1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Состояние первой точки пусть будет гы иы а второй — гг, иг. Когда эти точки взаимодействуют, то изменение скоростей этих точек не будет одинаковым. Вместе с тем, согласно многочисленным экспериментальным данным, можно каждой материальной точке сопоставить такую скалярную постоянную т» > О, (г = 1,2), называемую массой, что будет выполнено равенство д И вЂ” (тгчг) = — — (тгуг).

Й аг Аксиома 3.3.1. Масса материальной точки сохраняет свое значение не только ао времени, но и при любых взаимодействиях материальной точки с другими материальными точками независимо от их числа и от природы взаимодействий. Рассмотрим теперь одну материальную точку с массой т, подверженную внешнему воздействию. В соответствии с принципом детерминированности ускорение этой точки есть функция от радиуса- вектора и скорости этой точки, а также, быть может, времени 1.

Математическим выражением этого служит второй закон Ньютона: И вЂ” (ти) = У(г,ч,1). дг Вектор, стоящий в правой части последнего равенства, называется силой. Сила есть мера воздействия, вследствие которого возникает или способно возникнуть ускорение точки. Произведение тч называется количеством движения материальной точки. З.З. Принцип детерминированности 161 Второй закон Ньютона утверждает, что производная по времени от количества движения материальной точки равна действующей на точху силе. В системе СИ единицей измерения силы служит 1н [ньютон), а единицей измерения массы — 1кг.

По определению [н]=[м кг/от[. Другими словами, 1н — это сила, которая массе 1кг сообщает ускорение 1м/сз. Понятие силы дает возможность сформулировать третий закон Ньютона, который описывает взаимодействие двух материальных точек [определение 3.2.1). Пусть имеются две материальные точки А и В. Действие точки В на точку А выразим силой Гл, а действие точки А на точку  — силой Гв. Третий закон Ньютона утверждает, что силы Рл и Хв равны по величине, действуют вдоль одной прямой, направлены в противоположные стороны, но приложены к соответствующим точкам физически различных поступательно перемещающихся тел А и В (закон равенства действия и противодействия/.

Пусть материальная точка взаимодействует с несколькими объектами. Можно рассматривать силу, которая воздействует на точку со стороны каждого объекта при условии, что другие объекты отсутствуют. В этом смысле будем говорить об одновременном действии на точку нескольких отдельных сил. Результат такого действия определяется следующими аксиомами. Аксиома 3.3.2. Все силы, действующие одновременно на поступательно движущееся тело, имеют начало в одной геометрической точке тела, которая и принимается в качестве материальной точки. Аксиома 3.3.3. Действие на материальную точку двух сил эквивалентно действию одной равнодействующей силы, строящейся по правилу сложения вехторов сил. Отсюда следует, что действие на материальную точку нескольких сил эхвивалентно действию одной равнодействующей.

Аксиома 3.3.4. Совокупность сил, приложенных к материальной точке, не вызывает ускорения, или, что то же самое, эквивалентна нулю тогда и только тогда, хогда равнодействующая этой совокупности сил равна нулю. Аксиома 3.3.5. К силам, действующим на материальную точку, можно добавить произвольное эквивалентное нулю множество сил. От этого усхорение точки не изменитса. Глава 3. Динамика поступательного движения 162 3 3.4.

Работа силы на перемещении Пусть материальная точка, к которой приложена сила Г, перемещается из положения с радиусом-вектором г в положение с радиусом- вектором г + Иг. Работой силы Г на элементарном перемещении Нг (элементпарной рабошоа) называется скалярное произведение вектора Г на вектор Иг. При этом не имеет значения, действует или нет сила Г на материальную точку на всем перемещении Иг. Таким образом, элементарная работа А вычисляется по формуле Единицей работы служит джоуль — работа, которую совершает сила 1н на расстоянии 1м при условии, что сила параллельна перемещению: 1дж = 1н 1м.

Отметим следующие свойства элементарной работы. 1. Работа равнодействующей силы на некотором элементарном перемещении равна сумме работ составляющих сил на том же перемещении: ИЗ ( ~» т Г=,У Г' А= ~ЕГ) Иг=ЕА*, А =Г; И а=1 1ж1 1ю1 2. Работа силы на суммарном перемещении равна сумме работ этой силы на составляющих перемещениях: Иг=~ бг; т лз А = Г Е Нг! = ,'Е, Аб А = Г . Иг А= Г Ыг.

с В общем случае работа зависит от формы кривой ь", по которой пе- ремещается точка приложения силы. 3. Работа равна нулю, когда либо Г = О (сила отсутствует), либо дг = О (точка приложения силы не перемещается), либо Г х Ыг (сила и перемещение взаимно перпендикулярны). Определение 3.4.1. Пусть точка перемешается вдоль спрямляемой кривой ь в Ез, а сила действует на точку в любом ее положении на кривой. Тогда работой силы Г на вугпи ь" называется криволинейный интеграл второго рода 163 3.4. Работа силы на перемещении Определение 3.4.2.

Сила называется иотиснциальной, если ее элементарная работа на произвольном перемещении с1г представляет собой полный дифференциал некоторой однозначной скалярной функции У(г) от векторного аргумента, то есть дУ ь дУ Г Нг = сКГ = — Ыг = 7 — й ь дг ~-, дг; Функция Цг) в этом случае называется силовой функцией. Следствие 3.4.1. Потенциальная сила мозкет быть выраоэссна частными производными от функции Цг): дУ дУ Р= — =~ ~— е;. дг дг; Очевидно, что работа потенциальной силы на замкнутом контуре равна нулю. Работа такой силы на криволинейном участке пути зависит лишь от начального С и конечного О положений точки: и А= Г.дг= Ж1 = 0(гп) — Цгс) и не зависит от формы кривой СР.

Поверхности, на которых силовая функция принимает постоянное значение, называются новсрхностями уровня. Потенциальная сила направлена перпендикулярно к поверхности уровня в сторону возрастания силовой функции. Действительно, когда элементарное перемещение направлено вдоль поверхности уровня, то работа силы равна нулю. Но элементарная работа силы есть скалярное произведение силы на перемещение точки ее приложения. Отсюда следует ортогональность. Вместе с тем, если перемещение направлено в сторону увеличения силовой функции, то работа обязана быть положительной. Значит, косинус угла между силой и указанным перемещением положителен.

Теорема 3.4.1. Силовая функция суммы нескольких иотенциальных сил равна сумме силовых функций этих сил. Доказательство. Пусть на точку действуют потенциальные силы дУ; Р;= — ', 1=1,...,п, дг ' Глава 3. Динамика поступательного движения 164 где У;(г) — их силовые функции, г — радиус-вектор точки приложе- ния всех этих сил. Рассмотрим функцию в Цг) = у о';(г). в=1 Для нее — =Š— '=ЕР' до' " до< дг, дг Тем самым П(г) есть силовая функция для суммарной силы.0 Заметим, что теорема 3.4.1 справедлива для любых потенциальных сил независимо от их природы. Силовое иоле — это область пространства, в каждой геометрической точке которого однозначно определена сила, действующая на материальную точку прн выполнении необходимых для этого физических условий.

Например, необходимым физическим условием действия электростатической силы будет присутствие на точке электрического заряда. Поверхности уровня силовой функции представляют собой наглядный геометрический образ, характеризующий структуру потенциального силового поля. Другой характеристикой силового (не обязательно потенциального) поля могут служить силовые линии. Силовал линия — это кривая, касательная к которой в каждой точке кривой совпадает с направлением силы.

Задать силовое поле — значит задать зависимость и'(г) силы от радиуса-вектора точки пространства. Пусть г = г(а) — параметрическое уравнение силовой линии, причем и — длина ее дуги. Тогда силовая линия есть решение дифференциального уравнения Иг У па )Р) Оно теряет смысл, когда либо (Ц = О, либо Щ = со. Во всех других точках пространства направление касательной к силовой линии однозначно определено, и в них силовые линии одного и того же силового поля не могут пересечься под ненулевым углом. В случае потенциального силового поля уравнение силовой линии принимает вид Следовательно, касательная к силовой линии перпендикулярна поверхностям уровня. Учтем, что ~Иг~ = Иа, и скалярно умножим урав- 3.4.

Работа силы на перемещении 165 пение силовой линии на «гг. Получим 1дУГ дбг дУ г«Б = — — г«г = — «гГ 1 дг 1 дг дг Поэтому одинаковому приращению силовой функции отвечает смещение вдоль силовой линии, обратно пропорциональное модулю градиента силовой функции.

В тех точках пространства, где сила больше, поверхности равного уровня будут ближе друг к другу, чем в других точках. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся типы силовых полей. П р и м е р ЗА.1. Поле параллельных сил. Пусть à — модуль силы, е — единичный вектор ее направления, произвольно ориентированный в пространстве и одинаковый для всех его точек: Обозначим г = е г проекцию радиуса-вектора точки на направление вектора е.

Предположим, что модуль силы зависит только от г: Е = Е(з). Элементарная работа А силы Р на перемещении «1г выражается равенством А = Е(г)е Нг = Г(г) Н(е г) = Р(г) «Ь. Согласно определению первообразной, последнее выражение есть пол- ный дифференциал от функции У(з) = г(г)Нг+с, «« где с — произвольная постоянная.

Характеристики

Список файлов книги