1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Чтобы убедиться в существовании такой возможности, достаточно обратиться к изученному выше случаю схода точки с окружности и в момент 11 принять направление скорости противоположным, сохранив ее величину Тогда движение материальной точки пойдет в обратную сторону с сохранением траектории и всех свойств движения в обращенном времени. Точка, гладко выйдя на связь. будет двигаться по окружности и вновь сойдет с нее в симметричной относительно вертикального диаметра точке окружности. После этого движение, приведшее к гладкому выходу материальной точки на связь, повторится в обратном порядке с симметричным отражением относительно вертикального диаметра окружности. В случае абсолютно упругого удара материальной точки об идеальную (без мгновенного трения) связь интерес представляют так называемые периодические движения с соударениями.
В рассматриваемой задаче простейший пример такого движения доставляет падение материальной точки без начальной скорости на внутреннюю поверхность окружности. Отразившись от связи, точка приобретет направленную вверх Контрольные вопросы к главе 3 297 скорость, равную скорости падения, поднимется на исходную высоту, и процесс повторится. Другой пример периодического движения с соударениями можно построить, воспользовавшись решением примера 3.5,2.
Пусть я = 11/2 — длина горизонтальной хорды, находящейся ниже центра окружности, ограничивающей область свободного движения. Пусть с1 — скорость материальной точки в пересечении хорды с окружностью. Обозначим Ь = э~~/д максимальную горизонтальную дальность бросания и д начальный угол наклона скорости к горизонту. Если х < Ь, то в пределах 0 < д < 1т/2) существует два угла наклона, при которых достигается дальность бросания ас 1 . я 1, с т дг = — агса1п —, дг = — — агсз1п — + —. 2 Т' 2 /, 2 Направление биссектрисы угла между этими начальными векторами задается углом де = х/4.
При выбранной длине хорды это будет как раз направление к центру окружности. Выпустим теперь из какой-нибудь границы хорды внутрь области свободного движения траекторию с начальным углом дь Траектория достигнет окружности в симметричной относительно вертикального диаметра точке, отразится от нее под углом дз к симметричному горизонтальному направлению бросания, вернется в исходную точку, отразится от нее под углом дг и так далее.
Существуют и другие, более сложные типы периодических траекторий с соударениями. О Контрольные вопросы к главе 3 3.1. Будет ли галилеевым преобразование Ае -+ А4, если до преобразования время измерялось в секундах, а после преобразования оно измеряется в часах? 3.2. Будет ли галилеевым преобразование А4 — Ае, если до преобразования расстояние измерялось в метрах, а после преобразования оно измеряется в сантиметрах? 3.3. Доказать, что всякое движение трехмерного пространства, сопровождаемое сдвигом начала отсчета времени, есть галилеево преобразование. 3.4. Доказать следствие 3.1.1.
3.5. Почему в качестве системы отсчета, близкой к инерциальной, традиционно принимают систему отсчета с началом в Солнце и с осями, направленными на удаленные звезды? Глава 3. Динамика поступательного движения 298 3.6. Могут ли силы зависеть от ускорений? От каких переменных величин могут зависеть силы? Постарайтесь обосновать Ваш ответ. 3.7.
Доказать, что работа потенциальной силы на любом замкнутом контуре равна нулю. 3.8. Могут ли пересекаться различные поверхности уровня силового поля? Обосновать ответ. 3.9. Пусть У(г) — силовая функция некоторой силы. Показать, что У(г) + с, где с — произвольная постоянная, есть силовая функция той же силы. 3.10.
Могут ли пересекаться силовые линии силового поля? Доказать ответ. 3.11. Найти условия, при которых материальная точка в поле парал- лельных сил тяжести совершает то же движение, что электрон между пластинами конденсатора, заряженного до потенциала и. 3.12. Написать уравнение поверхностей уровня для силового поля двух центров ньютонианского тяготения с равными притягивающими массами. Какой вид будет иметь поверхность уровня, проходящая через середину отрезка между притягивающими центрами? Как пройдут остальные поверхности уровня? 3.13.
Автомобиль начинает движение по горизонтальной плоскости с коэффициентом трения скольжения у колес о дорогу. Какое максимальное ускорение автомобиль может развить? 3.14. Материальная точка под действием силы тяжести соскальзыва- ет с наклонной плоскости, имея в начальный момент движения высоту Ь.
После окончания наклонной плоскости точка еще некоторое время движется по горизонтальной плоскости, после чего останавливается. Проекция траектории точки на горизонтальную плоскость равна Я. Предполагая коэффициент трения наклонного и горизонтального участков одинаковым, найти зависимость Я от угла наклона плоскости к горизонту. Найти максимальный угол наклона плоскости к горизонту, при котором скольжение точки отсутствует. 3.15. Найти область достижимости для электрона, влетающего в се- редину вертикальной грани между горизонтальными пластинами конденсатора, имеющего прямоугольную форму.
Ширина Контрольные вопросы к главе 3 299 пластины конденсатора — а, длина — 6, расстояние между пластинами — и', напряжение — и. Действует сила тяжести. Величина начальной скорости электрона — ее, заряд — е. Сколько решений имеет задача? 3.16. Каким образом, зная полный набор первых интегралов, можно восстановить дифференциальные уравнения движения материальной точки? 3.17. Может ли первый интеграл вообще не зависеть от скоростей материальных точек? Как тогда найти его производную в силу уравнений движения? 3.18. Указать сетку координатных кривых для а) декартовой, Ь) цилиндрической, с) сферической систем координат. 3.19. Доказать взаимную перпендикулярность векторов локального репера цилиндрической системы координат.
3.20. Доказать взаимную перпендикулярность векторов локального репера сферической системы координат. 3.21. Найти локальный репер и координатные кривые для криволинейных координат кы яю кэ, заданных равенствами г ~ = Ксоэхт сЬкж гэ — — Яэ)пк~ эЬкг гэ = хэ где гы гю тэ — декартовы координаты, )ь — постоянная. Проверить взаимную перпендикулярность векторов локального репера. Выписать выражение кинетической энергии материальной точки в координатах кь хэ, ээ. 3.22. В примере 3.6.7 по методу проектирования уравнений движения на естественные оси найти все составляющие реакции винтовой линии.
3.23. Какую размерность может иметь фазовое пространство материальной точки? 3.24. Найти выражение секторной скорости проекции точки на плоскость параллели сферической системы координат. Глава 3. Динамика поступательного движения 300 3.25. Дать геометрическую интерпретацию теоремы площадей для движения точки в поле параллельных сил тяжести, когда по- люс не принадлежит плоскости движения. 3.26.
С помощью теоремы об изменении кинетического момента сфор- мулировать и доказать необходимый и достаточный признак того, что сила, действующая на материальную точку, — центральная. 3.27. Сформулировать правило вычисления реакции геометрической связи. 3.28. Пусть уравнение идеальной связи имеет вид Ф = Фь(г, ч,1) + Фэ(г, 1) = О, где Фь — однородная по скоростям функция степени я ф О. Показать, что в этом случае мощность реакции связи имеет вид 1 — ЛйФс), где Л вЂ” множитель Лагранжа, определяющий реакцию связи. 3.29.
УРавнение свЯзи имеет вид гэ + гээ + гзэ = Вэ(г). ОпРеделить мощность реакции связи. 3.30. Пусть заданы две независимые идеальные неоднородные дифференциальные связи А~.к+В~=О, Аэ.ч+Вэ=О. Найти геометрические места множества действительных перемещений и множества виртуальных перемещений, соответствующих некоторому моменту времени. 3.31. Материальная точка массы гп вынуждена двигаться по кольцу, вращающемуся вокруг вертикального диаметра длины 2гг с постоянной угловой скоростью ы.
Действует сила тяжести. Выписать обобщенный интеграл энергии Якоби. Выписать выражение для полной механической энергии. Почему полная механическая энергия не сохраняется при движении точки? 3.32. Доказать, что общее решение уравнения гармонического осцил- лятора есть линейная комбинация функций сов ы1 и з)п ы1, где 1 — время, а м — циклическая частота. 3.33.
Доказать, что уравнение гармонического осциллятора допускает интеграл энергии. Контрольные вопросы к главе 3 301 3.34. Как меняется фазовый портрет гармонического осциллятора при уменьшении циклической частоты ы. Каким будет предельное движение при ы — О? 3.35. Для оспиллятора с сухим трением найти число колебаний, если 3У„э „У~ 3.36. Пусть для осциллятора с вязким трением )г~ ) 4ы~. Как меня- ется фазовый портрет осциллятора при к 2м? Какой получится фазовый портрет в предельном случае? 3.37.
Написать уравнение движения и нарисовать фазовый портрет циклоидального маятника в переменных (у, ф) (см. определение 3.9.3). 3.38. По методу Лагранжа вариации произвольных постоянных най- ти общее решение уравнения й + шзк = ехр(и1), где ы и и— действительные постоянные, 1 — время. 3.39. Показать, что на рис.
3.10.1 прямая 0 = 2/ш~+шэб/ж~ проходит через точку (1; 1), а прямая и = — 2/ш~ + ш~4/ш~ — через точку ( — 1; — 1) при любых значениях шм шш 3.40. В примере 3.10.2 для уравнения Хилла с двухступенчатым кусочно-постоянным коэффициентом ш(1) в случае б = — 1, и = 1 найти собственные векторы матрицы монодромии, резонансные соотношения интервалов Н, 1ш точки на фаэовой плоскости, где происходят переключения функции ш(1). 3.41. Указать, как по заданному начальному радиусу-вектору га и начальной скорости чв можно найти плоскость орбиты, линию апсид, перицентр и тип орбиты материальной точки, движущейся под действием центральной силы ньютонианского притяжения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
