1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 41
Текст из файла (страница 41)
229 3.9. Одномерные осцнлляторы Для следующего приближения по я получим 1 1 2 / 3и 2 / изо'и ы.l ~/à — ит ы,~ Я вЂ” иГ о о Поэтому я тг = —, 2ы ' а приближенная формула для периода колебаний принимает вид тая — 1+ -я~ = — 1+ -я1п Случай 3: й = ыз. Имеем особый случай: Ф(у, 6) = ыз(1+ соя 1о) = 2ыэ сояэ(1я/2). Фазовая кривая определена зависимостью 1э = ~2ы! соя(1о/2) (. Эта кривая подходит к оси абсцисс (рис. 3.9.10) в точках ~р = я+2яй, 1я= О, 9 = 0,~1,. Они — тоже положения равновесия математического маятника. Касательная к фазовой кривой в этих точках не вертикальна, что допустимо, так как в них Р = -мэ я!п(я+ 27Г/с) = О, Область изменения угла 1э в данном случае неограничена. Выделим в ней отрезки с помощью неравенств 2яй — я < 1э < я+ 2яй, 9 = О, х1,.
Фазовая кривая для конкретного значения к окружает соответству- ющее устойчивое положение равновесия, расположенное в точках Однако характер движения вдоль нее существенно отличается от изученного в случае 2. Чтобы убедиться в этом, назначим 9 = 0 и в Глава 3. Динамика поступательного движения 230 начальный момент времени поместим фазовую точку на пересечение рассматриваемой фазовой кривой и положительной полуоси ординат: ~р=2ы, 1о=О. По аналогии со случаем 2 попытаемся найти время т/4, за которое фазовая точка достигнет оси абсцисс при значениях 1е=О, у=я.
Учитывая, что в правой части получается несобственный интеграл, запишем расчетную формулу в виде 1 / е(р 1 ~1+ сов(я/2)1 2ы / сов(1о/2) 2ы ~ 1 — сов(з/2) ~ ' в где 1(к) — время, за которое фазовая точка приобретает абсциссу, равную я — к. При з — 0 имеем 1(я) — оо. Это означает, что фазовая точка реально никогда не попадет в положение равновесия у = я, ф = О, а будет бесконечно долго к нему приближаться. Если в начальный момент фазовая точка точно попала в положение равновесия (ф = О, у = я), то она там останется навсегда, а если ее начальное положение было смещено вдоль фазовой кривой в область отрицательных значений 1е, то фазовая точка уйдет от точки (ф = О, у = т) и будет бесконечно долго приближаться к положению равновесия (~р = О, ~р = -я).
Случай 4: 6 > ыт. Для любых значений 1е имеем Ф(у, Ь) > О. Каждому значению в соответствуют две фазовые кривые, не пересекающиеся друг с другом и с осью абсцисс. Они определены функциями е=„лег °,в, е=-,еие,ц и удаляются от оси абсцисс с ростом Ь. Такие фазовые кривые соответствуют движению, при котором угол у монотонно увеличивается при положительном значении ф и монотонно убывает при отрицательном, угловая скорость ни в одной точке не обращается в нуль. Случай 4 завершает построение фазового портрета математического маятника. Определение 3.9.2. Фазовые кривые, соответствующие случаю 3, называются сепаратрисами. Сепаратрисы отделяют два принципиально различных типа движения системы в случаях 2 и 4.
В окрестности положений равновесия при ее = О, у = л+ 2яй, й = О, ~1, ~2, 3.9. Одномерные осцилляторы 231 имеем картину фазовых кривых, характерную для особой точки типа "седло" (неустойчивое равновесие). В окрестности положений равновесия при чг = О, уг = 2яй, !г = 0,~1,~2, имеем характерную картину особой точки типа "центр" (устойчивое положение равновесия). Фазовый портрет математического маятника повторяет все свои особенности с периодом 2л. В этом смысле достаточно построить фазовый портрет в вертикальной полосе, ограниченной значениями угла гр: — гг < р < гг.
Чтобы получить полную картину движения, эту полосу можно свернуть в вертикальный цилиндр, а ее края склеить. Полученную фигуру называют дгазоеьгм цилиндром. Он нагляднее, чем фазовая плоскость, отражает периодичность закона движения системы в физическом пространстве. Определение 3.9.3.
Циклоидальнэггг маятник — это материальная точка, вынужденная двигаться по дуге неподвижной циклоиды в поле параллельных сил. Циклоидой называется плоская кривая, вычерчиваемая фиксированной точкой окружности, катящейся без проскальзывания по направляющей прямой. Для циклоидального маятника направляющая прямая выбирается перпендикулярно силам, а указанная окружность располагается относительно прямой так, чтобы циклоида была выпукла в сторону действия сил.
Пусть по-прежнему постоянный вектор е задает направление силы Р = Ре, причем Е = сопв! > О. Выберем единичный вектор ег вдоль направляющей прямой циклоиды так, что ег 1. е, а ет — — — е. Радиус-вектор г маятника представим в виде г = гг ег + гг ег. Уравнение циклоиды зададим параметрически: гг — — !(гр+э(пуг), гг — — — !(1+созгр), где ! — постоянный радиус окружности, а гр — параметр (по геометрическому смыслу — угол поворота окружности при ее качении по направляющей). В диапазоне — э' < гр < гг координата гэ меняется от наименьшего гг — — — 2! при гр = О до наибольшего своего значения гг — О при уг = жи. Закон движения задается функцией р = гр(!).
Циклоиду будем предполагать идеально гладкой. Движение одномерно и происходит под действием потенциальной силы. Исследование закона движения выполним с помощью интеграла энергии. Кинетиче- Глава 3. Динамика поступательного движения 232 окая энергия Т и силовая функция !! принимают вид Т = — — + — = 2пир~ совг —, !! = — Е'гг = Р!!1+ сову) = 2Исовг —. 2 Сделаем замену переменной: й = в)п —, ~р = 2д сов ' ~ — (, 2' ~2! ' взаимно однозначную и не имеющую особенностей при — т < ~р < т.
С ее помощью интеграл энергии Т вЂ” !! = !г принимает форму ~г ь~г9г !г» 2Р! Р— + — = !г' = ы 2 2 16гпн ' 4т!' которая совпадает с формой интеграла энергии для гармонического осциллятора !см. г 3.9). Таким образом, переменная !! позволяет отождествить движение циклоидвльного маятника с движением гармонического осциллятора. Из сказанного, в частности, следует, что в отличие от математического маятника период колебаний циклоидального маятника около положения равновесия уг = 0 в диапазоне — л < ~р < т вообще не зависит от амплитуды колебаний.
3 3.10. Резонансные явления На движение реальных колебательных систем могут оказывать существенное воздействие различные возмущающие факторы. Исследуем сначала влияние на гармонический осциллятор силы, изменение которой во времени описывается некоторой заданной функцией ! !!).
рассмотрим следующее уравнение движения; - + г !~!) Закон движения, задаваемый этим дифференциальным уравнением, называется возмущенным по сравнению с законом движения гармонического осциллятора при тех же начальных условиях. Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного (правая часть равна нулю) уравнения и некоторого частного решения изучаемого уравнения: х(!) = сг сов ьА + сг в1п ы! + х„(!), 3.10.
Резонансные явления 233 Частное решение х„(!) можно получить посредством квадратур по методу Пагранжа вариации произвольных постоянных. Этот метод широко используется в механике для изучения движения возмущенных систем. Воспользуемся им. Представим х„(1) в виде х„(1) = у! (1) сов ы1 + уз(1) вш иЛ, где у!(1), уз(!) — искомые функции. Тем самым структура частного решения совпадает со структурой общего решения однородного уравнения, но произвольные постоянные с! и сз заменены функциями времени.
Дифференцируя, получим хз(1) = у! сова/1 + уз в!пи 1 + ( у!ы в!п(А + узм сов(Л). Мы вправе потребовать, чтобы искомые функции у!, уз в любой мо- мент времени удовлетворяли уравнению у! сов м1 + уз в!п(А = О. Тогда выражение для х„(1) упрощается: х„(1) = ы(-у! в!п~Л + уз сов ы1). Найдем вторую производную: х„Я = и!( — у! вшш1 + уз совиЛ) — м х„(1).
Подставив значения для х„в уравнение движения, получим еще одно уравнение для определения у!, ую которое вместе с указанным выше образует систему < — у! вш м! + уз сов и!1 = у (!)/и!, у! сова!1+ уз в!пи!! = О. Разрешая ее относительно у! и уз, найдем 1,, 1 у! = — — З(1) в!пы1, уг —— — Х(1) совий. Нам требуется только одно решение зтик уравнений. В частности, можно взять 1 ! 1 Г у! = — — / зг(1) вшей+ рь, уз — — / ((1) сова!1Й + рю со выбрав какие-нибудь значения постоянных р! и рз. Полученные формулы дают возможность при конкретном задании у(!) оценить влияние возмущающей силы на движение системы.
Глава 3. Динамика поступательного движения 234 Пусть, например, ДМ) = Ьсов(И+ уУ), и > О. Тогда уы ут можно представить в виде Ь Г ув = — — / (в(п[(ш + и)М + 11] + в)п[(м — и)М вЂ” фЦ й + р,, 2м „~ с Ь Е ут = — / (сов[(щ + и)1 + й] + сов[(ш — и)М вЂ” 11Ц Й+ рт. — 2./ ы Структура частного решения зависит от значения разности м — и. Случай 1: м — и ~ О. Тогда 6 ( сов[(ы + и)1 + 8] сов[(ы — и)1 — В] Ув + 2ш ( и+и ы — и 6 ( шп[(м + и)1+ 11] в(п[(ш — и)1 — 11] уг ) + 2ш ) м+и м — и Подставив этот результат в формулу для частного решения и выпол- нив преобразования, найдем в„(1) = сов(и1 + д). Ь Следовательно, частное решение имеет частоту и фазу вынуждающей силы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
