1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Такое поле потенциально. Частным случаем поля рассматриваемого типа будет поле силы тяжести. Для него Г = гпд е, где гп — масса, д — ускорение силы тяжести и е — направление отвеса. Тогда П(г) = гпдг+ с = п«де г+ с. Другой частный случай — это электростатическое поле между заряженными пластинами конденсатора.
Для него Г = Еде, где Е— напряженность поля, д — точечный заряд,е — направление, перпендикулярное пластинам. Имеем Цг) = Еда+ с = Еде г+с. Глава 3. Динамика поступательного движения 166 Силовые линии поля параллельных сил даются уравнением Ыг — =е оЬ или г= ее+го, где го — произвольное начальное значение радиуса-аектора.
Видим, что силовые линии — прямые, пронизывающие пространство параллельно вектору е. Поверхности уровня силовой функции даются ураенением е г = зо, где ко — произвольное постоянное значение переменной г. Это плоскости, разрезающие пространство перпендикулярно вектору е.О П р и м е р ЗА.2. Поле пентралъных сил. В любой точке поля сила направлена вдоль радиуса-вектора г, а ее модуль зависит только от г = ~г~. Начало радиуса-вектора называется центром поля.
й' = г'(г) е„, е„= г/г. Работа А силы Е' на элементарном перемещении Иг выражается равен- стаом А = Е(г) е . Нг = Г(г) — . Ыг = -Е(г) — = Р'(г) Нг г 1 И(г~) (г( 2 г и представляет собой полный дифференциал от функции г 0(г) = Е(г) с(г+ с, го г" (г) = юг . Для силовой функции справедливо выражение ье (п(г(го), если о = — 1; У(г) = юг о(г+с = с+ га — (г — го ), если о ф — 1. ь+ь ь+ь 6+1 Учтем, что силовая функция может быть определена с точностью до произвольной постоянной. Тогда где с — произвольная постоянная. Поэтому поле центральных сил потенциальное.
Поверхности уровня силовой функции У(г) представляют собой концентрические сферы с различными значениями радиуса г. Силовые линии суть радиальные лучи, исходящие из центра сил. Рассмотрим частные случаи, когда Г(г) задает степенную зааисимость силы от радиуса: ЗА. Работа силы ыа перемещении 167 а) Центральное поле нъютонианского тяготению и = -7Мтп, где У вЂ” гравитационная постоянная, М вЂ” масса притлгивающего тела, расположенного в центре поля, гп — масса притягиваемого тела, Ь = -2. Следовательно, йг) =1— Мго 6) Электростатическое поле: и = Щу, где Ь вЂ” электростатическая постоянная, Я, е — величины точечных зарядов, Ь = — 2.
Следователэно, о'1г) = — Ь вЂ”. Ф Силовое поле будет притягивающим, когда Яд ( О (заряды разных знаков), и отталкивающим, когда Яд > О 1зарлды одного знака). в) Поле упругой силы: ве = -с, Ь = 1. Силовая функция имеет вид сз у(г) = — — гз.О 2 П р и м е р 3.4.3. Силы трения скольжения (Кулоновское сухое трение). Скольжению одного тела по поверхности другого всегда препятствуют силы, называемью силами трения. Это пассивные силы, мешающие возникновению относительного движения и стремящиеся успокоить такое движение, если оно возникло.
Величина силы сухого трения Р,р пропорциональна силе лг, прижимающей друг к другу соприкасающиеся тела и направленной перпендикулярно к поверхности соприкосновения (Ф вЂ” сила нормального давления): Г, =/слг, Ь>О. Коэффициент пропорциональности Ь зависит от того, движутся или нет друг относительно друга соприкасающиеся поверхности. Если проскальзывание отсутствует, то сила трения уравновешивает касательную проекцию активной силы, стремящуюся вызвать относительное перемещение. Следовательно, в этом случае ~'тр = -а ~ Ь = Р/Лг, где х — проекция активной силы на плоскость, касательную к поверхности контакта, à — модуль проекции активной силы. Коэффициент Ь ограничен предельным значением 7 = гпахЬ, называемым коэффициентом сухого трения (трения скольжения).
Как только Й достигает предельного значения, начинается относительное проскальзывание трущихся поверхностей. Коэффициент 7 зависит от Глава 3. Динамика поступательного движении 168 скорости'э относительного смещения: г = Дэ). При малых значениях э функция Дэ) несколько 6ольше, чем при 6ольших. С ростом э эта функция асимптотически и очень быстро стремится к постоянному значению, являющемуся характеристикой трущихся поверхностей.
На практике приближенно принимают ~ = сопв1, О < с < у. Сила трения и сила, препятствующая проникновению тел сквозь поверхность контакта (противоположная силе нормального давления), в сумме образуют реакцию В. опорной поверхности на действие активной силы. Угол р, образованный нормалью к поверхности контакта и линией действия реакции В., отвечающей максимальной величине силы трения, называется углом трении. Угол трения связан с коэффициентом трения очевидным соотношением Построим конус с вершиной в точке контакта.
Ось конуса направим по нормали к поверхности контакта, а угол при вершине положим равным 2ф. Тогда реакция в данной точке всегда будет принадлежать этому конусу. Построенный конус называется конусом трения. Вообще говоря, шероховатость поверхностей контакта по различным направлениям может оказаться различной. Тогда конус трения уже не будет прямым круговым конусом. Сила сухого трения дает пример силы, не обладающей силовой функцией (непотенциальной). В самом деле, сила сухого трения направлена всегда против скорости относительного перемещения. Следовательно, Выражение для элементарной работы принимает вид А = Ртр Иг = — у лг — й.
(и! Если 6г — реальное перемещение, то г)г = эй. Поэтому тг А = -~Х вЂ” игП = — ~Дгэ й = -~Ийв < О, ~и! где Нз > Π— элемент длины дуги, взятый в направлении движения точки по траектории. Видим, что элементарная работа во всех случаях отрицательна, и ее знак не зависит от формы траектории. Когда траектория образует замкнутый контур, работа силы трения окажется не равной нулю, а потому сила сухого трения непотенциальна.О П р и м е р 3.4.4.
Сила вязкого трения. Такие силы возникают в присутствии смазки между трущимися поверхностями. Сила вязкого 3.5. Основные задачи динамики 169 трения направлена в сторону, противоположную скорости относительного движения: У,р- — — жч, ж>0. В практически интересном диапазоне скорости относительного проскальзывания зависимость козффициенгпа вязкого трения ж от величины и скорости близка к линейной: жгежо+ж1и, жо>0, жг >О, где постоянные жо, ж1 характеризуют тип смазки. Если скорость и мала, то коэффициент вязкого трения можно приближенно принять постоянным: ж рз жо, Вязкое трение дает еще один пример непотенциальной силы.
Элементарная работа сил вязкого трения имеет вид (см. пример 3.4.3) А = — жч Нг = — жи~ае = — жи дз ( О. Суммарная работа такой силы по замкнутому контуру, как и в примере 3.4.3, не может обратиться в нуль.о 3 3.5. Основные задачи динамики Изучение движения материальной точки может производиться различными методами. В зависимости от цели изучения различают следующие основные задачи динамики. 1. Прямая задача динамики состоит в том, чтобы найти закон движения материальной точки под действием силы, определенной в достаточно широкой области пространства.
2. Обратная задача динамики состоит в том, чтобы по полностью заданному закону движения определить силу или силы, способные вызвать движение точки, соответствующее этому закону. 3. Смешанная задача динамики возникает, когда заданы некоторые характеристики сил и некоторые характеристики закона движения и требуется восстановить недостающие элементы движения.
Каждая задача имеет свои особенности и специфические трудности решения. Рассмотрим, например, обратную задачу динамики. В том случае, когда закон движения задан абсолютно точно с помощью по крайней мере дважды дифференцируемых по времени функций, проблема определения сил не вызывает принципиальных затруднений и сводится к вычислению второй производной по времени от заданного закона. Вместе с тем в достаточно часто встречающихся ситуациях закон движения точки нельзя задать по воле человека, но можно оценить путем проведения необходимых измерений.
Тогда 170 Глава 3. Динамика поступательного движения из-за влияния неизбежно возникающих в процессе измерений ошибок операция получения второй производной оказывается некорректной, а ее результат существенно зависит от метода вычислений. Это так называемая задача математической диагностики, и для ее решения необходимо использовать как статистические свойства ошибок измерений, так и специальные методы анализа структуры изучаемого движения. Подобная задача была решена Кеплером и Ньютоном при открытии закона всемирного тяготения, управляющего движением небесных тел. Обратимся к прямой задаче динамики и рассмотрим уравнение, выражающее второй закон Ньютона; тиг = Е, где ж — ускорение точки в некоторой инерциальной системе отсчета. Единичные базисные векторы еы ег, ез этой системы примем взаимно перпендикулярными и начинающимися в некотором полюсе О, служащем началом системы отсчета.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
