1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Когда локальный базис ты тт,та ортонормирован, имеем гвэ~ тот 1дг,т дТ дг Таким образом, для составления уравнений движения достаточно выразить в криволинейных координатах элементарную работу силы и кинетическую энергию точки. После этого составление уравнений движения сводится к операциям дифференцирования. Уравнения движения материальной точки в форме, представленной теоремой 3.6.1, носят название уравнений Лагранжа второго рода. Квадрат скорости не меняется при преобразованиях координат, и ко- эффициенты 3.6. Скалярные формы уравнений движения 183 д ( Скорость в этом базисе имеет координаты сг = Р эе = Р Р, эз = гз. Выражение для кинетической энергии принимает вид 'Г = — (рз + рзфз + гз).
2 Обобщенные силы деются формулами где гр — — е' ° тр, К, = в' т„. В итоге получаются следующие уравнения движения; 2 И тр' — трр = Кг, т — (р р) = Кгр, гпгз — — Кз. 2 г1г Они удобны, когда нет проекции силы на локальные оси те и тз.О Замечание 3.6.1. В случае плоскопарвллельного движения кинетическая энергия в полярных координатах р и у имеет внд т = — (р'+ р'ф'). П р и м е р З.б.б.
Уравнения движения в сферических координатах. Локальный базис в таких координатах будет ортонормированным, причем Скорость имеет компоненты эг — р, се = рд, эе — ргРсозд. Поэтому кинетическая энергия выражается формулой 'Г= — (р + р д +р~гР~ сов д). 2 Пример координатах. Далее 3.6.5. Уравнения движения в цилиндрических Соответствующий локальный 6азис ортонормирован. Яр Е1 сов ф + Кз э го ф — Кг Я„, = ( — Гг з1п у+ Гз соз р)р = К р, Юз=гз, — = 1, — = р, — = р соз д.
Глава 3. Динамика поступательного двнженггя 184 Вычислим обобщенные силы Яр — — Г1 говд совгр+ Г2 созда(пгР+ Гзв2п6 = Гр, Яв = ( — Гг вш д сов ф — Гает да(пгр + Гз сов д)р = Ге р, Яо = ( — Гг вгпд+ Г2 сов гр)рсоа д = Кв рсовд, где Гр — — Р тр, Гв = Р. тв, Го = в' ти. В итоге получим следующие уравнения движения: 2 тр — гард — трф сов д = Гр, гп — (р д)+тр~д~вгпдсовд = Гв р, дт 2 ' т — (р гдсов д) = Кврсовд. сЫ Такие уравнения удобны, когда либо Гг, = О, либо равны тождественно нулю обе проекции Гр и Гв.О В том случае, когда движение происходит вдоль известной кривой, заданной парамегрически: г = г(в), где в — длина дуги траектории, удобными могут оказаться естественные оси.
По теореме 2.2.1 проекции ускорения на естественные оси имеют вид 2 ю, = —, ю„= —, юр =О, д2' " р' где дг дт т= —, гр= р —, 12= тх гр, Ив дв т — единичный вектор касательной к кривой в данной точке, гр— единичный вектор главной нормали, перпендикулярный к т и образующий вместе с т соприкасающуюся плоскость, ф — единичный вектор бинормали, перпендикулярный к соприкасающейся плоскости, и — модуль скорости, р — радиус кривизны. Теорема 3.6.2. Уравнения движения в ироекцилг на естественные оси имеют вид ти2 — =Г., Г,=О, Р ди гл — = Кч д1 где Г =Р т, Гр=Р гр, Гр=Г ф. Доказательство получается посредством проектирования векторного уравнения второго закона Ньютона (см.
стр. 160) на естественные осн. П 3.6. Скалярные формы уравнений движения 185 Следствие 3.6.1. Лолная сила %', под действием которой происходит движение материальной точки, всегда принадлежит соприкасающейся плоскости. Соприкасающаяся плоскость есть линейная оболочка вехторов и и Е. Следствие 3.6.2. Для того, чтобы вычислить нормальную составляющую суммарной силы, достаточно знать лишь скорость и движения точки по кривой. Если касательная составляющая силы Е = Е (в, и,1) известна в каждой точке кривой, то проекция дз т — = Ег(в~ — 1) Йз ' 'Й' уравнения движения на касательную определяет закон в = в(г), когда в начальный момент времени га задано в = ве, аг/Нг = ио. Положение материальной точки на известной кривой не всегда удобно задавать длиной дуги ж Пусть д — произвольная переменная, связанная с в посредством равенства в = в(д). Тогда дв дв, г(зв дзв дв г=г(д), игл — = — д, — = — д + — дй <У дд ' д1з ддз дд Будем считать, что г(в/дд ф 0 для любой точки траектории.
Проек- цию уравнения движения на касательную перепишем в виде д = ф(д,д,г), где 1дд( дв. дзв., ф(д д г) г (в(д) д г) т дз тдв ~ ' 'дд ' ддз Имеем ди4ференциальное уравнение одномерного движения. П р и м е р 3.6.7. Пусть траектория материальной точки представляет собой винтовую линию, параметризованную углом дл гг — — Всовдг, гг = Вв1пдг, гз = — Ир/(2х).
Эта линия принадлежит поверхности цилиндра радиуса В. Ось цилиндра совпадает с третьей координатной осью. Когда дг кратно 2х: у = 2йх, третья координата кратна шагу винта )н гз —— -хгг. На точку действует сила тяжести Р = — трез, и точка не испытывает сопротивления движению вдоль винтовой линии, Требуется составить уравнение одномерного движения точки. Глава 3. Динамика поступательного движения 186 Р е ш е н и е задачи можно осуществить различными способами. Сначала применим уравнения в проекциях на цилиндрические оси. Если бы на точку действовала только сила тяжести, то точка, имея постоянное ускорение, двигалась бы либо вдоль третьей координатной оси, либо по параболе в плоскости начального вектора скорости и вектора силы тяжести.
Чтобы точка двигалась по винтовой линии, помимо силы тяжести требуется дополнительная сила Х (реакция связи). Обозначим Ж„= Х тр, Лги = Х т, Фз = М ез. Уравнения движения в цилиндрических координатах примут вид г. Л вЂ” тВрз = Лг, т — (В~у) = Ц,В, — гп — ф = — ту+ Фз, ог ~ ' 2и так как по условию задачи должно быть выполнено г = В = сола~, Р„ = Ри = О. Имеем смешанную задачу динамики: задан вид траектории и частично заданы силы.
Реакция М неизвестна, но в условии сказано, что 1ч не влияет на движение точки вдоль винтовой линии. Значит, Х перпендикулярна касательной к кривой г = г(1о). Направление касательной дается в данном случае выражением Нг Л вЂ” = Вти — — ез. Жр 2и Учитывая, что М = Иртр+ Х, т, + Мз ез, запишем условие ортогональности; Нг Л Х вЂ” = Лг„ — Лгз — = О. Жр 2з Тем самым получено дополнительное уравнение, позволяющее полностью решить задачу.
Из условия ортогональности найдем )т' В = ФзЛ/(2и). Тогда второе и третье уравнения движения можно представить в виде Л Л „ тВ ф = — Лгз, -т — Ф = — пщ + Лгз. г2и ' 2и Исключив неизвестную ЛГз, получим искомое уравнение Поставленная задача решена, но дополнительно мы можем найти также все составляющие реакции 1ч; Я~=~В ~В+ — ~,дг = — ~В+ — ~,Лг = — ~Вр. 4из~ ' 2я ~ 4яз~ 3.6. Скалярные формы уравнений движения 187 Для сравнения решим теперь эту же задачу посредством проектирования уравнения движения на касательную к траектории. Имеем т= — — = В2+ — 2 Вти — — "ез Следовательно, И21-4 дЛ Р, =Р т= В2+— 4 2~ По условию задачи реакция р7 не дает проекцию на касательную к траектории.
Поэтому проекция уравнений движения на направление вектора т примет вид По определению винтовой линии И ег = — Вфз1п~р, эз = Вфсоа~р, из = — — ф, 2т — =~т1= эз+е22+езз= ~В'+ — ~ А Отсюда Подставляя найденное выражение в левую часть проекции уравнения движения на касательную т, выводим искомое дифференциальное уравнение одномерного движения в точности совпадающее с найденным выше.
Второй путь решения задачи оказался более экономным. Удалось обойтись без явного использования компонент реакции М, исключив их путем проектирования уравнений движения на перпендикулярное к Р7 направление. При желании можно и с помощью второго способа найти реакцию Х. Здесь получим лишь составляющую реакции вдоль главной нормали.
Единичный вектор касательной дается формулой ь' ~ й т= ~В2+ — ~ ~ — Ввшу2ег+Всоврез — — ез 4~~~ 2я Глава 3. Динамика поступательного движения 188 По определению главной нормали получим кР г1т г1тФ ( г Ьг) Р Ф вЂ” = — = — — = — ВЛ+ — — тр, Рк ~Ь т11о Нв ~ 4лг ~ гЬ где рк — радиус кривизны траектории. Очевидно, что Поэтому т. е. главная нормаль направлена в сторону, противоположную вектору тр, а выражение для радиуса кривизны рк имеет вид Выше были найдены формулы для компонент вектора скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
