1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 76
Текст из файла (страница 76)
444 Глава б. Динамика твердого тела 1. Поле скоростей точек твердого тела имеет винтовую структуру (см. " э2.13). 2. Когда размеры элемента материального объема малы по сравнению с его расстоянием до оси мгновенного винта, то скорости всех точек этого элемента мало отличаются друг от друга, и движение этого элемента близко к поступательному (теорема 2.14.2). 3. Исключение из правила п.2 составляют лишь элементы, пересечение которых с осью винта не пусто. Но при уменьшении размеров всех элементов сумма масс элементов, расположенных на оси винта, стремится к нулю и в пределе не влияет на результат суммирования. Рассмотрим некоторый элемент твердого тела, имеющий массу т„.
Обозначим его радиус-вектор в абсолютном репере г„, а в репере, жестко связанном с телом, — г'„. Радиус-вектор начала А подвижного репера, проведенный из точки О, обозначим гд. Все указанные векторы связаны равенством ! г„= гд + г„. По теореме 2.12.1 Эйлера о поле скоростей твердого тела заключаем, что скорость ч„любого элемента, не пересекающегося с осью вращения, может быть найдена, если даны поступательная скорость чд тела вместе с точкой А и вектор угловой скорости ал чь — чд + ш х г~ Векторы чд и ш можно задать по отношению как к абсолютному, так и к подвижному реперам.
Соответственно этому и основные динамические величины (количество движения Ц, кинетический момент К, кинетическая энергия Т) можно отнести и к абсолютному, и к подвижному реперам. Теорема 6.1.1. Количество двилсенил Я абсолютно твердого тела выраогсается формулой Се Мче = М(чд + ш х Гс) где г,= — уг гдт есть радиус-вектор центра масс тела относительно точки А, М вЂ” масса тела, г' — его обеем. Доказательство. Скорость центра масс системы материальных точек, составленной из элементов т„, выражается формулой ч ~ гг .ч ч, = — ~~т„ч„= — чд ~нг„+ы х ~~~ т,г'„ Мл.
М~ ели и=1 и=1 Глава 6. Динамика твердого тела где 1г — объем, занимаемый телом. Замечание 6.1.2. Обратившись к доказательству теоремы 5.2.4, найдем формулу, связывающую кинетический момент Ко, взятый относительно точки О, с кинетическим моментом К». Ко =гл х Ц+К Теорема 6.1.3. Кинетическая энергия Т абсолютно твердого тела выразесается формулой Т = -Мол + Мчл (!о х ге) + — 1ы !о, 1 г г 2 е где 1 — момент инерции относительно оси, параллельной вектору угловой скорости !о и проходящей через точку А.
Доказательство. Для системы материальных точек, состоящей из элементов т„, будем иметь а! Т = — ~т„ч„. ом! Подставив сюда значение скорости ч„, получим Ф гч !ч Т = — ~т„чл + ~' о!ока (!о х !'„) + -~~ тг(со х гд) огн 3=! г=! Согласно г 1.8 последнее слагаемое есть момент инерции рассматриваемой системы материальных точек относительно оси, параллельной вектору !о и проходящей через точку А, умноженный на квадрат угловой скорости. Переходя к пределу при тахт„ О, получим г требуемое утверждение. Сг Замечание 6.1.3. Если точка А совпадает с центром масс С тела, то формула для расчета кинетической энергии упрощается: Т= — Мо + — 1 !о. г 1 г с Следствие 6.1.1.
С использованием оператора инерции формула для расчета кинетической энергии принимает вид 1 1 Т = -Мол+ Мчл (!о х г )+ — со Лл!о. 2 с 447 6.1. Динамические характеристики твердого тела Доказательство. Возьмем единичный вектор е„,параллельный вектору угловой скорости ы. По определению оператора инерции Лл (см. й 1.8) момент инерции 1 относительно оси, проходящей через точку А и имеющей направляющий вектор е, выражается формулой 1х = ен Лл ен. Осталось подставить это выражение в формулу теоремы 6.1.3. П Следствие 6.1.2.
Сираведливм соотношения дТ дТ 8гад„Т = — = ей, йгад„Т = — = Кл. Другими словами, градиент кинетической энергии яо вектору чл скорости точки А равен количеству движения твердого тела, а градиент кинетической энергии ио вектаору ю угловой схорости равен хинетичесхому моменту тела относительно точки А. Доказательство получается дифференцированием выражения для кинетической энергии в следствии 6.1.1. Действительно, дТ вЂ” = Мчл + М(со х г',) = Мч, = О, дчл дТ вЂ” = М(г', х чл)+Ляса = Кл.П ды Следствие 6.1.3. Так как ио иеременным чл и со кинетическая энергия представляет собой квадратичную форму, то 2Т=чл.Я+и Кл. Компоненты угловой скорости в общем случае могут не быть производными по времени от каких-либо координат, определяющих угловое положение твердого тела относительно репера Ае1еэеэ.
Тогда эти компоненты следует рассматривать как квазискорости и указать их связь с производными по времени от выбранных угловых координат. Пусть, например, это будут углы Эйлера (см. ~ 2.15). Кинематические уравнения Эйлера можно представить в виде со = еч ф+ еаза+ ее д, где е„, ев, ев — единичные векторы осей, вдоль которых направлены угловые скорости собственного вращения, прецессии и нутации. Глава 6. Динамика твердого тела 448 Следствие 6.1.4. Частные производные от кинетической энергии по угловым скоростям собственного вращения, прецессии и нутации равны проекциям кинетического момента на соответствуюи1ие направления: дТ вЂ”,=Кл е„, др дТ = Кл ег„ дер ОТ вЂ”.
= Кл ев. дд Доказательство. дТ дТ Оео дТ ОТ Оие дТ ОТ дев ~Ф ды~Ф' Оу Оы ду' дд Осталось воспользоваться следствием 6.1.2 и разложением угловой скорости по направлениям элементарных поворотов.ег 3 6.2. Уравнения движения твердого тела М М О 14 = Р, и=1 где у' — сумма всех сил, действующих на тело, исключая реакции внутренних связей самого тела. Первое векторное уравнение выражает изменение количества движения Ч тела и определяет поступательное движение тела вместе с Абсолютно твердое тело, не стесненное связями, имеет шесть степеней свободы, поскольку возможны поступательные перемещения тела вместе с точкой А по любым трем независимым направлениям в пространстве и, кроме того, возможны произвольные вращения твердого тела вокруг точки А, принадлежащие группе ЯО(3) (см. з 2.4). Таким образом, имеется ровно шесть независимых параметров, определяющих пространство допустимых скоростей точек тела.
Для этих параметров (квазискоростей) можно составить шесть уравнений динамики в форме уравнений Аппеля (см. з 5.6). Вместе с тем отметим, что и общие теоремы динамики об изменении количества движения (теорема 5.1.3) и об изменении кинетического момента (теорема 5.1.5) также дают шесть дифференциальных уравнений движения. Для простоты изложения воспользуемся этими теоремами.
В системе уравнений движения выделяются две группы: три уравнения поступательного движения тела вместе с точкой А и три уравнения движения тела вокруг точки А. Если рассматривать кинетический момент тела относительно неподвижной точки О, то указанные группы уравнений движения примут вид 449 6.2. Уравнения движения твердого тела точкой А. Оно эквивалентно трем скалярным уравнениям в проекциях на направления базисных векторов.
Часто бывает удобнее рассматривать кинетический момент относительно подвижной точки А, и тогда по теореме 5.2.4 имеем уравнения движения ч = Р, КА + чА х (~ = ~к~ гр х Ре. Если в качестве базисного принять репер Ае',е~вев, жестко связанный с телом, то по теореме 2.16.1 об относительной производной найдем Й~ НКА — + ы х Ц = Г, — + ш х Кл + чл х (3 = ~~~ г'„х Е„. Й й Мы можем воспользоваться также следствием 6.1.2 и предатавить уравнения движения в следующем виде: д ~ дт ~ дт 6 ~дт'~ дт дт ~~-, +щх Р +щх +ил х г хат.
й',,дчр,) дчд ' с11 1,дсв) дш дчл Чтобы определить закон движения, систему уравнений, составленную с помощью теорем об изменении количества движения и кинетического момента, необходимо дополнить кинематическими уравнениями. Например, это могут быть уравнения, связывающие радиус- вектор точки А и ее скорость, и уравнения Эйлера; англ Й вЂ” = чл, ы = е„у+ ее 6 + ев д, где векторы еч, ев, ев даются выражениями (см.
" э2.15) еч = ез еч = е~~ в1п д в1 п у + ет в1п д сов у + е~з сов д, ев = е', сову — еэ~вшу. Кинематические уравнения Эйлера следует разрешить относительно производных от угловых координат. Выполнив это, получим у = —, (ь> е131п у+ ы овсову), 1 вьп д вэ - мн1 Глава б. Динамика твердого тела 450 Такие уравнения ие всегда удобны из-за их вырождения при д = О. Свободны от вырождения кипематические уравнения Пуассона, выражающие неподвижность направляющих векторов абсолютного базиса ем ег ез (см. г 2.15): грег — = — огхе;, 4=1,2,3.
й Имеем девять дифференциальных уравнений в проекциях на оси репера, связанного с телом, т.е. значительно больше, чем это было необходимо для получения закона движения при использовании углов Эйлера. Уравнения Пуассона структурно просты, единообразны и включают только операции типа умножения и сложения'. Другая группа свободных от вырождения кинематических уравнений получается с помощью кватерпиопов (см.
1 2.15): Ь ю Ьп о Ь/2 = Ь о Ь,„/2. Отсюда находим четыре скалярных действительных уравнения. Эти уравнения столь же просты, как и уравнения Пуассопаг. Каждый тип системы кинематических уравнений имеет свои достоинства и недостатки. Удобство использования того или иного типа зависит от специфики конкретной задачи. Соответствующие примеры будут рассмотрены в дальнейшем. В некоторых случаях удобно выражать кинетическую энергию ие с помощью квазикоордииат, а непосредственно через производные от координат по времени. Тогда уравнения движения можно привести к специальной стандартной форме. Для конкретности обратимся к угловым координатам Эйлера у, гр, д. В этом случае имеем шесть координат, задающих положение тела в пространстве (лаграпжевых координат, однозначно определяющих конфигурацию системы): Ч вЂ” 1Чг, Чг Чз, Ч4,Чь Че) = (глг,тлю глз 1р гу гг) где первые три координаты суть коэффициенты разложения радиуса-вектора точки А по векторам ег, ег, ез абсолютного репера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
