1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 44
Текст из файла (страница 44)
3.10.1. Области резонанса для уравнения Хилла другу ь77 и ыг. Резонансные области исчезают только при ь77 — — ыг. Таким образом, если Соз(тг + 77) = 1, СОВ(Т7 — Тг) = — 1, либо Соэ(Т7 + Тг) = 1, Соэ(Т7 — Тг) — 1 и ы7 ~ ь7г, неизбежно возникает параметрический резонанс. Вторая группа равенств, в частности, означает, что 7.7+7.г = 7г+2к!с, т7 — тг — — 2к1, !с,! = О,Ы,~2, Например, при (г = 0 и! = О, получаем резонансные соотношения параметров !7 и !г: 7г к к7г1 11 — — т=!7+!г — — — ~ — + — ~. 2ы7' 2ыг' 2 1,ь77 ыг,У Глава 3, Динамика поступательного движения 248 Если условно принять, что система имеет среднюю частоту й = (ыг + ыг)/2 и соответствующий ей средний период Т = 2к/ин то можно получить физически легко ощутимое резонансное соотношение периодов + )г = -жы Т 8 ыгыг 4 Откуда при ыг ыг имеем (т/Т) — 1/2 Другие резонансные соотношения можно проанализировать совершенно аналогично. Рассмотрим теперь случай кратных корней уравнения монодромии.
Согласно теореме 3.10.2, резонанс в етом случае отсутствует тогда и только тогда, когда одновременно выполнены равенства агг — -ыг соз(ыг1г) ьбп(ыг1г) — ыг з1п(ыггг) соз(ыг1г) = О, 1 1 агг = — з1п(ыггг) соз(ыггг) + — соз(ыг1г) з1п(ыггг) = О. ыг ыг С учетом принятых обозначений имеем однородную систему линейных уравнений относительно неизвестных ьбп(тг + тг), з1п(тг — тг): (ыг + ыг) з(п(тг + тг) + (ыг — ыг) з1п(тг — тг) = О, (ыг + шг) з1п(тг + тг) — (ыг — ыг) з1п(тг — тг) = О. Если ыг ф ыг, определитель системы отличен от нуля, и ее решением служат з1п(тг + тг) = О, з1п(т1 — тг) = О, что отвечает углам квадрата на рис.
3.10.1. Таким образом, параметрический резонанс будет иметь место также и в случае кратных корней характеристического уравнения монодромии, а заштрихованные области на рис. 3.10.1 включают границу, кроме точек (1, 1), (-1, -1).0 П р и м е р 3.10.3. Частным случаем уравнения Хилла служит однородное уравнение Матье Е+ юг(1+ с сов п1) а = О, ы > О, и > О, 0 < с < 1, Где ы, с, и — постоянные параметры. Используем результаты предыдущего примера и проанализируем возможность появления резонанса для уравнения Мейсснера, аналогичного уравнению Матье: у' + ыг(1) и = О где ы(1) — периодическая с периодом т = 2к/и функция, в пределах одного периода определенная выражением Г (1+ с) ы, если 0 < 1 < т/2, ы(1) = ~ ~ (1 — е) ы, если (т/2) < 1 < т. 249 3.10.
Резонансные явления В обозначениях примера 3.10.2 будем иметь т 2 ыг = (1+с)ы, ыг = (1 — е)ы, гг = Сг = —, аег — —— 2' 1 ег 2ег ыт(1+ е) ыт(1 — е) жг = 1 — ег' 2 ' 2 тг —— Условие параметрического резонанса принимает вид ~ соз(ыт) — з соз(ыте)) > 1 — е Обозначим 1 ы т= — ыг=я-. 2 и Параметрический резонанс возникает, когда либо соз(2т) — е~ соз(211с) > 1 — ег, либо соз(2~) — ег соз(2ге) ( — 1+ ег. Таким образом, после упрощений получаем два случая реализации параметрического резонанса: случай 1, ег з1пг(~е) > з)пг т, случай 2. ег созг(11е) > созг т.
Е У1 зг Уг зг Уз зз 3 и Рис. 3.10.2. Области резонансов уравнения Мейсснера. На рис. 3.10.2 показаны области резонансных соотношений параметров Штриховка слева-вниз-направо выделяет области, соответствующие случаю 1, а штриховка слева-вверх-направо — случаю 2. Величины у;, гп (1 = 1,2,...) суть последовательные корни уравнений яу = ссияу, зг = — гяяг Глава 3.
Динамика поступательного движении 250 соответственно. Эти корни задают аргументы максимумов для функций /1 (е) е з1п Хе /2(е) = е сов Ке при фиксированном отношении ы/и. Например, значения аргумента е, при которых функция /~(е) достигает максимума, выражаются формулой е; = з,и/ы Точно так же вычисляются аргументы максимумов для функции Яе). Указанным аргументам максимумов на рис.
3.10.2 отвечают пунктирные линии. Аналогично пересчитываются и нули функций /1(е) и Яе). Графики соответствующих обратно пропорциональных зависимостей выделены на рис. 3.10,2 сплошными тонкими линиями. В целом структура областей резонансных соотношений достаточно сложна Существуют особые отношения частот вида и/2, (л = 1,2,3,...), для которых резонанс возникает при любых значениях параметра е. В окрестности особых отношений с ростом и резонансные области очень быстро сужаются для любых значений параметра е < 1. Вместе с тем для значений е = 1 резонансные области, наоборот, расширяются, хотя между ними всегда остаются уменьшающиеся островки нерезонансных отношений ы/и.
Одним из способов получения приближенных условий резонанса для уравнения Матье х+ы~(1+ с сов И) х = О, ы > О, и > О, 0 < е < 1, х = ~е'у;(1). г=в Очевидно, что х = ~ е'у;(1). г=э Подставим это выражение в уравнение Матье: уз+ изув+ 3 )е'(у;(1)+ы~у, +(ыасовиХ)у; 1) = О.
=о Приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях параметра е, получим рекуррентную систему дифференциальных уравнений у;+ы у; = — ы у; 1созИ, 2, 2 уз +ы ув = О, 2 служит метод малого параметра. Проиллюстрируем соответствующую процедуру поиска решений. Будем считать, что е ~ 1, Укажем способ получения решений х1(1), хз(1) в виде рядов по степеням е: 3.!О.
Резонансные явления Для удобства можно выбрать следующие начальные условия: 251 уа(0) = х(0), уа — — х(0), у;(0) = О, у;(0) = О, г = 1, 1 ы если 0 < ! < !г, 1г, если!г <1<!г+!г, т=!г+!г в пределах одного периода т. Уравнение движения принимает вид 21. д 1а + — аг + — з) и ~р = О. ! ! Имеем а(!) = 21/1, 1:! = ехр — / а(!) й = ехр < — 2!п — ) = 1. 1(О))— а При изменении ! внутри пределов постоянства функции 1(!) будет спра- ведливо уравнение колебаний математического маятника, которое для малых амплитуд можно приближенно представить в виде уравнения гар- монического осциллятора тг + аа (!) т" = О, где ыг — — /д/1~, если 0 < ! < !ы ыг = ~/Йг, если !г < ! < !г + !г, т = 1г + !г С С > ю ~ ~ ~ ~ ~ ! ~ ~ ! ~ ю Все это напоминает постановку задачи в рассмотренном выше примере 3.10.2.
Отличие состоит в том, что в моменты скачкообразного (очень быстрого) изменения длины маятника членом, содержащим произведение скоростей 1~р в уравнении движения маятника, нельзя пренебречь. На основании исследования уравнения Мейсснера следует ожидать, что зависимость параметра В от е должна начинаться с членов порядка ег. Непосредственные вычисления подтверждают зто наблюдение. Дифференциальные уравнения для функций у; представляют собой неоднородные уравнения гармонического осциллятора. Для каждого из этих уравнений могут возникать явления частотного резонанса при некоторых сочетаниях частоты ы с частотами правой части.
При переходе частот через резонансные соотношения возможны существенные изменения закона движения. О П р и м е р 3.10.4. Обратимся к примеру 3.10.1 и предположим, что длина маятника меняется периодически по закону Глава 3. Динамика поступательного движения 252 В уравнении Хилла при скачкообразном изменении функции ы координата и скорость оставались непрерывными. В рассматриваемом примере координата у в момент переключения будет непрерывной, а скорость у изменится скачком вместе с изменением длины маятника. Чтобы определить это изменение, воспользуемся уравнением кинетического момента относительно точки подвеса маятника 1Š— (гл! у) = -Р181пу.
1Е! Интегрируя это уравнение в пределах от !1 до (!1+ сз!), получим с,+ат 1 (!1 + Ы) у(!1+ сз!) — 1 (!1) у(!1) = — д!(!) втп р СЕ!. Подынтегральные члены ограничены. Поэтому в пределе при Л! — О получим !2 Егту+ = !ту у+ = — 'у !г ут(0) = 1, у1(0) = О, уг(0) = О, уг(0) = 1. Тогда м1 1,' СО8(Ы!11) С08(атг!2) — — г 81П(811!1) 8!П(атг!2), ьтг 122 !2 Ег !2 — — ыг СО8(ы1!1) 8!п(ьтг!2) + ы1 — 81П(ь11!1) Соз(ь1212) !г 1 Е !г 81П(Ы111) Сов(Ы212) + — 2 Соз(ч'1!1) 81П(атг!2), 1"2 !2 12 ( ь12 !г ~- — 81П(ьт1!1) 81П(ьтг!2) + сов(ыт!1) 1 сов(ыг!2) !г ~ !г У1(т) = а11 = У1(т) = а21 = уг(г) = а12 —— рг(т) = агг = Отметим в формулах для а21 и а12 наличие множителя !2/!1, связанного с тем, что период функции!(!) заканчивается тогда, когда она принимает то значение, которое было в начале периода.
где у+ значение угловой скорости после, а у — до скачкообразного изменения длины маятника, При изменении длины со значения 12 на значение 11 соответствующий коэффициент пересчета угловой скорости поменяется на взаимно обратный. Теперь мы можем воспользоваться критерием параметрического резонанса, Как и в примере 3,10.2, построим матрицу монодромии.
Пусть решения ут(!) и уг(!) таковы, что 253 3.10. Резонансные явления В соответствии с теоремой 3.10.2 изучим сначала условие резонанса )аы + агг! > 2. Как и в примере 3.10.2, обозначим т1 —— ы1П, тг = ыггг. Рассматриваемое условие резонанса принимает вид ы1)1 ыг)2 2 соз тг соз тг — ~ — + — ) Яш тг Я1п гг > 2 ыгГг ыА или после преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: )жг соя(т1 + тг) — жг соя(т1 — тг)~ > 2, где Очевидно, что при любых положительных значениях 1ы 1г имеем ж1 > 2, жг > О.
Равенства ж| — 2, жг = 0 достигаются тогда и только тогда, когда 11 = 12. Условие параметрического резонанса можно представить с помощью следующей совокупности неравенств 2 жг 2 жг соя(тг+т )> — + — соя(т1 — тг) либо соя(т1+тг)< — — + — соя<тг-тг). ж) жг жг жг Рассмотрим теперь случай кратных корней уравнения монодромии.
В этом случае согласно теореме 3.10.2 резонанс отсутствует тогда и только тогда, когда одновременно выполнены равенства 12 г 12 а21 = — ыг соя тг яш тг + ы1 — я!п тг соя тг = О, )г г 1 1 12 агг = — з)п т1 соя тг+ — — соя тг яштг = О. 1 ы1 Ы2 )2 Эта системз эквивалентна следующей: с Ог 1 ( )г1 ы1+ыг — ) в)п<тг+ тг)+ 1ыг — ы„— ) я)п(т1 — т ) = 0 -12) "!2) 1 1 < )г '1 12, ы1+ ыг г) яш<тг + тг) — 1ыг — ыг 2) яш(тг — тг) = О. 2 12) гг) При )г ф )г определитель этой системы отличен от нуля, и ее решением служат я121(тг + 22) = О, я!п(т~ — тг) = О. После сравнения полученных формул с аналогичными формулами примера 3.10.2 видим, что заштрихованные области на рис.3.10.1 вместе с их границей дают правильное представление об условиях резонанса и в рассматриваемом случае.О 254 Глава 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
