1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 71

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 71)

Тогда получим дК НК вЂ” = — +М,. д1 д1 Теперь осталось к системе Л постоянного состава с кинетическим моментом К применить теорему 5.1.5.П Следствие 5.3.4. В случае стационарного потока материальных точек через систему М получим аК/д1 = О. Поэтому момент сил, действующих на оболочку обеема Г, выраэкается формулой Мпь = М„+ М„. Смысл индексов такой лсе, как в теореме 5.3.с. П р и м е р 5.3.4. Рассмотрим ротор турбины (рис.

5.3.4). При равномерном вращении поток вещества через межлопаточные пространства будет стационарным. Изменение кинетического момента будет отсутствовать, что приведет к выполнению равенства М, = М('), которое определяет момент М1'1 внешних сил, приложенных к ротору. Вычислить дополнительный момент Мд, возникающий за счет протока вещества через внутренний объем турбины.

Р е ш е н и е. Предположим, что относительные скорости и1 потока материальных точек на входе в объем между лопатками и скорости иг 414 Глава 5. Динамика системы материальных точек При стационарном течении сквозь турбину векторы относительной скорости поступающего и убывающего вещества, проходящего через межлопаточные пространства системы, имеют постоянные, но различные величину, направление и начало. За счет этого возникает дополнительный момент, обеспечивающий требуемый режим вращения турбины.

Рнс. 5.3.4. Течение сквозь турбину на выходе иэ объема одинаковы каждая в любой точке всего входного и выходного сечений и составляют углы а1 и аг с радиусами-векторами, проведенными из центра рабочего диска турбины к серединам входного и выходного сечений. Векторы всех моментов направлены по одной и той же прямой, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку О. Поэтому будем принимать во внимание лишь скалярные величины моментов с учетом знаков. Очевидно, в соответствии с рисунком будем иметь М„= дг( — ег э1п аг + ыгг )гы Му = /~2( — вг 81п аг + ыгг)гг, где ы — угловая скорость вращения турбины, д1 и дг — приход и расход массы. Для стационарного потока р1 = дг = д.

Значит, дополнительный момент, действующий на одну секцию турбины, составит Мд = ~ — юггг з)п аг + из гг эгп аг + ы(г~~ — ггг)]. Пусть теперь ротор с числом лопаток и заторможен. Если поток стаци- онарен и одинаков во всех секциях турбины, то формула Мд — пй( — е1гг ып а г + еггг э1п аг) выражает суммарный момент, который задает начальное угловое ускорение ротора.

Получили турбинную формулу Эйлера. Из нее видно, что наибольшая отдача турбины достигается при углах а1 и аг, противоположных по знаку. Отметим, что в условиях задачи существует значение ы' угловой скорости, при котором дополнительный момент обращается в нуль: иг гг Ип а1 — еггг Ип аг ы" г 2 .О г — гг 415 5.3. Движение систем переменного состава Теорема 5.3.5. (Изменение кинетической энергии системы переменного состава). Пусть связи идеальны, а дифференциалы действительных перемещений всех материальных точек, образующих в данный момент времени рассматриваемую систему переменного состава, принадлежат множеству виртуальных перемещений.

Тогда кинетическая энергия Т системы переменного состава удовлетворяет уравнению где Є— все силы, приложенные к системе (как внутренние, так и внешние), ч„— скорости точек их приложения, Ил — дополнительнал мощность: возникающая в солги с изменением кинетической энергии из-за того, что некоторые материальные точки, суммарно имеющие кинетическую энергию Т„, прибывают в систему: дТ„ И'„= — ", Й ' а некоторые с суммарной кинетической энергией Ту удаляютсл из нее: дТу И = — ".

д1 ' Доказательство. Пусть М вЂ” система переменного состава с кинетической энергией Т, а Л вЂ” система постоянного состава с кинетической энергией Т, совпадающая в рассматриваемый момент времени 1 с системой М, так что Т!, =т1,. На момент 11 = 1+ Ь1 величины Т и Т можно связать соотношением Т~,, =т!1,+ а,т„-ьту, где Ь҄— кинетическая энергия материальных точек, поступивших в систему М за время б1, а ЬТу — кинетическая энергия точек, удалившихся из нее за это же время.

Ясно, что должно быть дТ дТ вЂ” = — + И'„— И', д1 д1 где дьТ„, 1з,Ту и 1, У ае-о Ы' " ае о Ы' Глава 5. Динамика системы материальных точек 416 Но система Л' есть система постоянного состава, и для нее выполнены условия теоремы 5.1.7.П Следствие 5.3.5. Если скорости всех попадающих в систему М материальных точек одинаковы по величине и равны ип, а скорости удаляющихся из обвема точек также одинаковы по величине и равны иу, то дополнительная мощность в такой системе переменного состава будет выражаться формулой а у о2 Игл = рп Йу 2 2' где р„— приход, ру — расход массы.

Если поток стационаренг р, = ру = р, то дополнительная мощность принимает вид И у П р и м е р 5.3.5. Рассмотрим систему переменного состава, соападающую с изученной а примере 5.3.3. В ней, очевидно, р = Яри, и дополнительная мощность дается формулой И; ( 2 2) Я 2 Р 2 2 2 Этот же результат а данном случае можно получить и непосредственно, умножив обе части уравнения, полученного а примере 5.3.3, на скорость о системы. Такое совпадение подтверждает принятую при подсчете дополнительной энергии гипотезу об идеальности саязей.О П р и м е р 5.3.6.

Тележка может двигаться горизонтально. На ней укреплена труба а форме прямого усеченного конуса, ось которого ориентирована вдоль направления движения тележки. Пусть а наибольшее сечение Я„ трубы с постоянной горизонтальной скоростью и относительно тележки перпендикулярно сечению подается вода. Вытекает вода через другое сечение Яу трубы. Считая воду несжимаемой жидкостью, найти уравнение движения тележки и мощность, необходимую для реализации такого движения. Р е ш е н и е. Имеем систему переменного состаза, масса которой остается постоянной. Направляющий вектор относительной скорости воды обозначим г. Пусть р — плотность воды. Очевидно, что р„= Я„ри и ру Яуриу.

Так как вода несжимаема, то Я„и = Яуиу. Далее оп = и+ о, еу = их + о, где о — скорость движения тележки. Следовательно, уравнение даиже- ния тележки а направлении г принимает аид до т 2 Я„ (т+ у'р) — = — Ядри ~ — — 1 д1 " 2,Яу 5А. Принцип Гаусса наименьшего принуждения где тп — масса тележки с трубой, а ИР— масса воды, заключенная в объеме трубы. Подведем теперь энергетический баланс. Слагаемые дополнительной мощности из-эа поступления и расхода массы принимают вид И и = Бери(и+ э) Ит = дери(и+ спи/Яу) 1 2 2 2 Дополнительная мощность вычисляется как разность И'а = и'и 14'т = ~~Рн Если правую и левую части уравнения движения тележки умножить на э, то получим — Ин — опРп — — 1 Из дополнительной мощности вычтем слагаемое, выражающее затраты на ускорение тележки: И, = И. — Ин„= --д„Рп з т и т Величина Игр определяет затраты энергии, необходимые для разгона частиц воды до скорости, при которой они покидают систему.

Следовательно, для реализации рассматриваемого движения нужен источник энергии, не указанный в условии задачи.О 2 5.4. Принцип Гаусса наименьшего принуждения Координаты и скорости точек системы в действительном движении тождественно удовлетворяют уравнениям связей Ф (гы...,ггг,чы...,чт,1) = О, у = 1,...,пт. Продифференцируем по времени эти уравнения: к дФ з дФ дФ, Когда в данном состоянии системы изменяются действующие на нее силы, то меняются ускорения материальных точек, а их координаты и скорости остаются фиксированными. Определение 5.4.1. Допуспти нььни называются такие ускорения, которые могут быть реализованы материальными точками системы в ее фиксированном состоянии при наложенных на нее связях, 27 — мез 418 Глава 5.

Динамика системы материальных точек если произвольно задавать действующие на систему активные силы. Действительныльи называются такие ускорения, которые возникают в системе при конкретных активных силах, вызывающих ее движение. Действительное ускорение всегда будет одним из допустимых. Определение 5.4.2. Выражение 1 1 А = — ~ — (т„и' — Г„)т, 2 т„ где щ„— допустимые ускорения системы, Ä— активные силы, т„ — массы материальных точек, называется иринуждением ио Гауссу. Теорема 5.4.1. (Принцип Гаусса наименьшего прииуисдеиия). Действительные ускорения ьч„, и = 1,..., У, системы материальных точен с идеальными связями доставляют минимум вринуждению во Гауссу: 1 1 2 — (т„ьч„— Г„) = ппп — ~~~ — (т„ьу„" — Г„)т. Доказательство. Действительные чв„и допустимые ьв'„ускорения точек удовлетворяют одной и той же системе уравнений: дФ дФ дФ.

~" дФ, Разности (чв„— че„') удовлетворяют системе уравнений, определяющей виртуальные перемещения: дФ. — (чв„— ьч„') = О, 1= 1,...,т. ду„ и=1 Значит, среди виртуальных перемещений найдутся пропорциональ- ные разностям ускорений дг„= е(щ„— и„"), и = 1,..., У. Применим принцип Даламбера-Лагранжа: их1 5А. Принцип Гаусса наименьшего принуждения 419 Обозначим тв„ = й'„/гп„ ускорения, которые возникли бы у точек, Е если их освободить от всех связей. Тогда получим Ф П2„(тт„— тег ) (тя„— И2"„) = О.

Выполним тождественное преобразование 1 (тв„— твк) (тв„— тв"„) = -[(тв„- и~)2 + (тг„— тг'„)2 — (тг'„— тгя)2[ 2 Обозначим и А ~ ( Г)2 и=1 и А = — 2 п2„(те„' — те~')2, Р=1 Из принципа Даламбера-Лагранжа следует и Ар — — — ~~~ гп„(тг„— тв')~. в=1 Ад - -А — Ар, г = г(в), где в — длина ее дуги.

Характеристики

Список файлов книги