1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Угол этого (г) "г (г) по возможности, дополнительную информацию о том, как тело попало в заданное положение. В частности, если известно, например, что углы дд), д, чд не превосходят 2т и д ф О, то соответствие между оператором А и углами Эйлера будет взаимно однозначным. Вместе с тем если д = О, то по матрице А можно восстановить только сумму дг + (э и мы имеем случай существенного вырождения. Приведем еше один способ введения угловых координат, иногда более удобный, чем способ Эйлера, поскольку он позволяет исключить вырождение при ез — — ез.
Пусть, как и прежде, действие оператора (ь) А состоит в том, что 94 Глава 2. Кияематика поворота обозначим ф. Матрица оператора А(г) имеет вид сов )1 О ып )1 А(г) = О 1 О ы — в(пд О сов д Переход от базиса Вв к базису В1 оставляет неподвижным вектор е1. Оператор А(') задает поворот вокруг вектора е) .
Угол этого поворота обозначим о. Матрица оператора А(1) имеет вид 1 О О А(1) = О сова — в(па О в!по сове Таким образом, оператор А можно выразить с помощью композиции А = А(1) ь А(г)о А(з) операторов, отличных от операторов, получающихся при использовании углов Эйлера, Углы о, )1, у называются кардановыми углами (иногда углами Врайнта).
Они задают последовательность промежуточных базисов путем поворотов вокруг каждой иэ трех координатных осей в указанном порядке. Для кардановых углов возможны различные варианты. Примером могут служить углы Крылбва, когда последовательность промежуточных базисов получается посредством поворотов сначала вокруг второй неподвижной оси (тангаж, килевая качка), затем вокруг получившегося положения первой оси (крен, боковая качка) и, наконец, вокруг получившегося после первых двух поворотов положения третьей оси (рыскание).
Углы Крылова (их еще иначе называют корабельными углами) или им подобные (например, самолетные углы) часто используются при исследовании движения кораблей, самолетов и других управляемых движущихся (ь) объектов. При этом вектор е( выбирается по направлению продольной оси объекта, а ось е) близка к среднему направлению движения вдоль продольной оси. Теорема 2.5.3. Существуют кардановы углы, задающие произвольное иололсение тпвердого тела относительно базиса еы ег, ез. л(оказательство.
Если ез ф еы то справедливость утвер(ь) ждения теоремы следует из определения кардановых углов. Если ез — — еы то базис Вг не определен. Вектор ег можно тогда принять (ь) (г) произвольным в плоскости (ет, ез). В частности, его можно взять совпадающим с ег. Тогда будем иметь о = О.
Оператор А окажется композицией А = АОО о А(з), которая означает сначала поворот на 2.5. Угловые коордииаты твердого тела угол )г = т/2 вокруг неподвижной оси ег и поворот на угол т вокруг оси ез, совпаДаюЩей с осью е1.П (1) Рис. 2.5.3 иллюстрирует последовательность поворотов при использовании кардановых углов. Сначала происходит поворот вокруг оси е1 на угол а, и базис Ве переходит в базис В1 = (ег,ег,ез ). (2) (1) Затем поворот на угол )г вокруг вектора е(2 переводит базис (2) В1 —— (ег,ег,ез ) (2) (1) в базис Вг = (е,,ег,ез ). (2) (2) (ь) Наконец, поворот на угол ( переводит базис в базис Вю В отличие от углов Эйлера кардановы углы определяют угловое положение репера, жестко связанного с ) твердым телом, последовательными поворотами сначала вокруг первой неподвижной коордииатной оси, затем вокруг образа второй координатной оси, получившегося после первого поворота, и затем вокруг образа третьей координатной оси, получившегося после первых двух поворотов.
Рис. 2.5.3. Кардавовы углы Как видно из доказательства теоремы 2.5.3, введение кардановых углов переносит особенность в те положения твердого тела, для которых ез — — е1. Вообще появлеиие особенности яри использовании (2) минимального иабора угловых координат неизбежно и связано с тем, что при поворотах концы базисных векторов описывают дуги большого круга.
На сфере же любые две окружности большого круга имеют пересечение. Глава 2. Кинематика 96 Использование углов Эйлера или кардановых углов не встречает принципиальных затруднений, когда углы элементарных поворотов задаются в зависимости от времени и требуется указать, в какое положение переходит твердое тело. Однако необходимость вычисления тригонометрических функций этих углов делает расчеты по определению матрицы оператора поворота не всегда эффективными. В ряде задач предпочтительным оказывается описание углового движения твердого тела с помощью параметров Эйлера, параметров Кэли-Клейна или кватернионов.
9 2.6. Параметры Эйлера Рассмотрим переход твердого тела из одного фиксированного положения в другое произвольное фиксированное положение, сохраняющий неподвижной некоторую точку О тела. Такое движение согласно следствию 2.4.2 может быть представлено как конечный поворот тела на некоторый угол а вокруг оси с единичным вектором е собственного направления соответствующего оператора А.
Пусть из конца вектора е угол а виден происходящим против хода часовой стрелки. Как и прежде обозначим х радиус-вектор точки твердого тела в его исходном положении, а г — радиус-вектор той же точки тела, получившийся в результате указанного перехода. Радиусы-векторы х и г имеют начало в неподвижной точке О. Построим преобразование х — г. Теорема 2.6.1. Преобразование вращения абсолютно твердого тела вокруг оси с направляющим вектором е на угол а выразгсается формулой г = х+ 2дв(а х х) + 2(а х (а х х)), где скаляр до = сов(а/2) и вектор а = е вш(а/2).
Доказательство. Пусть сначала вектор х и вектор е неколлинеарны. Составим правоориентированный репер О е~ 1е~г ~е~ ~ следующим образом: О1 ех(ххе) П) ехх ~ц е, )е х х) ' )е х х)' ег ' ез в этом репере рассматриваемое преобразование имеет вид г = е(е х) + ~е х х)(е~ ~ сова+ е~г ~ в1п а), где первый член есть составляющая вектора х, направленная вдоль вектора е и не меняющаяся при вращении вокруг этого вектора.
Второй член задает преобразование вращения на угол а в плоскости, 2.6. Параметры Эйлера 97 перпендикулярной вектору е. Учтем выражения для векторов ег и О) е~ ~. ег г = е(е х) + (е х х) вгп о + е х (х х е) сов а. Преобразуем двойное векторное произведение е х (е х х) = е(е .х) — х или е(е х) = х+ е х (е х х). Теперь получим г = х+ 2сов(о/2)в1п(о/2)(е х х) +е х (е х х)(1 — сова).
Отсюда и следует доказываемая формула. Заметим, что она справедлива и в том случае, когда векторы е и х коллинеарны.сг Разложим вектор ее теоремы 2.6.1 по базисным векторам неподвижного репера О егегез: ек = Чгег + Чгег + Чзез. Определение 2.6.1. Скалярные величины Чо, Чы Чг, Чз, определяющие преобразование вращения в соответствии с теоремой 2.6.1, называются параметрами Эйлера. Очевидно, что параметры Эйлера удовлетворяют условию Чо+ Чг + уй+ Чз = 1. Согласно следствию 2.4.2 параметры Эйлера существуют для любого оператора А Е ЯО(3).
Теорема 2.6.2. Зависимость компонент аб матрицы оиератора А Е ЯО(3) от параметров Эйлера дается формулами аы = 2(Чо + Чг) — 1, агг = 2(ЧгЧг — Чоуз), агз = 2(ЧгЧз + ЧоЧг), г г агг = 2(Чгйг+ Чоуз), агг = 2(Чо + Чг) 1, агз = 2(Чгйз — Чоуг) азг = 2(Чгуз — ЧоЧг), азг = 2(Чгуз + Чоуг), азз = 2(Чо + Чз) — 1 Доказательство. Чтобы убедиться в справедливости теоремы, достаточно проверить, во что переходят базисные векторы е при рассматриваемом преобразовании.
Применяя теорему 2.6.1, найдем е,' = е + 2Чо(а х е ) + 2(а х (а х е )). г- мо; Глава 2. Кинематика учтем, что (ах(ахе))=а(а е) — еог, ай = е;е,' = ееед(1 — 2ог)+ 2доа (е х ее)+ 2дед.. Но ог = д12+дг + дэг — 1 -дог. ПУсть тепеРы =,~. Очевидно, что тогДа ап = 2(дг + дог) — 1, и мы получаем все диагональные члены матрицы А. В том случае, когда 2 ф,1, будем иметь аб = 2(д;д, + дохе (е, х е;)). Перебирая последовательно индексы, найдем остальные члены иско- мой матрицы. В частности, пусть 2 = 1, у = 2. Имеем ег х е1 — — — ез, и, следовательно, аю = 2(дгдг — додэ).сг Следствие 2.6.1. На основании теоремы е.б.у заключаем, что матрица всякого оператора А Е ЯО(3) может быть представлена в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц: ~дг+ г) А = 2д1дг 2д1 дз СфоРмУлиРУем пРавило вычислениЯ паРаметРов ЭйлеРа до, д1, дг, дз по заданным компонентам аре матрицы А.
Теорема 2.6.3. Пусть А = (арз) — матрица оператора А из ЯО(3). Тогда параметры Эйлера до, д1, дг, дз моэюно найти с помощью одной из следующих систем уравнений Номер применяемой системы совпадает с номером первого отлич- ного от нуля коэффициента в упорядоченном наборе (до, д1,дг, дз). Доказательство. Вычислим след матрицы А, используя теорему 2.6.2: ') аи = » (2(дог + дг) — 1) = бдог — 3+ 2 ~, дг = 4дог — 1 1=1 и рассмотрим скалярные произведения 2д1дг 2дгдз 2до+дг) — 1 2дгдз +2до 2дгдз 21дог+дзг) 1 где до, д1, дг, дэ — параметры Эйлера. Π— дз дг дз О -д1 дг д1 О 2.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
