1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 56
Текст из файла (страница 56)
?=о Теорема 4.4.4. (Фробениус). Система дифференциальных связей голономна тогда и только тогда, когда для любых дифференциалов бе? Е е,(е?) и де? б .С(с?) обращаются в нуль внешние производные левых частей всех уравнений соответствующей пфаффовой системы: (дацбЧ? — бац дЧ ) = О, г' = 1,..., т. ?=о Доказательство. В результате применения оператора Р к вектору е?е? получится новый вектор, г-ю компоненту которого обозначим Р (е?е?). Тогда ю» Р?(е?с?) = ) ~Ц;аеье?Чт» ? = 0,1,...,п. еем ь=о 4 4.
Критерии голономностн системы связей 321 Из леммы 4.4.1 следует, что система связей голономна тогда и только тогда, когда »1» Я ~ДЛггаге)бде — б(Лг,аге)йде] = О,,у = О, 1,, п, оы ь»о где независимые дифференциалы (»Чо, адм, ад»), 16дз 6Чы 6Ч») удовлетворяют системе связей. Учтем, что НЛгч ~~~ агебде — 6ЛЧ, ) аееНде = О, и перепишем критерий голономности системы в виде 1 » Л; ~г (да;ебде — багедде) = О, у = О, 1,..., и. г=г е»о В связи с тем что матрица Л = 1Лгч) имеет ранг, равный т, получаем утверждение теоремы.0 П р и м е р 4.4.2, Рассмотрим дифференциальную связь агддг + агддг + аз4дз = О, заданную в трехмерном пространстве ге~. Условие ее голономности со- стоит в выполнении равенства Нагбдг + дагбдг + Назбдз — бог дд1 — багНдг — баз4дз = О в любой точке пространства, или с дпг даг 1 /да, дав Л / дат даг '1 — — †) бдг4Ч; + — — †) бдзддг +~ — — †) бдгддг+ ддг ддг ) ~, ддз ддг ) ~ ддг ддг ) б даг даз1 /даз даг 'г /даз даг~ +~ — — — ) 6Чз4дг+~ — — — ) бдг4дз+~ — — — ) бдгддз= ~дд дд) ~, ддг ддз ) г, ддг ддз) /да1 даг '1 / даг даз 1 =1 — — — ) 16дгМдг — бдгадг) + 1 — — — ) 1бдзадг — бдгадз)+ 1, дд.
ддг ) ~, ддз дЧг ) /даг даз 1 +~ — — — ) ббдз4дг — бдгддз) = О. ддз ддг) га†!503 Глава 4. Аналитическая статика системы 322 Введем вектор а = (а1, аг, аз) и вектор Е1 Ег ЕЗ д д д дЧ1 дЧ2 дЧз го!а = а1 аг аз получаемый путем формального раскрытия определителя правой части, где е1, ег, ез — базисные векторы пространства ль.
С учетом этих обозначений критерий голономности можно представить в виде го! а (бц х й~) = О, что должно выполняться для люБых двух векторов, удовлетворяющих условиям а ба = О, а й! = О. Следовательно, векторное произведение (6цхИц) параллельно а. Поэтому в рассматриваемом случае критерий голономности связи принимает окончательный вид а гога и О. Пусть, в частности, а = (а1, аг, О), причем имеют место зависимости й1 й1(Ч1 Ч2 Чз) а2 аг(Ч! Ч2 Чз) Тогда да 2 да1 дат да1 ~ го!а= ~ — —, дЧз ' дЧз ' дЧ1 дйг) а критерий голономности выражается равенством даг дй1 а тоФа = — — а1+ — аг = О дЧз дЧз или т.е. связь вида а1(Ч1, Ч2, Чз) НЧ1 + йг(Ч1~ Чг~ Чз) ЙЧ2 = О й1 НЧ1 + йг ИЧ2 = О голономна тогда и только тогда, когда отнощение а1/аг не зависит от координаты Чз.
Так будет, например, если коэффициенты а1 и аг вообще не зависят от Чз. Видим, что связь 4.4. Критерии голономности системы связей 323 голономна при любых коэффициентах а~ и аз, зависящих только от координат д, и дз. оа = а~ймЧг), оэ = аз(й,4з). Этот факт может показаться удивительным. Однако в данном случае гиперплоскость Е(с1) одномерна, а значит, интегральная поверхность есть интегральная кривая, которая всегда существует. Поясним это следующим примером.О П р и м е р 4.4.3. Пусть число связей на единицу меньше размерности пространства л"+~, т.е. гп = и.
Такая система связей голономна. Действительно, если гп = и, то гиперплоскость Е(ц) допустимых дифференциалов имеет размерность и+ 1 — гл = 1. Все допустимые дифференциалы оказываются коллинеарными: вг1 = ЛЩ Значит, г1ьп(Ьф) = бцч(й1) = Лйьп(г1г1), 1 = 1,...,п, и внешние производные тождественно обращаются в нуль.
Интегральная поверхность имеет максимальную размерность, равную единице. Она представляет собой всегда существующую интегральную кривую.О Точка соприкосновения диска с плоскостью при движении диска может оказаться в любой точке плоскости, а диск может принять любую ориентацию относительно выбранного репера. Неголономные связи, стесняющие кинематические возможности диска, ограничивают лишь множество кривых в конфигурационном пространстве, соединяющих произвольные начальное и конечное положения диска. Рис.
4.4.1. Качение диска по плоскости П р и м е р 4.4.4. Рассмотрим диск, катящийся по плоскости Р без проскальзывания (рис, 4.4.1). Положение такого диска можно задать координатами я и у точки соприкосновения М диска с плоскостью, углом ф между радиусом, проходящим через фиксированную точку обода диска, и диаметром, проходящим через М, углом 1з между касательной в точке М к диску и осью Оэ, а также углом д между плоскостью диска и осью Оэ.
Качение диска по плоскости без проскальзывания означает, что в каждый момент времени скорость точки М диска, лежащей на плоскости Р, равна нулю. Произвольное малое перемещение и' Глава 4. Аналитическая статика системы 324 диска характеризуется дифференциалами Ия, Иу, г1гб, гор, г(д. Пусть радиус диска равен В. Тогда условие качения диска без проскальзывания относительно плоскости Р запишется в виде двух уравнений дифференциальных связей ыг(Иг1) = Ик — Всозугг1гб = О, ыг(г1Ч) = г1у — Вв1п угг(б = О.
Составим внешние производные Жиг(бг1) — быг(й1) = Вв1п1з(йугбгб — бугЩ), г1и~з(бг1) — быт(ач) = -В сов 1з (Ф бгб — б1е ИФ). Дифференциалы г(у, б1р, Игр, бгб можно выбрать произвольно. Значит, тождественное равенство нулю внешних производных невозможно. Для этого потребовалось бы одновременное равенство нулю в)пу и сов ~р. Следовательно, система дифференциальных связей качения диска по плоскости неголономна. О О 4.5. Выявление голономных связей При исследовании свойств системы материальных точек, подверженных действию связей, часто оказывается желательным уменьшить размерность ее координатного пространства. Это возможно, когда в системе имеются голономные связи.
Цель настояШего параграфа состоит в построении процедуры выделения голономных связей из заданного множества дифференциальных связей. Пусть в координатном пространстве В"+' задано и + 1 линейно независимых пфаффовых форм ые((О), ~,(бц), ..., ~„((ц), определенных невырожденной квадратной матрицей коэффициентов (а;„), 1,у=0,1, ",и.
Найдем для этих форм п+ 1 линейно независимых векторов аа,ам...,а„ так, чтобы (О, еслибы и, ьч(ог) = бег = если г'= и. 4.5. Выявление голономных связей 325 с = ~ио(с)ао + ы1(с)а~ +... + ы„(с)а„. Рассмотрим внешнюю производную и ~. (О;„д,„) р,р=О Коэффициенты Нд„, бер разложений векторов Но, до по базисным векторам вычисляются следующим образом: г1г1р = ы„(Й~), ядр — — ыр(бс1). Обозначим двор — — = — С'„. д да'и С„' РР д Тогда получим разложение внешней производной по базисным формам р й,ц(бя) — Ы;(й~) = ~~~ С„'„ы„(й1) ыр(6Ч).
р,рза Введем операторы д А„=г а„„вЂ”, рзш д отвечающие векторным полям а, так что А„у = ~~~ а„„вЂ”, ду р=е ""д где у' — некоторая функция переменных еш..., й„. Другими словами, матрица (о„„), составленная из компонент векторов а„, должна быть обратной по отношению к матрице (а;р).
Подобранные таким образом н + 1 векторов и и+ 1 форм называются базисными. Пусть б — произвольный вектор. Тогда его разложение по базисным векторам имеет вид Глава 4. Аналитическая статика системы 326 Теорема 4.5.1. Если полный дифференциал функции у" разлолсипеь по базисным формам еио,...,1и„, то коэффициенты разлозесения совпадут с результатом применения операторов Аи к этой функции: 41 = ~(А.1) 1 (дч) и=о Доказательство. Используя определение операторов Аи, базисных форм и векторов, найдем ду " ду (Аиз)и~и(С(Ч) — ~~' Они аи11ия1 — ~' иу1 — Ф~ С~ =о ои до .
до; 1=0 Справедлива также формула п 6У = ~(Аий~а(6Ч). и=о Повторно применим полученные разложения полного дифференциа- ла о Н(6~) = ,'~(с((АО1)ии(6Ч) + (А„~)е((еои(6Ч))] = и=о о о Аи(АО~)1ии(й~)1ии(6Ч) + ~ (А; ()д(1и1(6Ч)). ижо иапо Очевидно, что левая часть этого равенства не изменится при перестановке символов д и 6 между собой (изменение порядка дифференцирования функции). Поэтому н и (Аи(АОЙ Аи(Аи1)]ии(е(Ч)изи(6Ч)+~ (Аей(ееис(6Ч) АО1ИЧ)]= О. и,и=о Учтем разложение внешней производной по базисным формам: и о [(АиАΠ— АОАи+ ~Ц~ Си1,А1)сии(й~)1ио(6Ч) = О.
и, =О 1=0 В силу произвольности векторов дЧ и 6Ч, а также функции у получим АиАи — АОАи ее — ~ ЦСеиА1, 1юо 4.5. Выявление голономных связей Опрцпеление 4.5.1. Выражение 327 [А4„Ая) =А.Ая АяАг называется коммутатором [скобкой Пуассона) двух линейных опе- раторов А„и А„. Теорема 4.5.2. Коммутатор попарно взятьех базисных операторов из мнозесества [А„), и = О, 1,...,и, есть линейный оператор первого порядка. Он разлагается по базисным операторам с теми зеве коэффициентами, что и внешние производные базисных форм по самим этим формам: п [А„, А„] = — ~ ~С„'„А,. ыа[дц) = ~[дц) = ..
= ы ~[дц) = б Дополним входящие в нее пт линейно независимых форм еще какими- нибудь п+ 1 — т линейными дифференциальными формами ыт ° ° ° ~ ып так, чтобы все и+ 1 форм были линейно независимы и могли быть приняты эа базисные формы. Этим формам сопоставим и+ 1 базисных векторов ао .. его. Выделим особо векторы ее,„,..., а„. Каждый из этих векторов согласно определению обращает в нуль все формы ыв ° ып~-1 ° Следовательно, векторы се,..., ек„определяют гиперплоскость Е[е1) пфаффовой системы. В данной точке пространства пфаффову систему можно задавать либо т линейными дифференциальными формами ыа,...,ео г, либо и+ 1 — гп векторными полями а,...,се„.
Доказательство. Формула, выражающая коммутатор через операторы А;, следует из определения этой скобки. Правая часть есть линейная комбинация операторов Ае и не содержит вторых производных.Е3 Обратимся вновь к произвольной пфаффовой системе уравнений Глава 4. Аналитическая статика системы 328 Теорема 4.5.3. Для того чтобы система дифференциальных связей была голономной (вполне интегрируемой), необходимо и достаточно при разложении внешних производных по базисным формам дсгс(бЧ) биц(дЧ) к~~ С~ питт(дЧ)ын(бЧ) ,в=в иметь выполненным условие С„„=О при т'=О,...,тп — 1; и=т,...,п р=т,...,п.
Доказательство. Возьмем дифференциалы йЧ, бЧ Е т' (Ч). Для них ац(дЧ) = ич(бЧ) = О, т = О,..., пт — 1. Поэтому в разложении внешней производной останутся только члены с индексами и,р = т,...,п: с( с(бч) — 6 т(дЧ) = ~Ц, С.'„ю.(дЧ)г„(бЧ). Требование полной интегрируемости эквивалентно обращению в нуль правой части этого равенства при любых НЧ, бЧ Е Е(Ч). Значения же форм ит„(дЧ), ьт„(бЧ) (о, р = т,..., п) могут быть выбраны произвольно, лишь бы они дополняли совокупность форм пфаффовой системы до базисной,п Следствие 4.5.1. Система дифференциальных связей голономна (вполне интегрируема) тогда и только тогда, когда коммутаторы операторов А,„,...,А„, соответствующих линейно независимым векторале а,„,..., а„Е Е(Ч), разлагаются по этим же операторам: Доказательство получается применением теоремы 4.5.3 к разложению коммутаторов по базисным операторам.П Интегралом системы дифференциальных связей называется функция, сохраняющая постоянное значение на интегральных поверхностях системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
