1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Тогда координатам г и ~р соответствуют обобщенные силы Я„= бг сову+ Гта1п1о, Щ = г(-Гг а1пю+ Гэ сов ее). Первая из них есть проекция силы на радиус-вектор точки, а вторая есть момент силы Г относительно начала координат. Если вместо координат (г, 1о) ввести кааэикоординаты (г, и), где о — площадь, эаметаемая Пространство виртуальных перемещений определено этими формулами. Любой набор векторов (бг„, и = 1,..., Ж), полученный указанным способом, удовлетворяет системе уравнений, задающей виртуальные перемещения. Размерность и — т множества таких наборов совпадает с размерностью пространства виртуальных перемещений.
Пусть координатам оы...,о» соответствуют обобщенные силы Яы..., Я„(определение 4.7.3). Тогда выражение для элементарной работы сил примет вид 426 Глава 5. Динамика системы материальных точел радиусом-вектором при движении точки, то (см. пример 5.5.1) будем иметь дг д1о 2 до ' де Следовательно, С)„не изменится, а обобщенная сила С), примет вид 2 Я = -( — Гг з(п ~р + Гз соз у). г Исключить угол 1о с помощью сг здесь принципиально нельзя, так как между ними не существует конечного соотношения.О 2 5.6.
Уравнения Аппеля Пусть положения материальных точек динамической системы определены радиусами-векторами г„= г„(с1,1), и = 1,..., гч, где с1 = (дп..., д») — набор координат, однозначно выделяющих конфигурацию системы, причем и < ЗХ. Дифференциальные связи учтем с помощью соотношений (см. е' 5.5); Ч = Ч(й,..., 4», кг ..., к» т 1). Когда квазискорости кь задаются как произвольные скалярные величины, то мы получим значения скоростей уп.,., д„, совместимые со связями. Если же квазискорости заданы как произвольные функции времени кь = ка(1), то для определения движения системы, соответствующего этим функциям, следует проинтегрировать получающуюся из приведенных соотношений систему обыкновенных дифференциальных уравнений.
Определение 5.6.1. Уравнения Ч = ЧИп".,4,кп",к —,1) называются кииематическими уравнениями системы материальных точек. Эти уравнения обобщают кинематические уравнения (см. 1 2.15) в теории движения абсолютно твердого тела. Функции кь(1) определяются приложенными к системе активными силами. Соответствующие дифференциальные уравнения могут быть получены с помощью принципа Гаусса. 5.6. Уравнения Аппеля Определение 5.6.2. Пусть ти„суть ускорения точек системы. Функция Я 2 ги! называется энергией ускорений.
Энергия ускорений структурно аналогична кинетической энергии системы. Теорема 5.6.1. (Уравнения Аппеля). Квазиуснорения т» удовлетворяют системе уравнений дд — 5=1,...,п — т, дя» где Я» — обобщенная сила, работающая на изменении нвазиноорди- натм эг». Доказательство. Скорости и ускореняя точек системы, удовлетворяющие связям, выражаются равенствами ъ-~ дги . дгг сй дд! д! ' Ыи„" " дг„дд! „" " дг„ду! ., д1 ....
ду! дй» ''' „,, ду! дн» где многоточием обозначены члены, не содержащие квазиускорений й». Эти члены одинаковы для любого допустимого ускорения. Множество допустимых ускорений получается, когда коэффициенты й» выбираются произвольным образом. Принуждение по Гауссу (определение 5А.2) есть положительно определенный многочлен А второй степени по переменным я». Его минимум существует, единствен и может быть найден из условия дА — = О, !с = 1,..., п — т. дй» Функцию А представим в виде и !и А = — ~~~ т„(эг'„)' — ~ эг"„Е„+ .. иы! г=! По-прежнему многоточием обозначены члены, не зависящие от квази- ускорений и пропадающие при частном дифференцировании по ним.
Глава б. Динамика системы материальных точек 428 Первый член принуждения по Гауссу есть энергия ускорений. Про- дифференцируем по хь второй член; Следствие 5.6.1. «7лл того чтобы получить полный набор уравнений движения системы материальных точек, достаточно разрешить уравнения Аппеля относительно хаазиусхорений и к полученным обыкновенным дифференциальным уравнен ям добавить кииематические уравнения системы. При этом число уравнений составит 2п — т и будет равно сумме числа координат и хвазискоростей. Расчет энергии ускорений не всегда просто выполняется. Часто оказывается полезной теорема, аналогичная теореме Кеннга для расчета кинетической энергии.
Теорема 6.6.2. Энергия абсолютных ускорений системы связана с энергией ускорений относительно осей Кгнига (определение б.й.г) посредством соотношения Я = — Мтч,'+ Я', 1 где ж, — ускорение центра масс системы, Я' — энергия ускорений а осях Кенига. Доказательство. Радиусы-векторы точек системы имеют внд г„= г, + г'. Следовательно, тв„= ж, + г'„, тхг = их~~+ 2чг, г'„+ (г'„)г, Подставив этн выражения в формулу для Я и приняв во внимание, что М т„г„= О, их! убеждаемся в справедливости теоремы. С П р н м е р 5.6.1.
Составить уравнения движения точки массы т под действием активной силы Р. Движение точки стеснено дифференциальной связью г! = гзгг, где г = ггег+ггег+гзез радиус-вектор точки, а еы ег, ез — линейно независимые ортонормироввнные векторы. 6.6. Уравнения Аппеля 429 Р е ш е н и е, Воспользуемся уравнениями Аппеля.
Энергия ускорений имеет вид 1П "2 2П -2 -2 "2 1г1 + "2 + гз)' 2 2 Ускорения г1 и гз удовлетворяют условию Г1 = ГЗГ2+ ГЗГ2. Следовательно, 5 = 1' Гзг2 + гз1'2) + гз + гз), 2 -2 -2 2 Ускорения 12 и гз кинематически никак не связаны. Выпишем уравнения Аппеля дд — = гп)гз(гзг2 + гзгг) + гз! = Яг, д1'2 дд — = ГПГз = 1зз. дйз Работа активной силы Г на произвольном виртуальном перемещении выражается равенством А =- Г бг = Е1 6г1 + бзбг2 + Езбгз. Виртуальные перемещения удовлетворяют уравнению 6г1 — — гз 6г2.
Отсюда А = бб1гз + бг) бгг + Езбгз. Видим, что оБобщенные силы Яз и чз выражаются формулами Ог = 61 гз + Е2, Оз = оз. Полная система уравнений движения, состоящая из уравнений Аппеля и кинематического уравнения, запишется следующим образом: г 1 (1+ гз) гг+ гзгзгз = — (62гз+ бз), гз = — Гз, г1 —— гзгз. Первые два уравнения позволяют найти гз, гз. Третье уравнение определяет г1.0 П р и м е р 5.6.2. Две материальные точки М1 и Мз (рис.
5.6.1) одимаковой массы тп соединены стержнем длины 1 и пренебрежимо малой массы. Система может двигаться под действием силы тяжести только в Глава 5. Динамика системы материальных точек 430 Если начальная угловая скорость м -е О, то система не падает вниз под действием силы тяжести, Наличие конька в середине стержня заставляет ее, совершая вращательное движение около некоторого постоянного среднего уровня высоты, горизонтально дрейфовать в положительном направлении, если гг ) О, и в отрицательном, если уг < О. Рис.
5.6.1. К задаче о вертикальном скольжении вертикальной плоскости и только так, что скорость середины стержня направлена вдоль стержня. Определить движение точек Мг и Мг. Р е ш е н д е. Указанную в условии систему материальных точек опишем координатами з, 2 середины стержня и углом у, образованным отрезком МгМ2 с горизонтальной осью Оя.
Тогда координаты материальных точек Мг и Мг выразятся формулами 1 1 кг — — и — — 1совгг, аг = з+ — 1сов1е, 2 ' 2 1 1 гг = г — — 1в~п~р, 22 = г+ — !в1пчг. 2 ' 2 Запишем уравнение дифференциальной связи; сов уг в1 п 22 По теореме 5.6.2 энергия ускорений Я представляется следующим образом 1к~+ ~) 2п 1~ ..2 2п21~ .4 22424 + -г+ 4 Введем квазискорость и, положив к = т сов ~Р, г = и в!п уг.
Тогда Я=тз + — ф+..., "2 ГП~ "2 4 где многоточием обозначены члены, не содержащие ускорений. Определим обобщенные силы. С этой целью выпишем выражение для элементарной работы: А = — 2гпдбг = — 2гпдв1пмбк. 431 Б.б. Уравнения Аппеля Поэтому Д, = — 2пгдя)пзбг, Я„= О.
Уравнения Аппеля принимают вид з = -дя)пу, 12= О. Интегрируя, найдем где а и 13 — постоянные интегрирования. Следовательно, йг 1.. д — = — з = — — я1пр. Птг а а Поэтому з = — совр+ 7. д а Теперь можно найти координаты х и 2: д г 7 — = — х = -зсояц = — соя уг+ — саяр, Ду а а аг а Нг 1, 1,, д, у — = — г = — яя1п1е = — соя Ия!луг+ — я!п1е. г11р а а аг а Отсюда х = — уг+ ~ — + — соя 1е) яш 22+ е, д /7 у 2аг 1а 2аг 2 = ~ — + — соя уг) соя 1е + я. Г7 д 1а 2аг Учитывая, что уг = а1+12, получаем закон движения, зависящий от пяти произвольных постоянных а, )1, 7, 6, я. Формулы, выражающие закон х11), 2(1), справедливы, когда а ф О, т.е, когда система имеет ненулевую начальную скорость уг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
