1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 37
Текст из файла (страница 37)
дг дС Примем, что д//дг уб О. Виртуальные перемещения определены уравнением д1 — . бг = 0 дг и принадлежат плоскости, касательной к связи при фиксированном времени С. Действительное перемещение принадлежит множеству виртуальных тогда и только тогда, когда В = д//дС = О, т. е.
когда связь не зависит явно от времени. Реакция геометрической идеальной связи /(г,С) = 0 направлена вдоль градиента: )ч1 = Л вЂ”. д/ дг Мощность реакции связи выражается формулой ( — Л д//дС). Теорему 3.8.3 можно сформулировать следующим образом. Следствие 3.8.3. Если геометрическая связь идеальна и не зависит явно от времени, а актиеная сила потенциальна, то имеет место интеграл энергии. 205 З.В. Влияние связей на движение материальной точки Максимальное число независимых связей для материальной точки, движущейся в трехмерном пространстве, не может превышать трех.
Если имеются три такие связи, то ими скорость точки определена однозначно как функция координат и времени. Изучение закона движения в этом случае представляет собой задачу кинематики, а задачей динамики тогда будет лишь определение усилий, реализуемых этими связями. Рассмотрим случай, когда имеются две независимые дифференциальные связи дФ1 дФг Ф,(»,г,г)=0, Фт(»,г,М)=0, — х — фО.
д» д» Движение материальной точки будет происходить в соответствии с заданными дифференциальными связями тогда и только тогда, когда реакция Х удовлетворяет следующей системе уравнений Решение этой системы неоднозначно. Однако можно заметить, что при выполнении условия невырожденности она однозначно определяет линейную комбинацию дФ, дФ, я=л,— +л,—, д» д» ' где Л~ и Лт — искомые скалярные параметры. Реакцию связей тогда можно представить в виде Х = Х+ Я„где составляющая Х, может совпадать по направлению с любым ненулевым вектором бг, перпендикулярным одновременно и вектору дФ1/д», и вектору дФт/д». Из системы уравнений для реакции невозможно определить такую составляющую Х,.
Все указанные векторы бг называются виртуальными перемещениями в данном случае, и их множество описывается системой однородных линейных уравнений дФг дФг — бг=О, — бг=О. д» ' д» Условие идеальности связей (условие однозначной определимости реакции Х) состоит в том, чтобы было выполнено Ы бг = 0 для любого виртуального перемещения, что означает равенство нулю составляющей Х,. Глава 3.
Динамика поступательного движения 206 Теорема 3.8.4. Пусть ма материальмую точку действуют две независимые идеальные дифференциальные связи Фг(ч,г,а) = О, Фа(и,г,а) = О. Тогда изменение киметической энергии точки выражается уравне- нием дГ дФа дФг — = у' у+ Лг — у+ Лев да ' ди ' д где Л1 и Ла — коэффициенты разложения вектора реакции связей: дФг дФг (ц = л — + л —. д д Доказательство. С учетом условия идеальности связей уравнения движения материальной точки можно представить в виде дФг дФа тге е+Л1 +Лг дч ди ' Осталось умножить это равенство на и и преобразовать стандартным образом получившуюся левую часть.0 Следствие 3.8.4. (Интеграл энергии). Если две независимые идеальные связи таковы, что действительное перемещекие мапьериальмой точки в любой момемт времени принадлежит множеству виртуальные, а сила, действующая на точку, потенциальна с силовой функцией У = П(г), то имеет место интеграл энергии Т= У+ Л.
Ф1 — — А1 ° ч+ В1 — — О, дФ, Фг-Аа и+Ва =О, Аа хАгфО, — =А1 дч дФа — = Аг. ди Каждое уравнение выделяет в пространстве скоростей плоскость, со- держащую конец вектора допустимой скорости. Обозначим эти плос- кости 'Р| и Ра соответственно. Множество допустимых скоростей есть прямая, служащая пересечением плоскостей Р1 и Ра. Доказательство. Действительное перемещение принадлежит множеству виртуальных в любой момент времени тогда и только тогда, когда и (дФг/дч) = и (дФа/ди) =О.
Кроме того, е = дУ/дг.Сг Рассмотрим подробнее часто встречающиеся случаи. 1. Заданы две линейные по скоростям дифференннальные связи 207 3,8. Влияние связей на движение материальной точки Виртуальное перемещение бг точки в этом случае следует определить как решение системы уравнений Аг бг=О, Аг бг=О. Таким образом, множество виртуальных перемещений состоит из всех векторов, перпендикулярных как вектору Аы так и вектору Аг. Это множество можно описать формулой бг= РАг х Аг где (г — скалярный коэффициент. Пусть заданные дифференциальные связи идеальны (см. определение 3.8.3). Поскольку Д вЂ” произвольный коэффициент, будем иметь 1ч .
(Аг х Аг) = О. Такое равенство означает компланарность векторов Я, Аы Аг. Поэтому суммарную реакцию идеальных связей следует искать в виде 1ч = Л1А1+ ЛгАг. По смыслу первое слагаемое правой части можно рассматривать как реакцию первой связи, а второе слагаемое — второй: Хг = ЛгА» Хг = ЛгАг Теорема 3.8.5. Пусть на материальную точху действуют две независимые идеальные дифференциальные связи А1 и+В1 =О, Аг и+Вг=О.
Тогда изменение кинетической энергии точки выражается уравне- нием дТ вЂ” = г и — Л1В1 — ЛгВг, сМ где Л1 и Лг — козффициеиты разложения вектора реакции связей по векторам А1 и Аг' 1ч = Л1Аг + ЛгАг. Дрказательство. Воспользуемся теоремой 3.8.4 и учтем, что в соответствии с уравнениями связей А1 и = — Вы Аг . и = — Вг.П Следствие 3.8.5. (Интеграл энергии).
Если две независимые идеальные линейные дифференциальные связи однородны: Вг = О, Вг = О (действительное перемещение материальной точки в любой Глава 3. Динамика поступательного движения 208 момент времени принадлежит множеству виртуальных), а сила, действующая на точку, потенциальна с силовой функцией У = У(г), то имеет место интеграл энергии Доказательство получается с помощью следствия 3.8.4.П 2..Заданы две геометрические связи: ~~(г, М) = О, ~г(г, й) = О. Они накладывают ограничения на скорость точки: А1 и+ Вг = 0 Аг и+ Вз = О, где дЛ д)г дЛ дУг А1 = — Аг = — В1 = — Вг = —.
дг' дг' а' д1' Векторы А1 и Ат направлены по нормалям к соответствующим поверхностям, когда время 1 рассматривается как фиксированный параметр. Действительные перемещения принадлежат множеству виртуальных при В1 — — Вт — — О. Для геометрических связей это означает, что леван часть их уравнений не зависит явно от времени. Имеем тогда две неподвижные поверхности в пространстве, пересечение которых дает траекторию материальной точки, и требуется определить лишь закон ее движения вдоль траектории. Следствие 3.8.5 об интеграле энергии для данного случая можно переформулировать следующим образом.
Следствие 3.8.6. Пусть уравнения поверхностей, в пересечении которых лежит траектория материальной точки, не зависят явно от времени, а активная сила потенциальна. Тогда имеет место интеграл энергии. 3. Геометрическая связь задана с помощью параметра: г = г(д, 1), где д — скалярный параметр, определяющий положение точки на связи, 1 — время. Такая связь накладывает ограничение на скорость точки: дг . дг и = — 4+ —.
дд й' 3.В. Влияние связей на движение материальной точки 209 Исключив параметр д, можно получить уравнение связи в стандарт- ной форме. Действительно, векторно умножив дифференциальную связь на дг/дд, получим ч — — х — = О. Введем кососимметричную матрицу, соответствующую векторному произведению: дгз дд Она вырожденная, в чем легко убедиться, умножив ее первую строку на дгг/дд, вторую — на дгг/дд, третью — на дгз/дд и результаты сложив. Следовательно, векторное уравнение .О ч — — =0 эквивалентно двум скалярным уравнениям, линейным относительно компонент вектора скорости.
Согласно определению (см. стр. 205) виртуальное перемещение удовлетворяет уравнению дг ьгт =бг х — =О, де дг бг = — бд. дд Здесь бд — произвольный параметр. Как и следовало ожидать, вир- туальное перемещение происходит вдоль направления касательной к связи при фиксированном времени. Условие идеальности связи М бг=О означает, что векторы Х и дг/дд взаимно перпендикулярны: 14 — 15ИЗ дгз д9 дгг де решением которого служит вектор Х вЂ” = О. дг д9 дгг дд дг1 дд Глава 3. Динамика поступательного движения 210 Уравнение движения материальной точки с учетом воздействия на нее связи следует записать в виде Когда связь рассматриваемого типа идеальная, то реакция связи полностью исключается: дг дг ти .
— = Р дд ду' С учетом того, что И дг дзг . дзг дч — — = — у+ — =— с1с дд ддз д1ду дд ' дг дч полученное уравнение (см, доказательство теоремы 3.6.1) приводит- ся к виду уравнения Лагранжа Ы /, дТ'1 дТ,. дТ. дг — ~д —.! — —.д — — д = Е ч — Е с(1 ~, дд/ дд дд й или. Ы /,дТ ~ дТ дг — (д — — Т(+ — =Р ч — Е й (, да ( д1 д1' Это уравнение выражает закон изменения кинетической энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
