1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Равновесие сиспгемы иод действием силы тлзгсести достигаетсл в тех и только в тех конфигурациях, для которых центр масс системы занимает наивысшее, наиниэшее или какое-либо другое стационарное положение по еергпикели относительно еоседяих положений, переход к которым реелизуеле е пространстве виртуальных перемещений, Доказательство.
Пусть )с — единичный вектор вертикали, г„= )с г„— вертикальные проекции радиусов-векторов точек системы, тг — их массы, М вЂ” сумма масс всех точек системы, д — ускорение силы тяжести. Тогда принцип виртуальных перемещений примет вид .ч и и Р„бг„= д~~ гп„(1с бг„) = д ) т„бг„= Мдбе, = О, лкц л=г где .ч г,=М г т„ㄠ— вертикальная проекция радиуса-вектора центра масс.0 П р и м е р 4 7.1. Рассмотрим однородный прямоугольный параллелепипед. Очевидно, что его центр масс находится в точке пересечения диагоналей. Когда параллелепипед под действием силы тяжести стоит на столе на какой-нибудь своей грани, то зто — положение равновесия, так как при вращении параллелепипеда вокруг какого-либо ребра или вершины, лежащей на столе, центр масс может только подниматься.О П р и м е р 4.7.2.
Пусть какие-либо две точки плоской неизменной фигуры могут перемещаться только вдоль заданных гладких неподвижных кривых, лежащих в той же плоскости (рис. 4.7.1). Указать, под действием какой силы у' фигура может находиться в равновесии. Плоская фигура, вынужденная касаться двух гладких направляющих, будет оставаться в равновесии под действием силы Р, проходящей через мгновенный центр вращения фигуры. Только в этом случае виртуальное перемещение точки А оказывается перпендикулярным направлению действия силы Р.
Рис. 4.7.1. Равновесие фигуры Р е ш е н и е. Пусть сила%' приложена к точке А фигуры. Принцип 347 4.7. Принцип виртуальных перемещений виртуальных перемещений запишется в виде Р бел=О. Значит, Р .1 бтл. Мгновенный центр вращения фигуры (см. определение 2 14.1) лежит в пересечении нормалей к неподвижным кривым в точках касания с ними фигуры. По теореме 2.14.1 виртуальное перемещение любой точки фигуры должно быть перпендикулярным радиусу, проведенному к этой точке из мгновенного центра вращения О. Следовательно, для равновесия фигуры необходимо и достаточно, чтобы линия действия силы Р проходила через мгновенный центр вращения.О Принцип виртуальных перемещений можно использовать для решеяия геометрических задач. Проиллюстрируем зто примерами.
П р и м е р 4.7.3. Пусть в плоскости даны некоторая кривая С и точка Р вне ее (рис. 4.7.2). Проведем через точку Р единичную нормаль и к кривой С и обозначим через Ь расстояние по нормали от кривой С до точки Р. Приложим к точке Р некоторую силу %' = Ри, направленную вдоль нормали и. Элементарная работа силы Р есть Элементарная работа силы Р, перпендикулярной к кривой, выражается как произведение величины силы (со знаком) на дифференциал расстояния от С точки Р приложения силы до кривой. Дифференциал смещения точки Р параллельно касательной к кривой, взятой в основании перпендикуляра из точки Р на кривую, не влияет на величину элементарной работы. Рис.
4.7.2. Работа силы, перпендикулярной к кривой А = Г бг = Р [бгэ + б(Ь и)], где г = га+Ь и — радиус-вектор точки Р, та — радиус-вектор основания перпендикуляра. По смыслу обозначений имеем бга 2. Г, б(Ьи) = ибЬ+ Ьби, бгг2. и. Следовательно, А = РбЬ. Предположим теперь, что на плоскости расположены и кривых См...,С„и точка Р. Обозначим Ьы..., Ь„расстояния от точки Р до Глава 4. Аналитическая статика системы 348 каждой из этих кривых соответственно. На той же плоскости зададим кривую ст уравнением У(Ьы ..., Ь„) = О Дифференциалы координат Ьы..., Ь„при смещении точки вдоль кри- вой с удовлетворяют равенству — „бЬ; = О.
1=1 Приложим теперь к точке Р силы и"; = и; д1/дЬ;, направленные вдоль единичных нормалей и; к кривым Сь Радиус-вектор г точки Р можно представить с помощью любого из соотношений г гвт+Ь1И 1=1,...,п, где га; — радиусы-векторы оснований перпендикуляров из точки Р на кривые С;. Вычислим элементарную работу сил и; на виртуальном перемещении точки Р вдоль кривой Р: А = ~~ Г; бг= ~~ и'; б(га;+Ь|ки) = ~ РбЬ; = ~ — бЬ, = О.
а=1 а=1 г=1 ;=1 и,- Из принципа виртуальных перемещений следует, что точка Р, расположенная на гладкой кривой м, под действием выбранных сил Г; будет находиться в равновесии. Значит, равнодействующая сил Е'; направлена по нормали к кривой 1'. Таким образом, получен простой способ геометрического построения нормали к кривой, заданной указанным способом.
Специально отметим, что все рассуждения этого примера справедливы, когда некоторые из кривых С; или все они представляют собой точки (докажите!). В этом случае роль нормали и; будет играть единичный вектор направления из точки С; в точку Р. Рассмотрим несколько конкретных случаев. С л у ч а й 1. Пусть кривая Ю есть эллипс. Фокусы эллипса обозначим С1 и Ст, расстояния от точки Р эллипса до фокусов — Ь1 и Ьт соответственно. Тогда т1Ьы Ьт) = И1 + Ьз — 2а = О, где а — большая полуось эллипса.
Очевидно, что Поэтому нормаль к эллипсу есть биссектриса угла между фокальными радиусами-векторами. 4.7. Принцип виртуальных перемещений 349 С л у ч а й 2. Пусть кривая Ю есть гипербола. Как и в случае 1, обозначим С1 и С2 — фокусы, Ь1 и Ьг — расстояния от них до точки Р гиперболы. По определению ЛЬ1, Ьг) = Ь1 — Ь2 — 2а = О. Откуда Р2 = — 1. Поэтому касательная к гиперболе есть биссектриса угла между фокальными радиусами-векторами (нормаль есть биссектриса смежного угла).
С л у ч а й 3. Пусть П есть парабола, С1 — директриса (прямая), С2 — фокус (точка). Уравнение параболы имеет вид э !Ь1) Ь2) = Ь1 — Ь2 = О. Откуда Р2— Следовательно, касательная к параболе служит биссектрисой угла между факельным радиусом-вектором и перпендикуляром, опущенным из точки параболы на директрису.О Докажем два основных необходимых признака равновесия. Теорема 4.7.2, Пусть связи, налоэюенные на систему материальных точек, допускают в некоторой ес конфигурации поступательное виртуальное перемещение всех ее точек вдоль некоторой неподвиэюной оси е. Тогда для равновесия системы в этой конфигурации необходимо, чтобы сумма проекций всех активных сил на указанную ось равнялась нулю: х'и.е = О.
»=1 Доказательство. Пусть е — единичный вектор направления оси поступательного виртуального перемещения. Для всех точек системы можно принять бги = ае, где а — скалярный множитель, отличный от нуля. Применяя прин- цип виртуальных перемещений, получим Еи'бги ~~~ ьи'ае=а~~' й» е=О. »=1 и=1 и=1 Но а ф ОС! Глава 4. Аналитическая статика системы 350 Теорема 4.Т.З. Пусть связи, налозесенные на систему материальных точек, допускают в некоторой ее конфигурации виртуальные перемещения, соответствующие повороту всей системы как твердого тела вокруг неподвизюной оси е. Тогда для равновесия системы в этой конфигурации необходимо, чтобы сумма моментов всех активных сил относительно этой оси равнялась нулю: М е ~~~ г„х х'„= О.
«=1 Доказательство. Применяя формулу дифференциала вращения системы вокруг оси е на угол 61о Я 2.10), получим следующее выражение для виртуальных перемещений: бг„= 61ое х г„, и = 1,, Ж, где г„— радиусы-векторы точек системы, имеющие начало на оси вращения. Из принципа виртуальных перемещений следует х, бг„= 61о~~~ х'„(е х г„) = 61ое ~ г„х Г„= О. Но бч» произвольно.С1 Перейдем к анализу условий равновесия голономных систем. Допустим, что на систему М материальных точек наложены удерживающие геометрические связи Д(гы..., гм) = О, у = 1,..., т. Функции уз будем считать независимыми, т.е, матрица Якбби имеет ранг, равный т. Это значит, что из уравнений связей мы можем т координат радиусов-векторов точек выразить как функции остальных ЗУ вЂ” т координат и рассматривать эти ЗУ вЂ” т координат как совершенно независимые, полностью определяющие положение системы. Определение 4.Т.1.
Лагранзесевы координаты системы материальных точек суть скалярные величины, произвольно задав конкретные значения которых, можно однозначно рассчитать координаты всех точек системы, удовлетворяющие всем заданным голономным связям. Число лагранжевых координат должно быть минимальным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
