1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 53
Текст из файла (страница 53)
3.42. Указать, как по заданным начальным радиусам-векторам гш, ттв и начальным скоростям чш, чю можно найти абсолютное движение двух материальных точек под действием взаимного ньютонианского притяжения. 3.43. Найти закон движения материальной точки по параболической орбите в поле центральной силы ньютонианского притяжения. 3.44.
Найти закон движения материальной точки по гиперболической орбите в поле центральной силы ньютонианского притяжения. Глава 3. Динамика поступательного движения 302 3.45. Найти выражение для силы, действующей на материальную точку массы тп со стороны однородного шара массы М и радиуса Н, если расстояние г от точки до центра шара меньше радиуса шара. 3.46. Найти силу, действующую на электрический заряд, находящийся между разноименно заряженными бесконечными пластинами и вне пространства, заключенного между этими пластинами.
3.47. Для конического маятника (см. з 3.12) абсолютная величина скорости вращения равна )ф = Ь/д/)го~, где д — ускорение силы тяжести, ээ — проекция маятника на вертикаль. Когда )тэ) = В (77 — длина маятника), конический маятник висит вертикально, и никакого движения не совершает. Вместе с тем в этом положении )д ~ = ~/д/Л ф О. Объяснить парадокс. 3.48.
Найти максимальное и минимальное значении реакции сфери- ческого маятника в зависимости от начальных условий. 3.49. Материальная точка находится на дне сосуда, наполненного жидкостью. В некоторый момент времени точка начинает всплывать под действием архимедовой силы. В каком направлении она будет двигаться, если сосуд а) движется поступательно с постоянным ускорением а, Ь) вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ш? 3.50. Показать, что в примере 3.13.3 все устойчивые положения равновесия при любом Й находятся ниже горизонтальной плоскости, проходящей через точку подвеса маятника. 3.51.
Вычислить разность между астрономической и геоцентрической широтами на Земной параллели, соответствующей 60э. 3.52. Применить метод малою параметра не к системе первых интегралов, а непосредственно к уравнениям движения, описывающим падение без начальной скорости тяжелой точки в пустоте на Землю. 3.53.
Какое движение будет совершать маятник Фуко, если ему в нижнем положении равновесия придать скорость чэ, направленную вдоль параллели, 3.54. Под каким углом материальная точка отскочит от стенки, если коэффициент восстановления при ударе равен 1, коэффициент 303 Контрольные вопросы к главе 3 мгновенного трения равен О,б, а угол падения составляет 20'. Можно ли назвать такой удар абсолютно упругим? 3.55.
В примере 3.15.2 найти выражение через еу, для касательной составляющей скорости т„в момент выхода точки на связь. Глава 4 Аналитическая статика системы материальных точек й 4.1. Равновесие системы Пусть задано множество, состоящее из У взаимодействующих друг с другом материальных точек. В этом случае скажем, что материальные точки образуют систему. Взаимодействие точек может быть обусловлено силами, влияющими иа ускорения, а также связями, стесияющими положения и скорости точек. Могут быть приложены также внешние силы от воздействия объектов, ие входящих в рассматриваемую систему. Конфигурацией системы назовем множество, занимаемое в пространстве в данный момент времени всеми материальными точками системы. Определение 4.1.1.
Пусть существует конфигурация системы такая, что в некотором репере Я при отсутствии относительных скоростей всех точек системы эта конфигурация сохраняется неограниченно долго. Такая конфигурация называется иололсением равновесия системы относительно репера Я. Состояние системы, попавшей в положение равновесия с нулевыми скоростями всех ее точек, называется равновесием (относительным равновесием). Теорема 4.1.1.
Необходимым условием равновесия служит одновременное равенство нулю в изучаемом положении системы как скоростей, так и ускорений всех ее точек. Если при этом окажется, что в любой момент времени равенство нулю скоростей всех точек влечет оаакже равенство нулю их ускорений, то указанное условие будет и достаточным условием равновесия. Доказательство. Необходимость. Пусть система находится в состоянии равновесия. Радиусы-векторы всех точек системы относительно репера Я должны с течением времени оставаться постоянными.
Значит, как первая, так и вторая их производные по времени должны быть равны нулю. Необходимость доказана. Достаточность. Пусть в данной конфигурации равенство нулю скоростей всех точек системы влечет равенство нулю их ускорений. Воспользуемся принципом освобождения от связей и представим 4.2.
Классификация связей 305 дифференциальные уравнения движения в виде где гл„, тг„ т„, г, — соответственно масса, ускорение, скорость, радиус-вектор и-й точки в репере Я, Е„ — суммарная сила, У— число точек системы, Предположим, что для значений г',,..., г~ выполнено условие теоремы. Тогда для любого 1 должно быть У„(г',,..., г~~, О,..., 0,1) = О, и = 1,..., Ф. Поэтому постоянные во времени функции г„= г'„, и = 1,..., У составляют решение системы дифференциальных уравнений движения. Единственность этого решения при нулевых начальных скоростях всех точек системы обеспечивается принципом детерминированности Ньютона (стр. 160). Основная задача статики состоит в том, чтобы сформулировать условия, обеспечивающие равновесие системы материальных точек, а также найти все положения равновесия системы.
Аналитическая статика предполагает такую форму условий равновесия, в которой не используются неизвестные реакции связей. При этом существенным оказывается понятие множества виртуальных перемещений точек системы, соответствующего связям. Тем самым учение о связях играет фундаментальную роль в теоретической механике. З 4.2. Классификация связей Рассмотрим систему из Л материальных точек. Выберем репер Я с полюсом в точке О и обозначим через г„, и = 1,..., Ю, радиусы- векторы этих точек, начинающиеся в полюсе О.
Соответственно через Р„= т„, и = 1,..., Ж, обозначим скорости точек. Связь, заданная с помощью неравенства Ф(1,гм...,гч,чм...,чн) ) О, называется неудерлсиеающеп, или односторопнея. Если для неудерживающей связи достигается знак равенства, то говорят, что эта связь наярялсеяа. Пусть па систему наложено п1 связей, и пусть их можно выразить с помощью уравнений Фу(1,г„...,гн,ч;,...,тн) = О, 1 = 1,...,гл, ти < ЗУ. эе — ме Глава 4. Аналитическая статика системы 306 Это так называемые удерживаюецие (двусторонние) связи.
Связи, уравнения которых содержат скорости материальных точек, называются дифференциальными. Если выполнено условие дф./де = О, то соответствующие связи называются стационарными. Предположим, что левые части всех уравнений связей линейно зависят от скоростей: 1Ч Аге ч +В; =О, 1'=1,...,т, ГдЕ Аои = Асе11,Г1,...,ГЛ1) — ВЕКтОрЫ, Ве = В;11,Г1,...,Г1Ч) — СКаляры, явно не зависящие от скоростей. Такие связи назовем линейными по скоростям. Это наиболее распространенный в практических приложениях тип связей.
Если какие-либо уравнения дифференциальных связей можно заменить эквивалентными нм, но имеющими форму полного дифференциала НФ1(1,г1,...,гч) = О, то такие уравнения называются интегрируемыми, а соответствующие связи — голономными. П р и м е р 4.2.1. Пусть задана дифференциальная связь г„ч, +6 =0, где Ь вЂ” постоянная. Эту связь можно представить в эквивалентной дифференциальной форме г„.дг„+ЬЙ = О, откуда ясно, что она — голономная.
Чтобы убедиться в этом, достаточ- но выполнить интегрирование: В том случае, когда никакую совокупность наложенных на систему связей нельзя заменить формами полных дифференциалов, уравнения связей называют неинтегрируем ми, а связи — неголономными. Критерии, позволяющие установить, содержатся ли голономные связи в заданной системе дифференциальных связей, получим в э 4.4. 4 3. Интегрирующие мехаяязмы 307 Если связи голономные, то их уравнения приводятся к виду Я1,гы...,гя) = О, и тогда говорят, что связи заданы в конечном виде.
Голономная связь, заданная в конечном виде, называется схлерономяоа, если 1 не входит явно в уравнение связи, т.е. если дД/д1 = О. Такая связь, будучи записанной в дифференциальной форме, окажется стационарной. 3 4.3. Интегрирующие механизмы Рассмотрим примеры практического использования дифференциальных связей в приборах, предназначенных для измерения площадей, ограниченных замкнутыми контурами. Необходимость в таких измерениях часто возникает в картографии.
С помощью планиметра определяется разность площадей, ограниченных кривыми, описываемыми концевыми точками А и В изображенного отрезка. Чтобы измерить указанную разность, точка С снабжается устройством в виде колесика, плоскость которого перпендикулярна стержню АВ, а угол поворота пропорционален измеряемой величине. Рис. 4.3.1. Планиметр Возьмем отрезок постоянной длины, и пусть его концы А и В описывают замкнутые плоские кривые С1 и Ст (рис.
4.3.1). Зададим положение отрезка АВ радиусом-вектором г = (х, у) какой-нибудь его точки С и углом 4 между зтим отрезком и осью Ох, так что единичный вектор т = (сов 4, з1п4) задает направление отрезка. Радиусы- векторы точек А и В будут соответственно гл — — г+ ат, гя = г — бт, где а и 6 — длины отрезков АС и СВ. Площадь, ограниченная замкнутой кривой Сы дается (теорема 3.7.4) криволинейным интегралом 1 о'1 и= — у гл х Иг4, 2.1 с1 Глава 4. Аналитическая статика системы 308 взятым вдоль контура ь1 в положительном направлении.
Здесь и— единичный вектор, перпендикулярный к плоскости Огр. Подставив выражение для гд, найдем 1 1 а Г 51 и = — ~ (г+ ат) х (Иг+ а Йт) = — ~> г х Иг+ — у т х Иг+ 2,~ 2 Г 2.~ а е2 Г 1 +- ~ г х Йт+ — ~ т х с(т = — ~ г х Иг+ а т х Нг+ 2 ! 27 2~ а Г ат Г +- ~ И(г х т) + и — ~ Й4, 2 ! 2 .~ где интегрирование ведется по контуру,С, описываемому точкой С. Аналогично 1 Г Ь~ Г Г Ь Г Яг и = — ~ г х Иг+ м — ~ йф — Ь ~ т х Иг — — ~> Н(г х т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
