1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 66

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 66)

Если связи идеальны и в каждый момент времени допускаюп1 поступательное виртуальное перемещение всей системы параллельно неподвижной оси с единичным направляющим вектором е, то производная по времени от проекции ь), количества двиэюения иа зту ось равна сумме проекций внешиик активнык сил на ту же осек Я, = — = ~ Г~„') е. й~, д1 Доказательство. Пусть в соответствии с условием теоремы существует виртуальное перемещение, выражаемое формулами дг„клее, о=1,...,Ф. Тогда с помощью принципа Даламбера-Лагранжа получим ~ (т„г„— Г„) ее = О. Но о ф О. Значит, ч-~ к~ ..

д ~-~ (Юе сй~-' "" Й ишп и=1 еше Глава 5. Динамика системы материальных точек 382 Представим активные силы, действующие на точки системы, как сум- му внутренних и внешних сил; Е Е«1,Е~ > Тогда Следствие 5.1.2. (Интеграл количества движения). Если сумма проекций всех внешних активных сил на направление е в условии теоремы 5.1.3 тождествекпа равна кулю, то проекция скорости центра масс системы на зто направление постоянна, а проекция центра масс на это направление либо не движется, либо смещается равномерно.

Доказательство. Имеем д — ь1, = М вЂ” (и,.е). д1 ' д1 Следовательно, д д1 — (г„. е) = ч, е = с1 = сопв1. Отсюда г, . е = (Ф вЂ” 1о)с1 + сы где с1 и сз — постоянные интегрирования. Если с1 = О, т.е. проекция начальной скорости центра масс на направление е отсутствует, то проекция центра масс на зто направление остается неподвижной.О П р и м е р 5.1.1. Пусть человек стоит на абсолютно гладком льду, и в начальный момент скорость его центра масс отсутствует. Так кек внешними активными силами будут только силы тяжести, и они направлены вертикально, то что бы человек ни делал, он не сможет сместить в горизонтальном направлении свой центр масс.О П р и м е р 5.1.2.

Пусть на абсолютно гладкую горизонтальную плоскость положены две абсолютно гладкие тяжелые призмы так, как показано на рис. 5.1.1. Указать, насколько переместится нижняя призма массы М, когда верхняя призма массы гп под действием силы тяжести перейдет без отделения от нижней в такое положение, что она коснется горизонтальной плоскости. Основание нижней призмы примем равным а, верхней — 6. Р е ш е н и е.

Движение призм будем считать плоскопараллельным в вертикальной плоскости Оха Пусть ось Ох будет горизонтальной. 383 5.1. Общее уравнение динамики системы Абсолютно гладкие призмы, положенные на абсолютно гладкую горизонтальную плоскость, движутся под действием силы тяжести так, что их общий центр масс не перемещается а горизонтальном направлении. Используя зто свойство можно найти смещение одной из призм, зная смещение другой. О Рис. 5.1.1. Призмы па гладкой плоскости Обозначим х„горизонтальную координату центра масс нижней призмы е начальный момент движения, а х — горизонтальную координату центра масс верхней призмы а тот же момент. Тогда горизонтальную координату х, центра масс всей системы можно найти по формуле Мхе + гпхь М+т К моменту окончания движения нижняя призма сместится в горизонтальном направлении на х, а верхняя — на х+ (а — 6).

Соответственно центры масс будут иметь горизонтальные координаты х'„= х„+ х, х', = х + х+ (а — 6). Так как проекция силы тяжести на горизонтальное направление равна нулю, а з начальный момент времени скорость центра масс отсутствует, то центр масс не должен смещаться з горизонтальном направлении. Отсюда Мх„+ тх М(х„+ х)+ т1х + х+(а — 6)) Следовательно, т(а — 6) М+ гп Активные силы — понятие, связанное со вторым и третьим законами Ньютона.

Пользуясь принципом освобождения от связей, вместо связей можно ввести их реакции и включить реакции в число внешних сил. Этим открывается возможность для обобщений теоремы об изменении количества движения. Теорема 5.1.3. Пусть после освобождения от некоторых связей оставшиеся связи идеальны и допусхаюпь поступательное виртуальное перемещение системы материальных точек вдоль любого Глава 5. Динамика системы материальных точек 384 направления в пространстве.

Тогда производная по времени от количества двизюения системы равна сумме всех внешних сил, включая и реахции удаленных свлзейя ~, «йце)+ ц~ «В(е) г! )ч г=! гх! Доказательство. По условию теоремы виртуальное перемещение можно принять одинаковым для всех точек системы, если отбросить некоторые связи, а их реакции включить в разряд внешних сил. Следовательно, бг„=а, и=1,...,Ф, а принцип Даламбера-Лагранжа примет вид )ч а ~~«(т„г„— г' „— В.„) = О. лхи Так как вектор а произволен, то )ч (т„г'„— й'„— В.,) = О. я=! Дальнейшие рассуждения вполне аналогичны доказательству теоремы 5.1.2.С) Теорема 5.1.2 есть частный случай теоремы 5.1.3, когда реакции связей не влияют на соответствующую компоненту вектора количества движения.

Скажем, что связи допусхают дифференциал вращения (см. з 2.10) вокруг оси е, если величины бг, = б!ре х г„, и = 1,..., )ч', где б!р — произвольный скалярный множитель, принадлежат множе- ству виртуальных перемещений 'Г. Теорема 5.1.4. (Об изменении кинетического момента системы). Пусть связи идеальны и допускают в кансдый момент времени дифференциал вращения вокруг неподвизюной оси с направляющим единичным вехтором е.

Тогда производнал по времени от проекции К, кинетического момента на эту ось равна моменту внешних ахтивных сил относительно той ззсе оси: — = е ~~! ге х г«„'). дК, 5.1. Общее уравнение динамики системы 385 Доказательство. По условию теоремы виртуальное перемещение можно задать с помощью формулы бг„= бее х г„, и = 1,..., Ф, где бу» — произвольный скалярный множитель.

Подставляя это выражение в уравнение принципа Даламбера-Лагранжа и пользуясь свойствами смешанного произведения, найдем пе е ) (т„г„х г„— г„х Р,)б~р= О. Так как бес произвольно и д ге х ге : (ге х ге) д1 то ЫК е — =е э г„х х',. М Вектор е — постоянный, и его можно внести под знак дифференци- рования по времени. Далее 1бе = е. К.

Кроме того, силы действия и противодействия попарно принадлежат одной прямой и противоположны. Поэтому ик моменты взаимно уничтожаются.О Следствие 5.1.3. (Теорема площадей). Если в условиях теоремы 5.1.1 сумма моментов внешних активных сил относительно оси е равна тождественно нулю, то проекция К, кинетического момента системы на ось е остаетпся постоянной в процессе движения. Доказательство.

В рассматриваемом случае К, = О. Поэтому К, = сопв1 есть первый интеграл системы уравнений движения,С1 Геометрический смысл величины К, виден из выражения и К, = у т„(г„х ие) е. еп1 Таким образом, кинетический момент К, относительно оси е есть сумма произведений масс точек системы на секторные скорости ик проекций на плоскость, перпендикулярную к оси е. Сказанное оправдывает исторически сложившееся название следствия 5.1.3.

25 — 1503 Глава 5. Динамика системы материальных точек 386 П р и м е р 5.1.3. Фигурист, стоя на льду и отталкиваясь от него для вращения вокруг собственной вертикальной оси, в начальный момент широко расставляет руки. Подтягивая постепенно их к корпусу, он увеличивает угловую скорость вращения. Следствие 5.1.3 обьяснявт этот эффект. О Теорема 5.1.5. Пусть после оевобозесдения от некоторых связей оставшиеся связи идеальны и допускают дифференциал вращения вокруг произвольной оси.

Тогда производная по времени от вектора кинетического момента равна сумме моментов внешних активных сил, включая моменты реакций удаленных связей: лг ег — = ~ г„х Г~'1+ у г„х хь~'1. лхи ех1 Доказательство. По условию теоремы, после исключения соответствующих связей и отнесения их реакций к внешним силам виртуальное перемещение можно взять в виде бг„= бузе х г„, и = 1,..., М, а принцип Даламбера-Лагранжа обеспечивает выполнение равенства и ~(т„г„— Є— Н„) бг„= О для любого виртуального перемещения, совместимого с оставшимися связями.

Здесь Н,„— реакции удаленных связей. Дальнейшее рассуждение аналогично доказательству теоремы 5.1.4. Подставив выражения для виртуальных перемещений в уравнение принципа и выполнив преобразования, найдем /а л' м е ~ — — ~ г х 5'„— ~ г х И„бу = О. '~ д1 ехе ех1 Но, в отличие от теоремы 5.1.4, произвольное значение здесь может принимать не только б~р, но и вектор е.П Следствие 5.1.4. (Интеграл кинетического момента). Если сумма моментов внешних сил (активных и реакций связей) относительно какой-либо точки пространства тозюдественно равна нулю в некотором интервале времени, то вектор кинетического моментпа системы, взятый относительно этой точки, остается в этом интервале постоянным: К=с, 387 5.1. Общее уравнение динамики системы что в проекциях на оси координат эквивалентно трем скалярным иервым интегралам.

Когда имеет место интеграл кинетического момента, то плоскость, перпендикулярная вектору К н проходящая через неподвижный центр приведения моментов, называется неиэмеяяемой плоскосгпью Лапласа. Построим нз какого-либо полюса, например начала координат, годограф переменного, вообще говоря, с течением времени вектора К. Коли главный момент внешних сил относительно оси е обращается в нуль, то мы будем иметь интеграл площадей К, = с„и рассматриваемый годограф будет кривой в плоскости, перпендикулярной вектору е. Когда суммарный момент внешних снл обращается в нуль относительно двух неколлинеарных осей е1 и ег, то мы будем иметь два интеграла площадей: Кг — — К е1 =си Кх=К ег=сх.

Характеристики

Список файлов книги