1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 58
Текст из файла (страница 58)
— бг„=(ау,б) =О, т = 1,...,тп. , дт„ Условие того, что набор действительных перемещений (т1г„ т„от, и = 1,..., 61) принадлежит пространству виртуальных перемещений 'Т, записывается в виде дФ. — т„=О,,у=1,...,т. дч„ Пусть связи линейно зависят от скоростей и Фт = ~~~, А, ь ив + -4, о = О,,~ = 1,, тп, ип1 где векторы А , и скаляр А о зависят только от координат и времени. Имеем дФ /дт„= А „. Отсюда получается система уравнений (определение 4.6.2), выделяющая виртуальные перемещения материальных точек для линейных по скоростям связей; и ~Ауь.бгт = О, у = 1,...,тп.
Учтем,что Нг„ гп — ги— пг Тогда уравнения линейных связей можно представить в дифферен- циальной форме: Ау„Нг„+Ауосй = О, т = 1,...,пь Глава 4. Аналитическая статика системы 336 Видим, что система уравнений для дифференциалов действительных перемещений аг„отличается от системы уравнений для виртуальных перемещений бг„наличием в ней слагаемых вида А э Й. Поэтому виртуальные перемещения бг„можно трактовать как дифференциалы радиусов-векторов точек, допускаемые связями, когда время принято за фиксированный параметр: М = О. Если для всех у имеем А э —— О, то дифференциал действительного перемещения системы принадлежит пространству Т виртуальных перемещений.
При А э —— О, у = 1, ..., т, система уравнений, определяющая дифференциалы действительных перемещений, совпадает с системой уравнений, определяющей виртуальные перемещения. Пусть задана система геометрических связей /у(гы...,гл,1) = О, у = 1,...,т. Приведем ее к дифференциальной форме дл д/1 Таким образом, дФ /дг„= д/ /дг„, и система уравнений, определя- ющая виртуальные перемещения, примет вид; — бг„= О, у = 1,...,т. Š—, д/у дг„ и=1 Равенства д/;/д1 = О, 1 = 1,..., т, для голономных связей необходимы и достаточны, чтобы дифференциалы действительных перемещений принадлежали множеству виртуальных.
Если все связи, наложенные на систему материальных точек, голономны, то в каждый фиксированный момент времени уравнения связей выделяют в конфигурационном пространстве соответствующие им гиперповерхности. Виртуальные перемещения в этом случае суть векторы сдвигов изображающей точки из исследуемого положения в другое, принадлежащие касательному пространству к пересечению указанных гиперповерхностей. Для неголономных связей подобная геометрическая интерпретация виртуальных перемещений не будет справедливой.
В частности, наличие неголономных линейных связей не накладывает никаких ограничений на начальное и конечное положения точки в конфигурационном пространстве, стесняя лишь множество траекторий, которыми эти точки допускается соединять. Отметим еше, что для 337 4.6. Идеальные связи. Виртуальные перемещения неголономных линейных по скоростям связей дифференциалы действительных перемещений принадлежат множеству виртуальных тогда и только тогда, когда эти связи однородны. Они не обязаны быть стационарными.
Теорема 4.6.1. Набор реакций (В„, и = 1,..., Х) принадлелсит нормальному пространству Е системы дифференциальных связей тогда и только тогда, когда для любого набора (бг„и = 1,..., Ф) Е Т виртуальных перемещений точек системы выполнено условие В.„бг„= О. га! Доказательство. Необходимость.
Пусть(В,„, и = 1,..., Ж)е !с. Согласно определению 4.6.1 существуют скаляры Л!,...,Л такие, что для соответствующего этому набору реакций ЗУ-мерного вектора х будет выполнено х = Л!а! +... + Л а . Возьмем виртуальное перемещение (бг„, и = 1,..., Ф) Е Т системы точек и построим соответствующий ему ЗМ-мерный вектор б. По определению 4.6.2 виртуальных перемещений имеем (а, б) = О, у = 1,..., т. Следовательно, (х, б) = ~ В.„бг„= О.
Достаточность. Предположим, что выполнено ~ ~В.„бг„= 0 Ч(бг„, и = 1,..., Ф) Е Т. Тогда для соответствующих векторов х и б это условие можно пере- писать следующим образом (х,б)=0 !Уб:(аг,б)=0, у=1,...,т, Представим вектор х в виде т х = ~ Л1 ау + х, 1=1 и найдем коэффициенты Л так, чтобы было(а,х,) = О, у = 1,...,т. Соответствующая система линейных уравнений однозначно разрешима, поскольку ее определитель есть определитель Грама для линейно независимых векторов а .
Пусть после этого оказалось, что вектор Глава 4. Аналитическая статика системы 338 х, ф О. Тогда (х,х,) = ))х,))~ ф О. Получили противоречие, так как можно принять б = х,.П Определение 4.6.3. Связи, наложенные на систему 1!1 материальных точек, называются идеальными, если и В.„бг, = О для произвольных виртуальных перемещений (бг„, и = 1,..., !г') Е Т (ср, с определением 3.8.3).
Чтобы определить реакции идеальных связей, можно воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа. Умножим каждое уравнение системы, определяющей виртуальные перемещения бг„, и = 1,...,!!', на некоторый скалярный множитель Л и результаты вычтем ночленно из равенства, выражающего свойство идеальности связей: К т В.„— ~ Л вЂ” ! бг„= О. дт„ и=! у=! Виртуальные перемещения могут быть получены путем произвольного задания 3!У- гп независимых дифференциалов координат. Остальные гп зависимых дифференциалов получаются из уравнений для виртуальных перемещений. Произвольными множителями Л, у = 1,...,гп, распорядимся так, чтобы коэффициенты при зависимых дифференциалах (их число равно гп) в последнем равенстве обратились в нули.
Тогда в нем останутся лишь члены с независимыми произвольными дифференциалами. Из-за того что равенство нулю элементарной работы реакций связей на любых виртуальных перемещениях системы должно быть тождественным, заключаем, что в нуль обязаны обратиться все коэффициенты при независимых дифференциалах координат.
Таким путем находим следующие выражения для реакций идеальных связей: В.„= ~Л,— '. 1=! В сумме правой части каждое слагаемое, очевидно, можно интерпретировать как реакцию утй связи, действующую на и-ю материальную точку. Эта реакция, следовательно, равна дФ,. В. „= Л вЂ” „ дт„ Множители Л могут быть найдены с помощью уравнениИ связей.
339 4.6. Идеальные связи. Виртуальные перемещения Теорема 4.6.2. Реакции гп идеальных связей однозначно определяюгпся при заданных активных силах, действующих на систему Аг материальных точек, если т ( Згг'. Доказательство. По теореме 4.6.1 реакции идеальных связей принадлежат нормальному пространству В.
(см. определение 4.6.1). Векторы этого пространства при заданных активных силах %'„определяются уравнениями связей однозначно. П Механика, конечно, не ограничивается изучением только систем с идеальными связями. Однако подчеркнем, что лишь для определения реакций идеальных связей достаточно задать уравнения этих связей. При исследовании систем с неидеальными связями кроме ограничений на значения координат и скоростей материальных точек необходимо сформулировать некоторые дополнительные сведения о реакциях.
Примером могут служить задачи о движении или равновесии систем с трением. Для дифференциальных связей, линейных по скоростям (см. ~ 4.2), получим дФ г дч„ = Агк Вк = ~~' ЛгАгг Вгв = ЛгАго. ,г =1 В случае голономных связей зг(гг,...,гк,1) = О коэффициенты дФ /дч„ принимают вид дФ, дуг дч„дг„ и составляют градиенты поверхностей уровня уг = О. Реакции иде- альных голономных связей В Л~Л дг„ направлены вдоль частных градиентов к указанным поверхностям.
Замечание 4.6.1. В некоторых задачах требование идеальности связей (предположение о том, что х, = О) может оказаться слишком сильным. Тогда необходимо добавить соответствующие ненулевые составляющие реакций (К'„, о = 1,..., У), для которых вектор хх ортогонален всем векторам аы ..., ат. Чтобы этого добиться, следует в соответствии с особенностями конкретной задачи выбрать подходящий вектор д Е 1гп(аг,..., а ) и принять х, = р д или В,'„=дт„огв, и=1,...,Х, гг Глава 4. Аналитическая статика системы 340 где (бг„, и = 1,..., Ф) б Т представляет собой подходящее виртуальное перемещение системы, а Д вЂ” размерный скалярный коэффициент, определяемый условиями задачи и зависящий, вообще говоря, от параметров состояния системы и времени.
В дальнейшем, говоря о системах с идеальными связями, мы будем иметь ввиду, что указанные дополнительные силы могут быть учтены во всех последующих соотношениях таким же способом, как и произвольные активные силы. Замечание 4.6.2. Метод неопределенных множителей Лагранжа есть математическая формулировка принципа освобождения от идеальных связей (определение 3.8.1).
В такой форме этот принцип механики можно успешно использовать в произвольных задачах на условный экстремум. В частности, пусть требуется найти экстремум скалярной функции (функционала, см. Э 8.11) Г(х), х б В" (или х б (Ьэ)", если г'(х) — функционал) при выполнении ограничений ф;(х) = О, 1 = 1,..., гп, где ф; — скалярные функции (функционалы). Обозначим Ф множество всех значений х, удовлетворяющих ограничениям. В искомой точке экстремума градиент Г(х) по переменным х б Ф должен обращаться в нуль. Пусть Т вЂ” касательное пространство к множеству Ф в произвольной точке х (множество виртуальных перемещений). Оно определено соотношением 'Т = бх: — ' бх = О, ю' = 1,..., гп дф; дх Пусть Л' — ортогональное дополнение к Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
