1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Необходимость. Пусть система связей голономна, Тогда уравнения связей представляются в конечном виде Л(Чо, Чы..., Чп) = О, ' = 1,..., т. Каждое уравнение выделяет гиперповерхность размерности п, а когда левые части этих уравнений линейно независимы, то пересечение всех соответствующих гиперповерхностей образует интегральную поверхность размерности п + 1 — и1. Необходимость доказана. Достаточность. Не теряя общности, предположим, что пфаффову систему можно разрешить относительно ИЧо, ИЧ1,..., ИЧ 11ЧΠ— ьо,тдЧт + Ьо,т+1Щ»+1 + ° ° + Ьо,пдЧ» ~ дЧт-1=Ут-1тдЧт+Ьт-1т+1ИЧт+1+ +ут-1»«Ч». Пусть (п+ 1 — т)-мерная интегральная поверхность существует.
Тогда для нее Ч,„,...,Ч„должны быть независимыми, а Чо,,Ч должны быть их функциями, так что уравнения этой поверхности можно записать в виде Чо = Чо(Чт ° ° Чл)~ ° ° 1Чт-1 = Чт-11Ч»1 ° Чп) а это и означает голономность системы связей.П Перейдем к критериям голономности. Пусть а — скалярный параметр. Укажем метод построения множества всех интегральных кривых пфаффовой системы Ч( ) = 1Чо1о),",Ч 1а)), проходящих через заданную точку Мо. Метод 4.4.1.
Касательный вектор к интегральной кривой удовлетворяет пфаффовой системе т "Ч аб — =О, 1=1,...,н1. Чу Йт 4.4. Критерии голономности системы связей 315 Выделив в матрице коэффициентов (ап) неравный нулю минор и произведя необходимую перенумерацию индексов, представим эту систему в эквивалентном виде г-, ду д1 ~-, ду — = ~~Ьоу —,..., до да''''' да 'Йт' = х~Ь Пусть точка Мо имеет координаты до, д1,..., д„".
Функции д,„(а), д„(а) можно выбрать произвольно при условии, что д (0) = д ,...,д„(0) = д„. Тогда относительно функций до(а),...,д 1(о) получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой коэффициенты 6;. зависят как от произвольно выбранных, так и от искомых функций. При начальных условиях до(0) = до, ", 4..-1(0) = д' 1 решение этой системы определено однозначно, чем и завершается по- строение отдельной интегральной кривой искомого множества. Теорема 4.4.3. Пусть пфаффова система уравнений вполне интегрируема. Тогда интегральная поверхность размерности и+1 — т, проходяи1ая через фиксированную точку Мо пространства В"+1; единственна. Доказательство.
Интегрируемость системы связей означает существование интегральной поверхности я" +г "', проходящей через точку Мо. Эту поверхность (см. доказательство теоремы 4.4.2) можно задать с помощью следующей системы функций: до = Уо(д ",ди),",д -с =.( -г(д ",дп) Проведем через Мо кривую Д б 5"'+1 "'. Независимые координаты д„„..., д„можно взять произвольными функциями параметра а, а функции до(о),...,дт 1(о) тогда определятся из конечных уравнений связей.
Вместе с тем кривая ь1, принадлежащая поверхности 5" +', будет интегральной для пфаффовой системы и обязана удовлетворять связанной с ней системе обыкновенных дифференциальных уравнений (см. метод 4.4.1). Пусть теперь через точку Мо проведена произвольная интегральная кривая Я* (не обязательно принадлежащая 5" +' ). Ее координаты как функции параметра а удовлетворяют той же системе дифференциальных уравнений и тем же начальным условиям, Глава 4.
Аналитическая статика системы что и координаты кривой Д. Поскольку для кривой Д функции й (а),...,д„(п) выбираются произвольно, то их можно взять такими же, как и для кривой Я" . Но тогда по теореме о единственности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений кривая Д совпадет с кривой Д*. Значит, всякая интегральная кривая, проходящая через точку Мэ, принадлежит интегральной поверхности Я"+~ "', содержащей эту точку.О Построим линейный оператор Р, который обращает в нуль все векторы, лежащие в гиперплоскости Е(г1) допустимых дифференциалов, и переводит в себя все векторы, ортогональные (в смысле евклидовой метрики) к Е(г1).
Компоненты Р (Нг1) результата применения оператора Р к вектору дифференциала смещения Иг1 представим в виде ~п п Ру()й)=~ Лэч~ .;,(ы у=В,1,...,п, ь=а где Л;; — неопределенные пока множители. Векторы, ортогональные к Е(ц), и, в частности, векторы (апь ам,, ..,а;„), 1 = 1,..., пз, оператор Р должен переводить в себя.
Следовательно, коэффициенты Л~,. удовлетворяют системе уравнений Л ч ~~ ага а ь = а у, э = 1,..., гп, у = О, 1,..., и. Е Квадратная матрица ага а,ь есть матрица Грама строк пфаффовой матрицы. Так как указанные строки линейно независимы, получим, что матрица Грама невырожденна, а значит, коэффициенты Л; определяются однозначно. Тем самым оператор Р определен корректно. Рассмотрим матрицу Л: Столбцы этой матрицы можно представить как векторы (Ле;,..., Л„;). Из системы уравнений для Л; видим, что т линейно независимых векторов (авь ам,, ага) суть линейные комбинации векторов (Лэ;,..., Л„;).
Поэтому ранг ма- трицы Л равен гп. 4.4. Критерии голояомности системы связей 317 Введем независимые дифференциалы дЧ= (айо,441 .,44о) ЕЕ(Ч) бЧ = (бйо б41 бйо) б Е(Ч) Они не обязательно совпадают, но удовлетворяют системе пфаффовых уравнений и задают в пространстве,С(Ч) допустимых дифференциалов смещения в различных направлениях. Соответственно обозначим Рг = ~ — бйц Рв = ~ ~— Йи дР дР приращения оператора Р в направлениях бЧ и дЧ. Лемма 4.4.1 (Критерий голономности). Система дифференциальных связей голономна тогда и только тогда, когда для любой точки Ч = (йо,., .,4„) и любых бЧ, дЧ Е л.(Ч) имеет место равенство Рг дЧ вЂ” Рг бс1 = О. Доказательство.
Необходимость. Предположим, что система дифференциальных связей голономна. Это значит, что соответствующая пфаффова система вполне интегрируема, т.е. существует интегральная поверхность размерности н + 1 — т, заданная векторным равенством Ч = Ч(и,,..., и„+, ), где им..., и„+1 — произвольные параметры.
По определению оператора Р будем иметь Р— =О, о=1,...,н+1 — т, дЧ ди„ Откуда, дифференцируя по ия, найдем, что Р— — — О дзЧ дР дЧ ди„ди„ди„ди„ + Меняя местами индексы р и и, получим дЧ дР дЧ Р + — — — О ди„ди„ дигдия Вычтем теперь из первого равенства второе: дР дЧ дР дЧ вЂ” — — — — = О.
дии диг дил дия Глава 4. Аналитическая статика системы 318 Дифференциалы смешений Й1, б11 Е Е(д) и приращения РО, Рк зада- ются очевидными соотношениями л+1-п| бя =,~ — бии, ди„ пл1 и+1-п1 Й1= , '— Иип, дип п=1 и д л+1-т д л+1-п1 Ри = ~~ — ~ — 1 Иип = ~~~ — Иип, да да " ди У=О 1 и=! " п=1 и дР п+1-п| д л+1-м Рэ = ~ — ~~ — 1 би„= ~~ — би„, О д41 1 ди. " „ 1 ди.
где Нип, би„— произвольные дифференциалы параметров. Умножив теперь на Нипби„равенства, связывающие частные производные от Р с касательными д11/дип, д11/ди„к интегРальной повеРхности, и просуммировав результаты по индексам р и и, получим утверждение леммы в качестве необходимого условия. Достаточность. Пусть выполнено условие леммы. Возьмем произвольную точку г! = (д',..., д„') и определим интегральную кривую 11(<г) (см. метод 4.4.1), проходящую через эту точку: л п — = ~ ܄—,...,=='1 б ИЧО 1141 пЧ -1 441 Йт Ио' ' Йт ' Йт' 114т 1(Ял — = и! + / (О ),..., — = ил+! п, + /п(1т), Йт Йт ЧО(0) = ЧО, ,47 (О) = Я / (0)=...=/„(0)=0.
Пусть эти функции зафиксированы. Тогда, меняя параметры и1,..., ил+1, ПОЛУЧИМ СЕМЕйетВО ИНтЕГРаЛЬНЫХ КРИВЫХ, Этс СЕМЕИСтВО образует некоторую поверхность размерности и + 1 — и! (параметр а всегда можно выбрать так, чтобы касательный вектор в точке 11' был единичным). Докажем, что при выполнении условия леммы полученная поверхность будет интегральной. Уравнение поверхности ГДЕ и1,..., ил+1,„— ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ПаРаМЕтРЫ, ЗаДаЮШИЕ НаПРавление касательного вектора к интегральной кривой в точке 11', /п,(!т),..., /л(!т) — произвольные функции, обеспечивающие существование и единственность решения системы уравнений интегральной кривой и удовлетворяющие условию 4.4.
Критерии голопомпости системы связей представим в виде Ч = Ч(иь,...,и„+ь,„,а). 319 При изменении параметра а точка перемещается вдоль интегральной кривой. Поэтому дЧ/да б ь".(Ч) и Р— = О. дЧ да Покажем теперь, что и а=Р— =О, ь=1,...,п+1 — гп, дЧ диь да дзЧ дР дЧ вЂ” =Р— + —— да дади; да ди, ' Следовательно да дР дЧ дР дЧ да да дщ ди; до' Учитывая определение оператора Р, разложим вектор дЧ/диь на две составляющие: дЧ вЂ” =а+Ъ, ди; так что вектор Ь Е Ю(Ч), вектор а ортогонален Е(Ч) в любой точке поверхности. С помощью этого разложения представим дР/ди; в виде дР дР дР— = — а+ — Ъ = Р, + Рь.
ди; дЧ дЧ Подставим теперь все найденные выражения в правую часть формулы для да/да: да дР дЧ дР дЧ вЂ” = — а — Р,— + — Ь вЂ” Рь— да да 'да да да' Так как векторы Ъ и дЧ/да принадлежат гиперплоскости Е(Ч), то согласно условию леммы дР дЧ вЂ” Ъ вЂ” Рь — = О. да да в любой точке поверхности. В самом деле, выполняя дифференциро- вание, найдем Глава 4. Аналитическая статика системы 320 Значит, относительно вектора а имеем обыкновенное дифференци- альное уравнение да дР де? — = — а — Р,— до до 'до при начальном условии а(0) = О, так как «?(0) = е?" и от иы..., и»+1 не зависит. Это уравнение есть линейное однородное уравнение относительно компонент вектора а с единственным нулевым решением.
Поэтому а = 0 для любой точки рассматриваемой поверхности, и вектор де?/да?принадлежит гиперплоскости Е(е?). Следовательно, касательная плоскость к этой поверхности совпадает с гиперплоскостью ь(с?), и соответствующая пфаффова система вполне интегрируема,с? Определение 4.4.3. Выберем независимые дифференциалы дс? = (ЙЧо, дуь, дЧ»), бс? = (буо, бум, бЧ»). Приращения коэффициентов на этих дифференциалах обозначим со- ответственно » » ба; = У вЂ” 'з бум Нае = ~~~ — 'г ИЧю к-о " е-о д ' " д Внешней производной формы » е(дЧ) = ~,ацИЧ? ?»о называется выражение Ысц(бц) — бич(де?) = ~ (е?ае бч. — бацдч.).