1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Если вектор В. б Л', то по определению АГ должно быть К бх=О для любого бх б Т. Вектор В аналогичен реакции идеальных связей ф; = О, 1 = 1,...,п1. По методу множителей Лагранжа найдем В.=С Л, Точка экстремума определена условием, что проекция градиента дГ/дх на касательное пространство Т обращается в нуль. С помощью вектора К зту проекцию можем выразить следующим образом: 4.6. Идеальные связи. Виртуальные перемещения 341 Примем во внимание выражение для В. через градиенты функций 4ч, 1,..., пц и то, что множители Лагранжа пока не определены.
Условие экстремальности можно представить в виде дР др; — — Ер — =О. дх ,, ' дх Множители ра находятся из уравнений связей. Вектор Й. позволяет учесть запрет на смещение точки х в направлении, перпендикулярном касательному пространству 1, и тем самым дает возможность освободиться от связей при формулировании условия экстремальности. рассмотрим некоторые примеры идеальных связей. П р и м е р 4,6.1.
Примем, что связи, обеспечивающие постоянство расстояний между АГ материальными точками, идеальны. Пусть г; и г. — радиусы-векторы двух произвольных точек множества. Связи имеют вид (г, г,)2 = 12., з,я' = 1,, бГ где (И вЂ” постоянные. Воздействие 1-й точки на у-ю из-за наличия между ними связи обозначим ВВ. Аналогичное воздействие у'-й точки на 4-ю обозначим Вгь Согласно методу множителей Лагранжа будем иметь ЙВ = — ЙИ = Л;;(гг — гу), В„; = — В.у; = 7О (г; — г, ) . Суммарные реакции связей, приложенные к 1-й и утй материальным точ- кам, будут соответственно равны Й„= ~~ ВВ = т~ 7В(г — г;), Вд = ~~~ В;, = ~,7В(г; — г,).
Поэтому н Ф н 1 н Й; бг;=- " Ве бг;+~~ Ку бгу = — ~ ~7О(г; — гу) (бгу — бг;)=О. г=г гы1 у хм духи где Л — скалярные коэффициенты. Таким образом предположение об идеальности связей системы точек, образующих твердое тело, означает, что взаимодействие между ними подчиняется третьему закону Ньютона (равенство действия и противодействия см. стр.
161). Наоборот, если предположить, что взаимодействие между точками твердого тела подчиняется третьему закону Ньютона, то получим Глана 4. Аналитическая статика системы 342 Это и означает идеальность рассматриваемой системы связей.О П р и м е р 4.б.2. Движение точки или множества Х точек по идеальной геометрической связи, заданной уравнением у'(г) = О. В этом случае имеем лг уравнений связей ~(г;)=О, (=1,...,Ж, а виртуальные перемещения удовлетворяют условиям д~( ду — бг1 — — О,..., — .бглг =О.
дг ~г=г, дг г=г Реакция идеальной геометрической связи в любой точке перпендикуляр- на к поверхности связи: Ву Лу — , у 1,..., Л . д,б( ' д.~„, Таким образом, рассматриваемая связь не оказывает влияния на движение точек вдоль ее поверхности (силы трения отсутствуют). Справедливо и обратное утверждение если силы трения отсутствуют, то рассматриваемая связь будет идеальной, так как отсутствие сил трения означает перпендикулярность реакции к поверхности связи и Ву бг.
= О.О П р и м е р 4.6.3. Качение одной поверхности по другой без взаимного проскальзывания, когда взаимодействие между ними приводится только к силам реакций, приложенным в точке контакта. Пусть в точке контакта С реакция первой поверхности равна В,ы а второй — В.з. Так как проскальзывание отсутствует, то бг, = бгт = бгс, а с где бга — виртуальное перемещение точки контакта, принадлежащей первой поверхности, бгт — виртуальное перемещение аналогичной точа ки второй поверхности. Условие идеальности связи В1. бг1 + В.т . бгт — — (Е1+ Вг) бга = О, выполняющееся при любом векторе бга, означает справедливость третьего закона Ньютона: Вг — — — Вы Очевидно верно и обратное: если взаимодействующие связи в рассматриваемом примере подчиняются третьему закону Ньютона, то они идеальны.О 343 4.7.
Принцип виртуальных перемещений П р и м е р 4.6.4. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой, когда существует только равнодействующая сила реакции, приложенная к этой точке. Пусть система связей твердого тела 1сохраняются расстояния между точками) идеальна. Неподвижная точка имеет нулевое виртуальное перемещение. Отсюда и следует идеальность всей системы связей в целом.О 3 4.7.
Принцип виртуальных перемещений Равновесие предполагает отсутствие ускорений всех материальных точек системы в любой момент времени. Задачи о равновесии могут быть изучены с помощью системы уравнений, выражающей равенство нулю суммы всех сил, действующих на каждую точку системы. Эта сумма должна включать как активные силы, так и неизвестныс силы реакций связей. Практическое применение указанного подхода затруднено, когда число точек в системе оказывается большим (например, все точки абсолютно твердого тела). К тому же число точек, к которым приложены активные силы, обычно сравнительно невелико, и, как правило, нет необходимости вычислять буквально все реакции связей.
Принцип виртуальных перемещений служит наиболее общим методом решения задач статики. Он возник в результате обобщения "золотого правила" механики: "проигрыш в расстоянии пропорционален выигрышу в силе". Использование принципа виртуальных перемещений позволяет наиболее экономно сформулировать условия равновесия систем материальных точек на основе геометрических свойств связей и информации об активных силах без введения неизвестных реакций связей. Теорема 4.7.1. (Принцип виртуальных перемещений).
(И. Бернулли, Лагранж). Конфигурация системы дг материальных точек, на которые наложены идеальные двусторонние стационарные связи, допускающие а этой хонфигурации тождественное равенство нулю скоростей всех точек системы, будет положением равновесия (определение 4.1.1) тогда и тольхо тогда, когда а любой момент аремени равна нулю сумма элементарных работ всех актианых сил У„, действующих на систему, на любол1 виртуальном иерелеещении (бг„, и = 1,..., Дг) тачек их приложения: У„дг„= О, 'ч'1бг„, и = 1,..., 1г') Е Т.
1=1 Глава 4. Аналитическая статика системы 344 Доказательство. Необходимость. Пусть под действием активных сил и'„система материальных точек, на которую наложены указанные в условии теоремы связи, находится в равновесии. Тогда для каждой точки системы в любой момент времени будет выполняться равенство г',+В.„=О, и=1,...,Ф. Умножив эти равенства на соответствующие виртуальные перемеще- ния и сложив результаты, получим Г„: бг„+ ~ й.„бг„= О.
и ко екн Поскольку связи идеальны, второе слагаемое здесь равно нулю. Необходимость доказана. Достаточность. По условию любое виртуальное перемещение системы обеспечивает тождество Г„бг„= О, Ч)бг„, и = 1,, Ф) Е Т Представим все связи в дифференциальной форме Ф 1гы...,г,ч,чы..,,чгг,1) = О, у = 1,...,гп. Они стационарны и допускают в рассматриваемом положении равен- ство нулю скоростей всех точек системы. Значит, дФ д1 — ~ = О, Фу(гд,...,гн,О,...,О) = О, у = 1,...,А'. Примем противоположное; пусть скорости всех точек системы отсутствуют, но положение, в котором находится система, не есть положение равновесия. А именно, не все ускорения точек равны нулю. Тогда в этом положении дФ дФ. и, следовательно, ускорения обязаны удовлетворять уравнениям дФу 7 — ' зг„=О, у=1,...,тп, -; дч„ 345 4.7.
Принцип виртуальных перемещений совпадающим, очевидно, с уравнениями для виртуальных перемещений (ср. определение 4.6.2). Таким образом, в качестве виртуальных перемещений допустимо принять бг„= а„чк„, и = 1,..., 1!', где а„— отличные от нуля положительные скалярные множители. Уравнения Ньютона для каждой точки имеют вид т„чг„=Рр+В.„, и=1,...,!У, где В.„— реакция связей. Умножив каждое уравнение скалярно на бг„и сложив результаты, получим Г„бг„+ ) В.„бг„= ~~! т„а„чеь > О. ья! Откуда В,„. бг„> О. !ям Это противоречит предположению об идеальности связей. Видим, что в любой момент времени равенство нулю ускорений всех точек системы есть следствие равенства нулю их скоростей, и мы можем воспользоваться теоремой 4.1.1.П Следствие 4.7.1.
Если силы, действующие на систему, потенциальны, то при выполнении условий теоремы 4.7.1 необходимое и достаточное условие равновесия принимает вид бП = О, где П вЂ” силовая функция, т. е. положение равновесия доставляет для силовой функции потенциальной системы стационарное значение по отношению ко всем соседним конфигурациям, переход к которым принадлежит множеству виртуальных перемещений.
Доказательство. Поскольку силы потенциальны, то существует силовая функция П = Цг!,...,гн) такая, что Р„= —, и=1,...,Ф. дП дг„' Условие равновесия системы состоит в том, что Ф М Г„бг„= У вЂ” бг, = бП = О.П ~-~ дг„ ь=! ь=! Глава 4. Аналитическая статика системы 346 Следствие 4.7.2. (Принцип Торричелли).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
