Главная » Просмотр файлов » 1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6

1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 55

Файл №826917 1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (Голубев Основыu) 55 страница1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917) страница 552021-01-26СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 55)

Необходимость. Пусть система связей голономна, Тогда уравнения связей представляются в конечном виде Л(Чо, Чы..., Чп) = О, ' = 1,..., т. Каждое уравнение выделяет гиперповерхность размерности п, а когда левые части этих уравнений линейно независимы, то пересечение всех соответствующих гиперповерхностей образует интегральную поверхность размерности п + 1 — и1. Необходимость доказана. Достаточность. Не теряя общности, предположим, что пфаффову систему можно разрешить относительно ИЧо, ИЧ1,..., ИЧ 11ЧΠ— ьо,тдЧт + Ьо,т+1Щ»+1 + ° ° + Ьо,пдЧ» ~ дЧт-1=Ут-1тдЧт+Ьт-1т+1ИЧт+1+ +ут-1»«Ч». Пусть (п+ 1 — т)-мерная интегральная поверхность существует.

Тогда для нее Ч,„,...,Ч„должны быть независимыми, а Чо,,Ч должны быть их функциями, так что уравнения этой поверхности можно записать в виде Чо = Чо(Чт ° ° Чл)~ ° ° 1Чт-1 = Чт-11Ч»1 ° Чп) а это и означает голономность системы связей.П Перейдем к критериям голономности. Пусть а — скалярный параметр. Укажем метод построения множества всех интегральных кривых пфаффовой системы Ч( ) = 1Чо1о),",Ч 1а)), проходящих через заданную точку Мо. Метод 4.4.1.

Касательный вектор к интегральной кривой удовлетворяет пфаффовой системе т "Ч аб — =О, 1=1,...,н1. Чу Йт 4.4. Критерии голономности системы связей 315 Выделив в матрице коэффициентов (ап) неравный нулю минор и произведя необходимую перенумерацию индексов, представим эту систему в эквивалентном виде г-, ду д1 ~-, ду — = ~~Ьоу —,..., до да''''' да 'Йт' = х~Ь Пусть точка Мо имеет координаты до, д1,..., д„".

Функции д,„(а), д„(а) можно выбрать произвольно при условии, что д (0) = д ,...,д„(0) = д„. Тогда относительно функций до(а),...,д 1(о) получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой коэффициенты 6;. зависят как от произвольно выбранных, так и от искомых функций. При начальных условиях до(0) = до, ", 4..-1(0) = д' 1 решение этой системы определено однозначно, чем и завершается по- строение отдельной интегральной кривой искомого множества. Теорема 4.4.3. Пусть пфаффова система уравнений вполне интегрируема. Тогда интегральная поверхность размерности и+1 — т, проходяи1ая через фиксированную точку Мо пространства В"+1; единственна. Доказательство.

Интегрируемость системы связей означает существование интегральной поверхности я" +г "', проходящей через точку Мо. Эту поверхность (см. доказательство теоремы 4.4.2) можно задать с помощью следующей системы функций: до = Уо(д ",ди),",д -с =.( -г(д ",дп) Проведем через Мо кривую Д б 5"'+1 "'. Независимые координаты д„„..., д„можно взять произвольными функциями параметра а, а функции до(о),...,дт 1(о) тогда определятся из конечных уравнений связей.

Вместе с тем кривая ь1, принадлежащая поверхности 5" +', будет интегральной для пфаффовой системы и обязана удовлетворять связанной с ней системе обыкновенных дифференциальных уравнений (см. метод 4.4.1). Пусть теперь через точку Мо проведена произвольная интегральная кривая Я* (не обязательно принадлежащая 5" +' ). Ее координаты как функции параметра а удовлетворяют той же системе дифференциальных уравнений и тем же начальным условиям, Глава 4.

Аналитическая статика системы что и координаты кривой Д. Поскольку для кривой Д функции й (а),...,д„(п) выбираются произвольно, то их можно взять такими же, как и для кривой Я" . Но тогда по теореме о единственности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений кривая Д совпадет с кривой Д*. Значит, всякая интегральная кривая, проходящая через точку Мэ, принадлежит интегральной поверхности Я"+~ "', содержащей эту точку.О Построим линейный оператор Р, который обращает в нуль все векторы, лежащие в гиперплоскости Е(г1) допустимых дифференциалов, и переводит в себя все векторы, ортогональные (в смысле евклидовой метрики) к Е(г1).

Компоненты Р (Нг1) результата применения оператора Р к вектору дифференциала смещения Иг1 представим в виде ~п п Ру()й)=~ Лэч~ .;,(ы у=В,1,...,п, ь=а где Л;; — неопределенные пока множители. Векторы, ортогональные к Е(ц), и, в частности, векторы (апь ам,, ..,а;„), 1 = 1,..., пз, оператор Р должен переводить в себя.

Следовательно, коэффициенты Л~,. удовлетворяют системе уравнений Л ч ~~ ага а ь = а у, э = 1,..., гп, у = О, 1,..., и. Е Квадратная матрица ага а,ь есть матрица Грама строк пфаффовой матрицы. Так как указанные строки линейно независимы, получим, что матрица Грама невырожденна, а значит, коэффициенты Л; определяются однозначно. Тем самым оператор Р определен корректно. Рассмотрим матрицу Л: Столбцы этой матрицы можно представить как векторы (Ле;,..., Л„;). Из системы уравнений для Л; видим, что т линейно независимых векторов (авь ам,, ага) суть линейные комбинации векторов (Лэ;,..., Л„;).

Поэтому ранг ма- трицы Л равен гп. 4.4. Критерии голояомности системы связей 317 Введем независимые дифференциалы дЧ= (айо,441 .,44о) ЕЕ(Ч) бЧ = (бйо б41 бйо) б Е(Ч) Они не обязательно совпадают, но удовлетворяют системе пфаффовых уравнений и задают в пространстве,С(Ч) допустимых дифференциалов смещения в различных направлениях. Соответственно обозначим Рг = ~ — бйц Рв = ~ ~— Йи дР дР приращения оператора Р в направлениях бЧ и дЧ. Лемма 4.4.1 (Критерий голономности). Система дифференциальных связей голономна тогда и только тогда, когда для любой точки Ч = (йо,., .,4„) и любых бЧ, дЧ Е л.(Ч) имеет место равенство Рг дЧ вЂ” Рг бс1 = О. Доказательство.

Необходимость. Предположим, что система дифференциальных связей голономна. Это значит, что соответствующая пфаффова система вполне интегрируема, т.е. существует интегральная поверхность размерности н + 1 — т, заданная векторным равенством Ч = Ч(и,,..., и„+, ), где им..., и„+1 — произвольные параметры.

По определению оператора Р будем иметь Р— =О, о=1,...,н+1 — т, дЧ ди„ Откуда, дифференцируя по ия, найдем, что Р— — — О дзЧ дР дЧ ди„ди„ди„ди„ + Меняя местами индексы р и и, получим дЧ дР дЧ Р + — — — О ди„ди„ дигдия Вычтем теперь из первого равенства второе: дР дЧ дР дЧ вЂ” — — — — = О.

дии диг дил дия Глава 4. Аналитическая статика системы 318 Дифференциалы смешений Й1, б11 Е Е(д) и приращения РО, Рк зада- ются очевидными соотношениями л+1-п| бя =,~ — бии, ди„ пл1 и+1-п1 Й1= , '— Иип, дип п=1 и д л+1-т д л+1-п1 Ри = ~~ — ~ — 1 Иип = ~~~ — Иип, да да " ди У=О 1 и=! " п=1 и дР п+1-п| д л+1-м Рэ = ~ — ~~ — 1 би„= ~~ — би„, О д41 1 ди. " „ 1 ди.

где Нип, би„— произвольные дифференциалы параметров. Умножив теперь на Нипби„равенства, связывающие частные производные от Р с касательными д11/дип, д11/ди„к интегРальной повеРхности, и просуммировав результаты по индексам р и и, получим утверждение леммы в качестве необходимого условия. Достаточность. Пусть выполнено условие леммы. Возьмем произвольную точку г! = (д',..., д„') и определим интегральную кривую 11(<г) (см. метод 4.4.1), проходящую через эту точку: л п — = ~ ܄—,...,=='1 б ИЧО 1141 пЧ -1 441 Йт Ио' ' Йт ' Йт' 114т 1(Ял — = и! + / (О ),..., — = ил+! п, + /п(1т), Йт Йт ЧО(0) = ЧО, ,47 (О) = Я / (0)=...=/„(0)=0.

Пусть эти функции зафиксированы. Тогда, меняя параметры и1,..., ил+1, ПОЛУЧИМ СЕМЕйетВО ИНтЕГРаЛЬНЫХ КРИВЫХ, Этс СЕМЕИСтВО образует некоторую поверхность размерности и + 1 — и! (параметр а всегда можно выбрать так, чтобы касательный вектор в точке 11' был единичным). Докажем, что при выполнении условия леммы полученная поверхность будет интегральной. Уравнение поверхности ГДЕ и1,..., ил+1,„— ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ПаРаМЕтРЫ, ЗаДаЮШИЕ НаПРавление касательного вектора к интегральной кривой в точке 11', /п,(!т),..., /л(!т) — произвольные функции, обеспечивающие существование и единственность решения системы уравнений интегральной кривой и удовлетворяющие условию 4.4.

Критерии голопомпости системы связей представим в виде Ч = Ч(иь,...,и„+ь,„,а). 319 При изменении параметра а точка перемещается вдоль интегральной кривой. Поэтому дЧ/да б ь".(Ч) и Р— = О. дЧ да Покажем теперь, что и а=Р— =О, ь=1,...,п+1 — гп, дЧ диь да дзЧ дР дЧ вЂ” =Р— + —— да дади; да ди, ' Следовательно да дР дЧ дР дЧ да да дщ ди; до' Учитывая определение оператора Р, разложим вектор дЧ/диь на две составляющие: дЧ вЂ” =а+Ъ, ди; так что вектор Ь Е Ю(Ч), вектор а ортогонален Е(Ч) в любой точке поверхности. С помощью этого разложения представим дР/ди; в виде дР дР дР— = — а+ — Ъ = Р, + Рь.

ди; дЧ дЧ Подставим теперь все найденные выражения в правую часть формулы для да/да: да дР дЧ дР дЧ вЂ” = — а — Р,— + — Ь вЂ” Рь— да да 'да да да' Так как векторы Ъ и дЧ/да принадлежат гиперплоскости Е(Ч), то согласно условию леммы дР дЧ вЂ” Ъ вЂ” Рь — = О. да да в любой точке поверхности. В самом деле, выполняя дифференциро- вание, найдем Глава 4. Аналитическая статика системы 320 Значит, относительно вектора а имеем обыкновенное дифференци- альное уравнение да дР де? — = — а — Р,— до до 'до при начальном условии а(0) = О, так как «?(0) = е?" и от иы..., и»+1 не зависит. Это уравнение есть линейное однородное уравнение относительно компонент вектора а с единственным нулевым решением.

Поэтому а = 0 для любой точки рассматриваемой поверхности, и вектор де?/да?принадлежит гиперплоскости Е(е?). Следовательно, касательная плоскость к этой поверхности совпадает с гиперплоскостью ь(с?), и соответствующая пфаффова система вполне интегрируема,с? Определение 4.4.3. Выберем независимые дифференциалы дс? = (ЙЧо, дуь, дЧ»), бс? = (буо, бум, бЧ»). Приращения коэффициентов на этих дифференциалах обозначим со- ответственно » » ба; = У вЂ” 'з бум Нае = ~~~ — 'г ИЧю к-о " е-о д ' " д Внешней производной формы » е(дЧ) = ~,ацИЧ? ?»о называется выражение Ысц(бц) — бич(де?) = ~ (е?ае бч. — бацдч.).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
5,24 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6447
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее