1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 22
Текст из файла (страница 22)
123 2Л2, Поле скоростей твердого тела Теорема 2.12.2. Тройка ((ом шг, шз) элементов угловой скорости образует скользяиеий псевдовектор ш (это значит, что со изменяет направление при изменении ориентированности базиса). ,Доказательство. Пусть А — матрица оператора А Е 50(3): т(г) = А(1)х+ г'(1), в репере еы ег, ез с началом в полюсе О.
Выберем другой ортонормированный репер К, )сг, )сз с тем же началом и с постоянной матрицей направляющих косинусов В = (ЬВ): Очевидно, что в базисе Еы кг, )сз матрица угловой скорости примет вид цт " Ат ц Матрицу В символически запишем следующим образом: В = (1сы 1сг, 1сз), где )сы )сг, )сз заменяют собой столбцы, образованные координатами этих векторов в базисе еы ег, ез. Проводя формальные преобразования, получим — А ( В = (ы х )сы ш х )сг, со х 1сз).
с аА т'1 б1 Правая часть, как и прежде, представляет собой матрицу, составленную из столбцов, образованных компонентами векторных произведений. Указанные векторные произведения имеют смысл, так как ш и 1с; определены в одном и том же базисе еы ег, ез. Далее, 1сг (ш х 1сг) )сг (ш х 1сг) 1сг (иг х 1сз)  — А В = 1сг (со х 1сг) 1сг (ы х 1сг) 1сг (ш х 1сз) '1 бг 1сз .
(иг х 1сг) 1сз (со х 1сг) 1сз (< > х 1сз) Произведя циклические перестановки векторов, найдем О ш ' (1сг х 1~г) со ' (1сз х )сг) 0= ш (1сг х 1сг) О ш ()сз х 1сг) ш (1сг х 1сз) ш> (1сг х 1ез) О Глава 2. Кинематика 124 Рассмотрим два возможных случая реализации матрицы В. 1) е1ееВ = 1. Тогда зеркальные отражения осей координат отсутствуют и, если исходный базис еы ез, ез был правоориентированным, то и базис К, )ею )ез окажется правоориентированным.
Значит, )е1 х 1ег = )ез, )сг х )сз = )еы )ез х )е1 = 1ег и потому О -ие 1сз ео 1ст Й = ео 1ез Π— ео.1е1 — ео 1с2 й~ 1с1 О Другими словами, в новом базисе компоненты матрицы угловой скорости получаются путем проектирования щ на новые базисные векторы. Следовательно, компоненты (ыы ыю ыз) преобразуются как координаты вектора, 2) е(е1 В = — 1. Тогда имеется зеркальное отражение одной из осей координат. Пусть для определенности это будет ось )ез. Базис К, )гю )ез станет левоориентированным. Позтому 1с1 х 1е2 = — )гз, 1гз х 1ез = — )г1, )ез х 1с1 = — )с2 О ео ' )ез — ы )сз й = — ео 1сз О щ.1с1 1ет — ео 3се О Видим, что при переходе от правоориентированного базиса к левоориентированному помимо применения к тройке (ыы ыю ыз) правила преобразования векторов требуется еще поменять ее знак на противоположный.
Объекты, обладающие таким свойством, называются иеевдовекторами. Далее, ие — скользящий псевдовектор, так как в соответствии с теоремой Эйлера основание ео проходит через точку, определенную радиусом-вектором г', и любая точка прямой г =г +Лы, где Л вЂ” произвольный скаляр, имеет скорость и = ио и может быть выбрана за полюс при описании поля скоростей в данный момент времени. П Заметим, что скалярное произведение псевдовектора на вектор называется аеевдоскаллром. Псевдоскаляр меняет знак при зеркальном отражении базисных векторов. Если при преобразованиях координат выполнять переходы только к базисам одинаковой ориентированности (использовать либо только правоориентированные, либо только левоориентированные базисы), 2.13. Система угловых скоростей 125 то тройку (ыы ыг, ыз) можно считать полноправным скользящим вектором.
В связи с этим в механике условились всегда использовать только правоориентированные системы базисных векторов. В дальнейшем ограничимся только такими преобразованиями координат, которые сохраняют ориентированность базиса. Это позволяет считать ы скользяшим вектором. Перейдем к анализу элементарных эквивалентных операций над системой угловых скоростей. 3 2.13.
Система угловых скоростей Теорема 2.13.1. Пусть вектор угловой скорости ы1 соответствует линейному оператору А1(1) Е 50(3), а вектор угловой скорости игг — линейному оператору Аг(1) Е ЯО(З). Тогда композиции линейных операторов Аг о Аг соответствует угловая скорость ы=ы +ы. Доказательство. Воспользуемся теоремой 2.11.1 о сложении скоростей в относительном движении. Действие композиции А1 о Аг можно интерпретировать как последовательность преобразований г(1) = А1у(1), у(1) = Агх. Следовательно (см.
доказательство теоремы 2.11.1), координаты вектора у(1) задают точку М тела в подвижном репере Я: Ое',егез. Движение репера Я относительно о, задается оператором Аы Тем самым точка М участвует в сложном движении. Ее переносная скорость ч, из-за движения о' и относительная скорость ч„в репере Я даются выражениями НА1 че = у(г), чг = Агу ° Й С использованием матриц операторов выражение для ч„можно представить в виде дАг "Аг т "Аг т т чг = Аг — х = Аг — А у =А,— АгА,г, аг' дг дг где Аг — матрица оператора Аг в репере 5.
Воспользуемся понятием угловой скорости и сопоставим матрице (ИА1/дг)Атг вектор ы', матрице (ИАг/сй)А~~ — вектор ыг. Рассмотрим матрицу йг Аг(ААг/й)АгтАтг Кососимметричной матрице (ИАг/дг)А~~ соответствует вектор угловой скорости движения в репере Я. Матрица йг, как легко видеть, Глава 2. Кинематика 126 также кососимметрична. Она получается вследствие перехода к реперу Я, преобразованием подобия с помощью матрицы А1.
Матрице Йз сопоставим вектор угловой скорости ыг относительного движения. Суммируя сказанное, имеем ч, = !о! х г, ч„= еог х г, ч, = ч, + ч„= (ео! + сот) х г.С С помощью этой теоремы можно интерпретировать результат сложения нескольких вращательных полей, отвечающих угловым скоростям, основания которых пересекаются, как вращательное поле, полученное вследствие композиции угловых движений.
Одновременно найдено правило сложения угловых скоростей, которое сформулируем в виде следствия. Следствие 2.13.1. (Угловая скорость сложного движения). Если поле скоростей в твердом теле соответствует вращению с угловой скоростью ео" относительно репера Н», который гам вращается с угловой скоростью со~ в репере Яю репер Яг вращается с угловой скоростью сот в репере Яз и т.д. и, наконец, репер 5» вращается с угловой скоростью ы в неподвижном репере Яо, и если » основания всех вехторов ы", ы1,...,иг» пересекаются в одной точхе, то результирующее поле скоростей в репере Яо будет вращательным с угловой скоростью Теорема 2.13.2.
(Сложение поступательных полей скоростей). Пусть поле скоростей твердого тела в репере Я! — поступательное со скоростью ч„, поле скоростей репера Я! в репере Язв поступательное со скоростью ч1, поле скоростей репера Яг в репере Яз — поступательное со скоростью чг и т.д. Наконец, поле скоростей репера Я» в неподвижном репере Яо — поступательное со скоростью ч„. Тогда поле скоростпей тела в репере Яо — поступательное со скоростью » ч=ч„+ ~~! ч;.
Доказательство. Каждая точка твердого тела участвует в сложном движении. Достаточно применить теорему 2.11.1.П Рассмотрим общий случай, когда движение твердого тела есть композиция вращательных и поступательных перемещений. Такой случай описывается формулами г = А!у+ г', у = Агх+ у', 127 2.13. Система угловых скоростей где операторы Ае, Аг и векторы г~, у' зависят от времени и одинаковы для всех точек твердого тела.
Вектор х не зависит от времени и фиксирует конкретную точку твердого тела. В рассматриваемом случае оператор Ае оставляет неподвижной точку Ое, совпадающую с концом вектора г',, а оператор Аг — точку Ог, совпадающую с концом вектора г' = Аеу'+ г~. Следовательно, основание вектора иг', соответствующего оператору Ае, проходит через точку Ое, а основание вектора ел~ проходит через точку Ог.
Имеем два скользящих вектора угловых скоростей, основания которых могут, вообще говоря, не пересекаться. Вместе с тем, очевидно, эти векторы приводятся к одному скользящему вектору иг, так как рассматриваемое сложное движение задается равенством г = АгАгх+г'. Видим, что всякому множеству скользящих векторов угловых скоростей можно сопоставить композицию линейных операторов. Поле скоростей, порождаемое композицией, будет равно сумме полей, порождаемых элементами этого множества.
Тем самым получают смысл операции эквивалентного преобразования такого множества и возникает возможность рассматривать его как систему (см. раздел 1.3). Определение 2.13.1. Пусть поле скоростей твердого тела представляется в виде суммы вращательного поля репера В с угловой скоростью со, основание которой проходит через полюс О, и вращательного поля в репере Я с угловой скоростью — иг, имеющей основание, параллельное ео. Такая система угловых скоростей называется парой вращений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
