1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Построенная функция относится к классу обобщенных функций, изучением свойств которых занимается специальная математическая дисциплина. Конкретный выбор последовательности (Ге(!)) неоднозначен, Он зависит от физической природы протекания ударного взаимодействия. Примененная выше последовательность (Ге(т)) основана на гипотезе о постоянстве силы взаимодействия за время удара.
При фиксированном значении 1 вектор Р Г;= П вЂ” го можно рассматривать как среднюю силу, соответствующую ударному воздействию, когда время протекания процесса равно !е — !о. Ударное воздействие может возникать, например, когда материальная точка попадает на границу области, свободной от препятствий. Рассмотрим этот случай.
Пусть область допустимых положений материальной точки в пространстве описывается с помощью неравенства )(г,!) < О, причем в начальный момент времени !о радиус-вектор г материальной точки удовлетворяет строгому неравенству )(г, !) < О (точка находится внутри допустимой области). Предположим, что в каждый фиксированный момент времени уравнение ((г, !) = О определяет поверхность, сквозь которую материальная точка не может проникать. Точка может либо находиться в области пространства, ограниченной этой поверхностью, либо двигаться вдоль поверхности, сходя с нее только внутрь допустимой области. Имеем так называемую неудерживающую (освобождающую) связь.
Удар точки о связь может возникать, когда точка попадает на ограничивающую поверхность. Пусть г(!) — закон движения точки внутри допустимой области. Момент !е > !о достижения точкой Глава 3. Динамика поступательного движения 292 границы области должен быть наименьшим корнем уравнения ~(г(11),1,) = О при условии д~/д1 > О, так как граница достигается изнутри области. В момент 11 + О скорость ч точки не может иметь произвольного значения, а должна удовлетворять условиям аУ дУ дУ вЂ” — ч+ — < О. дг дг ' а — ' Следовательно, на материальную точку со стороны связи будет оказано ударное воздействие.
Ударная реакция связи Р изменит в момент 11 скорость точки. Специально подчеркнем, что при ударе материальная точка и ограничивающая поверхность не изменят своего положения, а импульс любой конечной силы равен нулю. Удар не будет равен нулю, если выполнены условия ф~1 ф~~ — >О, — <О. Абсолютно иеупругим называется удар, при котором ф~ '~~ ~=~ +о Упругим называется удар, при котором ф~~ Тс1 а Скоростью падения называется скорость чы с которой материальная точка приходит в соприкосновение со связью. Скоростью отражения называется скорость ч, с которой точка покидает связь.
Углом падения о называют угол между отрицательным направлением скорости ч| и нормалью и к граничной поверхности. Нормаль направлена внутрь допустимой области (рис. 3.15.1). Углом отралсения ф называют угол между направлением скорости ч и нормалью м. Связь называют идеальной при ударе, если элементарная работа ударной реакции Р на любом виртуальном перемещении точки вдоль связи равна нулю. В этом случае реакция Р направлена по нормали к поверхности и ЬЯ=Р=Рее При ударе материальной точки об идеальную связь приращение скорости направлено параллельно нормали, а скорости падения и отражения расположены в одной плоскости с нормалью м (нормальной 3.15.
Элементы теории удара плоскости). Кроме того, 293 Э1 Э1П О = Е Э1П О. Обозначим п1и = п1соэа, и = эссэ~9. Отношение Эи ж= П1и 0 < ж < 1. В указанных пределах значение ж зависит от материала соударяющихся поверхностей и может быть определено экспериментально. Знание коэффициента восстановления позволяет замкнуть задачу о вычислении скачка скорости материальной точки при наложении связи, идеальной при ударе. Такой будет, например, любая связь, идеальная по отношению к конечным силам реакции. В самом деле, сила, с которой такая связь действует на материальную точку, всегда направлена по нормали к связи.
Поэтому и удар из-за ее наложения, вычисляемый с помощью соответствующего предельного перехода, будет направлен по нормали. Для неидеальных связей помимо нормальной составляющей скорости будет меняться при ударе также и касательная составляющая. В простейшем случае направление касательной сохранится, а изменится лишь ее величина. Тогда задача о расчете удара замыкается введением коэффициента мгновенного шрепип Х. Обозначим е1, = е1г1па, э = ээ1п13.
По определению х=1 При ударе о связь точка отражается внутрь области, ограниченной поверхностью г(т,1) = О. Нормаль и направлена в сторону, где разрешено свободное движение точки. Касательная к поверхности в точке падения изображена пунктирной линией. Рис. 3.15.1. Характеристики удара называется коэффициентом восстановления (Ньютон). Для абсолютно неупругого удара ж = О. Когда ж = 1, то удар называют аосолюшпо упругим. Коэффициент восстановления не может быть больше единицы.
Иначе можно было бы построить вечный двигатель. Поэтому Глава 3. Динамика поступательного движения 294 Коэффициент т, как и ж, определяется экспериментально. Иногда используется какая-нибудь эмпирическая зависимость т = т(ж). П р и м е р 3.15.2. Рассмотрим движение материальной точки в вертикальной плоскости в поле параллельных сил тяжести. Материальная точка соединена нитью длины 1 с неподвижной точкой О.
Нить реализует одностороннюю связь вида (г) < 1, где г — радиус-вектор материальной точки, имеющий начало в точке О. Когда нить натянута, материальная точка описывает окружность радиуса 1, и ее движение подчиняется уравнению Ьг гпг = — тде — — г, ! где гп — масса точки, д — ускорение силы тяжести, е — единичный вектор вертикали, У вЂ” величина реакции нити. Согласно условию задачи, Ьг не может быть отрицательным. Найдем Ьг при условии, что связь напряжена: г = !г. Тогда мы можем воспользоваться формулой для реакции, найденной в з 3.12: 1 !У = -(2Ь вЂ” Зтдг), г = е.
г, 1 где Ь вЂ” постоянная энергии, г — высота материальной точки над точкой подвеса О. Из интеграла энергии г — +тдг=Ь 2 следует, что Ь > гпдг. Поэтому йг > ( — гпдг/1). Иными словами, материальная точка не может освободиться от связи, если она находится в текущий момент ниже точки подвеса (г < 0). Пусть точка г = 0 достигается при движении маятника по связи. Тогда либо Ь = О, либо Ь > О.
Если Ь = О, то при г = 0 будем иметь э = О, высота г = 0 окажется максимальной, и маятник начнет попятное движение при напряженной связи. Если же Ь > О, то при г = 0 будем иметь Ьг > О, так что и в точке, для которой г = О, связь никогда не освобождается. Таким образом, материальная точка может сойти со связи только, если при движении по связи она оказалась выше точки подвеса (г > 0). Представим себе теперь, что при движении материальной точки с набором высоты при условии 0 < г < 1 выполнилось равенство Ьг = (2Ь вЂ” Зтдг)/! = О. Тогда тез = 2(Ь вЂ” тдг) = тдг > О.
Так как скорость направлена по касательной к окружности, отсюда получаем, что при Ьг = 0 выполнено г > О. Следовательно в последующем движении высота будет увеличиваться, Ж станет отрицательным, и точка сойдет со связи. В данном случае условие 2Ь = Зтдг есть критерий схода материальной точки со связи.
3.!5. Элементы теории удара 295 Пусть гу радиус-вектор точки на окружности, где выполнено условие схода со связи 26 = Зглдзу. Из интеграла энергии найдем скорость в точке схода: эу = уузу. Эта скорость направлена вверх по касательной к окружности (перпендикулярно радиусу-вектору). Можно проверить, что вектор скорости в точке схода выражается формулой чу = (!е — — гу) . !г-гт Радиус-вектор гу и вектор скорости чу служат начальными условиями для движения свободной материальной точки в поле параллельных сил тяжести.
Закон движения точки после схода со связи примет вид д!т г = — — е+ чу!+ гу, 2 г = — дуе+ чу. Очевидно, зто парабола. Она частично расположена внутри окружности радиуса 1 с центром в точке О, а частично вне ее. Точка пересечения параболы с окружностью есть точка нового выхода на связь. Приравняв гт к !з, найдем момент времени пересечения параболы с окружностью: = 4чу е/д = 4чу,/д. По смыслу иу, есть проекция скорости на вертикальное направление в момент схода точки со связи. Справедливо равенство дзу ! — 2 8эу~, 4ег, г1 — — — — е+ — чу + гу, У У г1 — — — 4эу,е+ чу. Найдем проекцию э„скорости на направление радиуса-вектора в момент выхода точки на связь (радиальную составляющую скорости).
з г~ 1, 8чу, е ! !д из которого ясно, что время !1 равно нулю лишь при зу = О и при зу = !. Как было отмечено выше, в точке окружности, где зу = О, не может быть схода со связи. При зу > О время свободного движения сначала растет и в точке гу = !/т/3 достигает максимума, а при дальнейшем росте зу убывает до нуля в верхней точке окружности (зу = !).
Поэтому в верхней точке (зу = !) окружности, реализуемой связью, схода со связи также быть не может. Предположим теперь, что ! = !ь В этот момент точка войдет в контакт со связью и будет иметь следующие значения радиуса-вектора и скорости Глава 3. Динамика поступательного движения 296 Видим, что в момент выхода точки на связь неизбежен удар, так как нормальная к связи составляющая скорости в этот момент всегда строго положительна, и материальная точка в момент удара стремится нарушить связь, Касательная составляющая ч, скорости в момент выхода точки на связь может быть получена из соотношения г1 ч =г1 — — е е к После удара найдем г1 ч+ = — — же„, ч+ = (1 — г)ч,, где ж — коэффициент восстановления, а г — коэффициент мгновенного трения. Если ж ф О, то удар будет упругим, точка отразится от окружности и вновь будет двигаться по параболе до новой встречи с окружностью и т.д. Если удар абсолютно неупругий (ж = О), то точка после удара останется на окружности, и анализ ее движения можно выполнить так же, как это было проделано выше.
Значения г = гп ч = ч+ + ч+ в служат начальными условиями для движения после удара. В случае, когда при каждой встрече со связью материальная точка испытывает абсолютно упругий удар (ж = 1), и мгновенное трение отсутствует (х = О), энергия точки при многократных соударениях со связью сохраняется. Процесс соударений, раэ начавшись, не сможет прекратиться. Вместе с тем в ходе такого движения могут встретиться случаи плавного (по касательной) выхода на связь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
