эллиптическим интегралом второго рода.
Значение его можно получить с помощью таблиц, но можно с этой же целью применить разложение подынтегрального выражения в ряд по степеням параметра е. Тогда формула для периода колебаний примет вид г = та+ гэг + тэг + В разложении будут присутствовать члены только с четными степенями относительно е. Видим, что период колебаний математического маятника зависит от начальной амплитуды (размаха колебаний А ). Вместе с тем если начальная амплитуда Аэ мала настолько, что членами второго и более высокого порядка по е можно пренебречь, то период 4 / Ии 2я '="= l — = ы /,/ — 1эс а от начальной амплитуды не зависит и совпадает, как этого и следовало ожидать, с периодом колебаний гармонического осциллятора, для которого ы — циклическая частота.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
