1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Получаются две области: 0 < вгссоа(ъ/Ь + р) < р < вгссоз( — ъс Ь' + р), — вгссов( — т/Ь' + р) < р < — вгссов(Л' + р) < О. Для каждой из двух этих областей имеем непересекающиеся замкнутые фазовые кривые, охватывающие точки (рг, 0), (рз, 0) и расположенные симметрично строго в правой и левой полуплоскостях соответственно. Локально в окрестности каждой из точек (сэыО), (срз,О) фазовый портрет отвечает особой точке типа ' центр' и характеризует устойчивое положение равновесия.
в) Ь' = (1 — р)т. Тогда 7(и) + Ь' = (1 — и)(1+ и — 2р). Поэтому сэ = ж2П ~в(п — ~ сова — — р. Ф~ ~Р 2~ 2 Фазовая кривая представляет собой сепаратрису, имеющую характерный вид "восьмерки" на рис. 3.13.1. Допустимая область изменения угла ~р имеет вид -2 вгссов /р < ~р < 2 вгссов ~/р. г) (1 — р)з < Ь' < (1+ р)з, Тогда для допустимых значений должно быть — Л' + р < сса сэ < Л' + р.
Правая часть этого неравенства заведомо Больше единицы. Ясно также, что в рассматриваемом случае будет выполнено (2р — 1) > — Лр+р > — 1. Поэтому допустимая область определена неравенствами — вгссов( — ~Й' + р) < р < агссов( — Л' + р). Получаются замкнутые фазовые кривые, охватывающие сепаратрису, имеющую вид "восьмерки" (рис. 3.13.1). д) Ь' = (1+р)з.
Имеем 7(и)+Ь' = (1+и)(1 — и+2р). Следовательно, ф = ж2Й ~сса — ~ з(п — + р. Р! ° 2 Р 2~ 2 Глава 3. Динамика поступательного движения 280 Видим, что подкоренное выражение существенно положительно. Получается сепаратриса, аналогичная сепаратрисе математического маятника, проходящей через точки ( — я,0),(я,0) (см. рис. 3.9.10).
е) Ь' > (1 + р) . Функция ~(и) + Ь' ни при каком значении 1о не оБращается в нуль Поэтому имеем две непересекающиеся ветви фазовой кривой: расположенные в верхней и нижней фазовых полуплоскостях. Верхняя кривая соответствует вращению маятника в положительном направлении, а нижняя — в отрицательном. Если угловая скорость вращения кольца превосходит циклическую частоту маятника, то положение равновесия в начале координат перестает быть устойчивым. Вместо него возникают два других устойчивых положения равновесия у1 и угз, отделенных друг от друга сепаратрисой, проходящей через начало координат.
Сепаратриса, проходящая через точки я и -я, сохраняется. Рнс. 3.13.1. Маятник под действием центробежной силы Полный фазовый портрет получается периодическим продолжением найденных фрагментов фазовых кривых на всю ось 1э. Видим, что возможные движения рассматриваемой системы существенно зависят от значения параметра р. Если р > 1 (угловая скорость П вращения кольца невелика сравнительно с циклической частотой ы маятника), то фазовый портрет системы аналогичен фазовому портрету математического маятника.
Если р < 1 (угловая скорость вращения кольца больше циклической частоты маятника), то фазовый портрет системы приобретает существенные отличия от фазового портрета математического маятника: прежние устойчивые положения равновесия становятся неустойчивыми, появляются новые устойчивые положения равновесия с соответствующей перестройкой фазового портрета и добавлением новых сепаратрис.
Такое явление можно интерпретировать как катастрофу качественной картины поведения системы при прохождении параметра р через значениер=1. О 3.14. Силы инерции из-за вращения Земли 281 9 3.14. Силы инерции из-за вращения Земли Земля движется вокруг Солнца по орбите, близкой к круговой, с радиусом Л = 149,6 10а км. Средняя линейная скорость такого движения составляет э, = 29, 8 км/с. С Землей жестко свяжем систему отсчета с началом в центре Земли. Вычислим модуль ускорения начала отсчета шс. Это — центростремительное ускорение з, шс — — — ' и 5,9 10 ~км/с = 5,9 10 зм/с .
Вз Оно составляет 0,6 10 г% от ускорения силы тяжести. Ввиду относительной малости ускорением ид пренебрежем. Примем, что Земля представляет собой однородный шар и вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью ш (пример 2.16.2). Рассмотрим следующие задачи. 3 а д а ч а 3.14.1.
Равновесие материальной точки на поверхности Земли. Поскольку при равновесии относительные ускорение и скорость точки отсутствуют, то, учитывая закон всемирного тяготения Ньютона, получим ЦТИ Х вЂ” — г — пг ш х (ш х г) — О, г где Х вЂ” реакция поверхности Земли, т.е. то, что противодействует силе веса тела. Поэтому ускорение к, создаваемое силой веса, можно выразить формулой я = — — г — ш х (ы х г). И гз Вектор к задает направление отвеса.
Угол между линией отвеса и плоскостью земного экватора называется астрономической широтой местности. Ускорение к можно представить в виде я = — — г — (ш г)ш+ы г. г гэ Пусть д — астрономическая широта, а д — геоцентрическая широта. Спроектируем вектор я на направление оси вращения Земли и на плоскость экватора (рис.
3.14.1): зшд = — гз)пд, созд = — ~ — г — гы /' созд. р ° 1 д г с~ 9 д гз Следовательно, д 18В= „"' — — гы гг Глава 3. Дннамнка поступательного движения 282 Сила веса отклоняется от радиуса, проведенного нз центра Земля О, в точку О, нз-за действня центробежной силы, вызванной вращением Земли. Это отклоненне отсутствует на полюсе Земля н на ее экваторе. На полюсе центробежная снла равна нулю, а на экваторе ее направление совпадает с направлением радиуса- вектора.
Вектор е, ориентирован по местной вертикали. Рнс. 3.14.1. Сила веса Таким образом, экспериментально определив разницу между астрономической н геоцентрнческой широтами, можно судить об отношеннн осестремнтельного ускорения к ускорению тяготения. Пусть теперь материальная точка движется относительно поверхности Земли. Тогда вектор относительной скорости будет отличен от нуля. Помимо центробежной силы возникнет сила Корнолнса в,= — 2тыхч„.
Вектор этой силы перпендикулярен к направлению скорости. Если точка находится в Северном полушарии н движется вдоль меридиана, то сила Корнолнса направлена вправо относительно вектора скоростя. В Южном полушарии — влево (см. пример 2.16.2). 3 а д а ч а 3.14.2. Падение тяжелой материальной точки в пустоте с нулевой начальной скоростью относительно вращающейся Земли. Чтобы научать такое движение, представим векторное уравнение относительного движения в виде Ит, — =к — 2ыхт„, и'1 где я учитывает вращение Земли.
Выберем осн координат так, чтобы ось Ог была направлена вертикально вверх противоположно вектору к. Ось Оя направим к западу по касательной к параллели, ось Оу — в плоскости меридиана к югу перпендикулярно Ог, как показано на рнс. 3.14.1. Единичные векторы осей обозначим ее, ею е, соответственно. Ось Ог отклоняется от плоскости экватора на астрономнческую широту д.
Считая расстояние от материальной точки до 3.14. Силы инерции нз-за вращения Земли 283 поверхности Земли достаточно малым, будем полагать вектор я постоянным и равным его значению в точке О. Вектор ы в осях Овув имеет следующие координаты: ы = (О, — псевд,ыв(ад). Поэтому /Иг Иу . '1 дв, Ив ы х ч„= — ы ( — сов В + — вгп д( е, + — в1 п В е„+ — сов д е, . '1,Й Й,) ' Й " Й Система скалярных уравнений, получающаяся путем проектирования векторного уравнения движения на выбранные оси координат, принимает вид дг — = 2ы ~ — соя В+ — я1пВ Йв ~Й Й ~Ру Ив — = — 2ы — я)п д, Йя Й Ивв дх — = -2ы — соя д — д.
Йя Й Она представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для нее можно указать три очевидных первых интеграла, которые не дают полного решения задачи. Однако их можно учесть с целью упрощения вычислений (см. стр. 176). Пусть материальная точка начинает падение без относительной начальной скорости, в начальный момент времени 1 = 0 расположена на оси в и имеет высоту Н. Тогда, проинтегрировав один раз уравнения движения и приняв во внимание начальные условия, найдем И* — = 2ы(в сов д + у я)п д) — 2ыН сов д, Й Иу — = — 2ыв в(п д, Й ~Ь вЂ” = — 2ыв сов д — д1. Й В итоге имеем систему дифференциальных уравнений первого порядка.
Ее можно интегрировать стандартным приемом, составив характеристическое уравнение. Заметим, однако, что ы сравнительно невелико; ы яв 0,7. 10 ~с '. Применим метод малого параметра, что Хлава 3. Динамика поступательного движения 284 даст нам возможность нагляднее выявить влияние вращения Земли. Будем искать решение в виде рядов по степеням ал х = ха+яхг+я хг+ ° . ° = г ш хм, г в=а У = Уа+шуг+я Уг+ = ~а' Уь г = ха+шгг+я гг+ ... = г ы гы г ь Подставив эти ряды в систему скалярных уравнений движения, най- дем ~~> ш' — = ~~ 2ш (гь гсовд+уь 1вьпВ) — 2ыНсовд, ь Вхь а'г в=а ью1 ~м — = — ~ 2м хь гв(пд, ь пу» в=а ~Й в=1 ОО ОЭ ыь — = — д1 — ~~~ 2ш" хь г совВ. а'г в=а в=1 Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ш: у. = О, '. = -Вг, та = О, х1 — — 2(хасовд+ уаяпд) — 2Н совВ, уг — — — 2хаяпд, гг — — — 2хасовд, хг = 2(г1 совд+ уг япВ), уг = -2хдяпВ, гг = -2х1 совВ, Потребуем, чтобы заданным начальным условиям удовлетворяло нулевое приближение.
Начальные условия для остальных приближений положим равными нулю. Будем иметь ха = О, уа = О га = Н вЂ” дг~/2. Тем самым нулевое приближение дает известный закон равноускоренного вертикального падения тяжелой точки. Выпишем уравнения первого приближения: хг — — -дг~совд, уг =О, г1 =О. 3.!4. Силы инерции из-за вращения Земли 285 Начальные условия для этих уравнений приняты равными нулю: з вг — — — -дС совд, у1 — — О, 3 Уравнения второго приближения принимают вид 2 з 2 з вг = О, уз= -дг~в(пдсовд, 'г =-д!зсовгд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
