1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 48

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 48)

Рассмотрим движение проекции на горизонтальную плоскость материальной точки сферического маятника в случае его малых отклонений от нижнего положения равновесия. Представим радиус-вектор г маятника в виде суммы г = г„+ гез, где г„— горизонтальный вектор, причем г„/ — малая величина. Относительно величины г будем иметь ,.г ~ ~Вз гз В (1 и и ~ я~~2) м- ~яв Глава 3. Динамика поступательного движения 274 Следовательно, тЬ "и ~т — +ЗР— ЗР—" Я 2дг ' Другими словами, для малых отклонений маятника от нижнего положения равновесия модуль Ж реакции связи оказывается постоянным с точностью до членов второго порядка малости по координатам: тее Мо = — + ЗР.

В Отметим, что если малы также и скорости, то 6 ое — 2дВ и )чо ев Р. С точностью до членов третьего порядка малости уравнение движения и проекции на горизонтальную плоскость принимает внд го +мог = О, мг = Хо((тя). Решение такого уравнения выражается равенством го = а сов ь е + Ь в) и ь е, где а и Ь вЂ” постоянные векторы, принадлежащие горизонтальной плоскости и вычисляемые по начальным условиям. Если векторы а и Ъ неколлинеарны, то конец вектора г„описывает эллипс (замкнутую кривую второго порядка).

Если а и Ь коллинеарны, то конец вектора г„движется по отрезку прямой. Начало координат для этого отрезка служит серединой. Выяснение остальных конкретных подробностей движения сферического маятника предоставим читателю. 3 3.13. Относительное движение В соответствии с принципами относительности и детерминированности (см. 1 3.2, 1 3.3) второй закон Ньютона, связывающий ускорение материальной точки с действующими на нее от других объектов силами, справедлив и имеет одинаковое выражение для всех инерциальных систем отсчета.

Если система отсчета неинерциальна, то связь между относительным ускорением материальной точки и приложенными к ней силами будет более сложной. Теорема 3.13.1. Уравнение относительного движения материальной точки в неинерциольной системе отсчета имеет вид ты„= Е + ( — тчг, ) + ( — тчв,), 3.13. Относительное движение 275 где ж, — переносное ускорение, а чг, — хориолисово ускорение: чг, = иа + ф х г+ ы х (иг х г), ьг„.=2тххт чго — ускорение начала системы отсчета, со — ее угловая скорость, ы — угловое ускорение, г — радиус-вектор материальной точки в подвижном репере, и„— ее относительная скорость.

Доказательство. Воспользуемся теоремой Кориолиса 2.16.2. Из нее следует, что ускорение точки в инерцнальной системе отсчета (абсолютное ускорение) выражается следующим образом: чаа — мех + чге + жс ° Осталось подставить правую часть в закон Ньютона.Р Таким образом, движение материальной точки в неинерцивльной системе отсчета можно изучать точно так же, как и в инерциальной системе, но к силам взаимодействия между физическими объектами (абсолютным силам), учитываемым в инерциальной системе, следует добавить силы, связанные с движением неинерциальной системы и называемые силами инерции: ~ е — тьге х с — тигс ° Перенбсная сила Г, возникает из-за переносного ускорения. Еориолйсова сила у', возникает из-за ускорения Кориолиса.

тиг дт„= Г. дг+ Г,. Йг, т„= — '. 2 Доказательство. Чтобы получить закон изменения кинетической энергии относительного движения, умножим уравнение относительного движении теоремы 3.13.1 на вектор ие и учтем, что ди„ Йг 31 ' еЫ вЂ” — = хт ж, . и„= 2(т х те) и„= О, жх— где символ хй"' означает дифференцирование компонент вектора в не- инерциальном репере. После преобразований получим утверждение теоремы,Р 1г' Теорема 3.13.2. (О кинетической энергии относительного движении). Пифференциал кинетической энергии относительного движения равен работе абсолютной силы и переносной силы инерции на относительном действительном элементарном перемещении точки Игг Глава 3.

Динамика поступательного движения 276 Теорема 3.13.3. Если компоненты ускорения чга сохраняются в нсинсрциальном репере и угловая скорость ы этого репера постоянна, то переносная сила инерции у', потенциальна с силовой функци- У, = — т ига г+ -(иг г) — -ы г ~ . 2 1 2 2 2 2 Доказательство. Напомним, что сила потенциальна тогда и только тогда, когда ее работа на элементарном перемещении точки есть полный дифференциал. Но по условию теоремы имеем ы = О. Поэтому иг, Йг = тиа Йг+ы х (иг х г) дг = ига. дг+ [(ьг.

г)са — ы г]дг = 2 1 2 2 = д ~чга г+ -(ьг г) — -ы г ~,С1 2 2 Теорема 3.13.4. (Интеграл энергии в относительном движении). Если связи, стссняющис относительное движение точки, идеальны и таковы, чтв сс действительное элементарное перемещение принадлежит множеству виртуальных, акгпивныс силы потенциальны с потенциальной энергией П и переносная сила инерции е, обладает силовой функцией У„то в относительном движении справедлив интеграл энергии Т,+П вЂ” У,=Ь.

Доказательство. Сформулированное утверждение непосредственно следует из теоремы 3.13,2лл П р и м е р 3.13.1. Пусть система отсчета движется поступательно с постоянным ускорением а (например, вагон ускоряющегося поезда). В ней помимо активной силы у' действует сила инерции Р, = — гпа. Предположим, что активная сила есть сила тяжести: %' = ти, где и — вектор ускорения свободного падения. Относительное движение и равновесие будут иметь специфические особенности. 1. Рассмотрим движение математического маятника. Момент сил относительно точки подвеса маятника будет равен нулю только тогда, когда отрезок между материальной точкой и точкой подвеса окажется параллельным вектору гр = т(б — а).

Направление этого вектора следует взять в качестве начала отсчета угла отклонения маятника. Период малых колебаний, очевидно, будет г = 2л 3.13. Относительное движение где 1 — длина маятника. 2. Известно, что свободная поверхность жидкости, покоящейся в некотором силовом поле, совпадает с одной из эквипотенциальных поверхностей этого поля. Поверхность жидкости, покоящейся под действием силы тяжести в инерциальной системе отсчета, представляет собой горизонтальную плоскость, а эквипотенциальная поверхность силового поля задается уравнением 6г = пэд г = с, где г — радиус-вектор точки поверхности. В системе отсчета, движущейся поступательно с ускорением а, эквипотенциальная поверхность удовлетворяет уравнению У = У, + Уе = гп(б — а) г = с.

Поэтому свободная поверхность жидкости есть наклонная плоскость, перпендикулярная вектору Ф.О П р и м е р 3.13.2. Пусть ось цилиндрического сосуда расположена вертикально, и сосуд вращается вокруг нее с постоянной угловой скоростью ы. Если в такой сосуд налить жидкость и рассмотреть условие ее равновесия относительно сосуда под действием силы тяжести, то по теореме 3.13.3 уравнение эквипотенциальной поверхности можно записать следующим образом: г 1 г г и г — -(ы г) +-ы г =с.

2 2 Представим радиус-вектор г в виде г = гез+ г„, где базисный вектор ез направлен вертикально вверх и г„ез = О. Так как по условию ы = ыез, то уравнение эквипотенциальной поверхности будет г г = — г„+с, 2 2д с с1 = — —. д Свободная поверхность жидкости есть параболоид вращения вокруг вертикальной оси.О П р и м е р 3.13.3. Рассмотрим движение сферического маятника (см, 'з' 3.12) в поле параллельной силы Р = Ге, Г = сопа1 > О.

Представим себе, что связь реализована посредством гладкого кольца, имеющего возможность вращаться вокруг неподвижного диаметра, параллельного единичному вектору е. Радиус кольца равен г. Положение материальной точки М массы гп на кольце зададим углом И между вектором е и радиусом, направленным из центра кольца в точку М. Глава 3. Динамика поступательного движения 278 Если кольцо сделать неподвижным. то получим математический маятник. Пусть кольцо вращается с постоянной угловой скоростью Й вокруг неподвижного диаметра.

Во вращающейся вместе с кольцом системе координат помимо силы Р на материальную точку будут действовать силы инерции. Исследуем их влияние. Очевидно, что кориолисова сила инерции будет перпендикулярна плоскости кольца. Она полностью компенсируется реакцией связи. Сила У и переносная сила потенциальны.

Применив теорему 3.13.3, найдем силовые функции: гл У, = — Й г в1п у, Ун = г'гсову. 2 Рассматриваемое движение одномерно. Воспользуемся интегралом энер- гии: тпг у г.т з г — = 7гсову+ — Й г втп у+ Ь, 2 2 где Ь вЂ” произвольная постоянная. В дальнейшем предполагается, что Й у О. После преобразований интеграл энергии приводится к виду у' = Й'Й ) + Ь'] где ьгт Х', 2Ь и =сову, Ди) = — (и — р), р= —, ш = —, Ь'= +р +1. Отметим, что ы — циклическая частота малых колебаний соответствующего математического маятника, р — параметр, определяющий свойства движения. В зависимости от значения р рассмотрим следующие случаи.

1. р > 1. Видим, что в диапазоне — 1 < и < 1 функция т'(и) монотонно возрастает вместе с и. Следовательно, функция 1(сову) имеет в точности такие же экстремумы, что и функция сову. Фазовый портрет движения изучаемой системы оказывается полностью аналогичным фазовому портрету движения математического маятника (см.

рис. 3.9.10). 2. р < 1. При и = р функция 1(и) имеет максимум, и у(р) = О. На границах допустимого диапазона -1 < и < 1 имеем: Д-1) =-(р+1) <-(1 — р)~=Д1) ~'(-1) =2(р+1) > О, Г(1) =(р — 1) <О. Функция 1(сову) периодична с периодом 2я. Рассмотрим отрезок — я < у < я. В зависимости от значения Ь' получаются различные области допустимых значений угла у в выражении интеграла энергии. Очевидно, что для Ь' < 0 область допустимых значений угла у отсутствует. а) Ь' = О. На рассматриваемом отрезке допустимыми будут значения ут = — втссовр, ут = атссовр, 279 3.13.

Относительное движение которым на фазовом портрете (рис. 3.13.1) соответствуют изолированные положения равновесия. Очевидно, что )рг) = (рз! < т/2, так как р>О. б) 0 < Ь' < (1 — р) . Допустимые значения р определяются неравенствами — Л' + р < сов уг < ~/Р+ р.

Характеристики

Список файлов книги