1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Сначала умножим уравнение изменения количества движения иа единичные векторы е;: И /дТ1 е; — 1 — ) же,.в, 4=1,2,3. г'111а,)= '' ' гПри численном ннтегрированни уравнений Пуассона накопление вмчислительных погрешностей нарушает взаимную ортогоиальность базисных векторов, и онк перестают быть единичными. В уравнениях для кватернионов из-за численных ошибок может нарушаться лишь обязательное требование единичной нормы кватерниона. 451 6.2. Уравнения движения твердого тела Символ Н/й означает вычисление абсолютной скорости конца вектора.
Так как векторы е; постоянны, то их можно внести под знак дифференцирования; И ( дТ'1 — ~е, — ) =е; Г, 1=1,2,3. дчА В итоге получаем следующие уравнения; — — = Гь 1= 1,2,3. Рассмотрим теперь скалярное произвепение уравнения изменения ки- нетического момента на вектор е„: е„— — +еч ых — +е, чд х — =М„, где для краткости обозначено ,ч М„= еч ~ г'„х %'„. и=1 Вектор еч совпадает с еэ. Поэтому Н вЂ” еч = О. й Учтем это и, кроме того, воспользуемся свойствами смешанного про- изведения: Й /дТ '1 дТ дТ вЂ” — е„~ — — 1ы х еч) — — (чл х е„) = М, . й 1,ды ,~ ды дчл Можно проверить, что в репере, связанном с телом, справедливы вы- ражения ды ды дчя еч- — —,, ыхеч — — —, чл хе,= —. др' дно' ду ' Следовательно, будет верным соотношение Н (дТ ды') дТ ды дТ дчл й ~,ды дк1/ ды ду дчл д~р или более кратко Глава б.
Динамика твердого тела 452 Аналогично рассмотрим уравнение ее. — — +ее ы х — +ее ид х — = Ме, где У Ме =ее ~ г„хУ„. егы Или д /дТ ~ дТ (Й дт — — ее( — — — ед + ы х ее — — (тд х ее) = Ме. ж~д ' ( д ~а дтд Справедливы формулы дТ дТ Й ды дкд — еа = —., — еа + ы х еа = — = О, тд х еа = —, ды дф' Й д~ д~ ' с учетом которых проекция уравнения изменения кинетического мо- мента на направление еа принимает вид Спроектируем теперь уравнение изменения кинетического момента на направление еа: е1 — — +ее ы х — +ее. тд х — = Ма, где и Ма = ее ~ ~г„х г'„.
Отсюда дТ вЂ” — ее( — — — ее+а х еа — — (гд х ее) = Ма. й ~,ды ( ды ~й дид Можно убедиться, что дТ дТ Й ды дтд — еа = —., — еа + ы х ее = еЕ х ее ф = —, чд х ев = —. до дд' й дд' дд ' 6.3. Движение твердого тела вокруг неподвижной оси 453 Поэтому проекция уравнения изменения кинетическою момента иа направление ео представляется в виде Таким образом, мы нашли шесть уравнений движения, которые име- ют совершенно одинаковую запись: — — — — = ©, 1= 1,...,6.
Обобщенные силы Щ (определеиие 4Л.З) выражаются формулами ф =à — =à —, 1=1,2,3, дгл дгд до! дгя!' Щ = Мо = е, ~ г'„х Г„= ~ У„. (е„х г'„) = ~ Р„ и=1 и=1 ииц Ф Х Да=Ма =ее ~ ~г'„хГи=~ Г и=1 и=1 дг, 1вв — — Мо = ео ~~' г'„х Г„= ~ ~и'„ дд ' и=1 и=1 Полученная система уравнений движения носит название системы уравнеиий Лагрвижа второго рода. В дальнейшем будет показано, что к такой форме приводятся дифференциальные уравнения для лаграижевых координат произвольной голоиомиой системы материальных точек.
В случае движения абсолютно твердого тела первые три обобшеииые силы имеют смысл проекций суммарной силы иа оси абсолютного репера, а последние три — моментов сил относительно осей ео,ео, ев соответственно. 3 6.3. Движение твердого тела вокруг неподвижной оси Пусть две точки А и А' твердого тела закреплены иеподвижио в абсолютном пространстве. Прямая АА', определеииая единичным вектором е~з, остается неподвижной во все время движения по отиошеиию как к самому твердому телу, так и к абсолютному реперу. Глава 6. Динамика твердого тела 454 Угловая скорость ы направлена вдоль оси АА', так что ь2 = ь1е~~.
В точке А назначим два других связанных с телом единичных базисных вектора е',, е2 так, чтобы они были перпендикулярны друг к другу, к вектору е~з и образовывали правую тройку. Оператор инерции Лд в репере Ае',езез представим постоянной матрицей Л11 Лы Л12 ЛА = Л21 Л22 Л23 Л21 Лзг Лзз Чтобы воспользоваться уравнениями движения, полученными в 2 6.2, освободим твердое тело от связей, введя реакции В. и В.' неподвижной оси в точках А и А' соответственно, препятствующие смещению этих точек.
Радиус-вектор точки А' обозначим Ф / г =аез, где а — расстояние между точками А и А'. В соответствии с определением 5.1.1 количество движения тела запишем в виде (Л = Мт„ где ч, — скорость центра масс С, выражаемая равенством ч, = а1 х г', = ь1(ез х г',). Центр масс совпадает с некоторой точкой, фиксированной в твердом теле и имеющей радиус-вектор г', с началом в точке А. Поэтому для вычисления абсолютного ускорения центра масс можно воспользоваться теоремой 2.16.3 Ривальса: й — т, = ф(е' х г',)+мз[е' х(е' х г',)] = ф(ез х г',)+м~[ез(ез г',) — г,]. Чтобы найти кинетический момент тела, применим оператор инерции Лл к вектору угловой скорости ы. Тогда получим Кл = Ллщ = ы(Л1зе1+ 12зез+ Лззез) Векторное произвецение ы х Кл примет вид ь1 х Кл = ы (Л1заз " е1+ Лгз аз х ез) = ы2(Л1зез — Лазе',). Рассмотрим проекции уравнений количества движения и кинетиче- ского момента на базисные векторы е',, ез, ез: е; '— =е,' (Г+Е+Е), 1= 1,2,3, 6.3.
Движение твердого тела вокруг неподвижной осп 455 е'; — Кс + ьс х Кл = е; '(М + г' х В.'), 1 = 1, 2, 3, где Ю М = ~г'„х Г„ с=1 есть суммарный момент относительно точки А всех активных сил, приложенных к телу. Воспользовавшись разложением / / I Гс — Гс1 Е1 + Гс2 Ег + Гсз ЕЗ и выполнив необходимые операции, получим шесть уравнений дви- жения твердого тела вокруг неподвижной оси: (' ~с2+ ~сс сс1)М ~1 + В1 + В1 (ьсгс1 — снггег) М = гг + В2 + В2, 0 = гз + Вз + Вз ф,112 — ьсгУгз = М1 — аВ2, ь1 1гз + ы с12 = Мг + аВ'„ ьсУзз = Мз Чтобы определить закон движения, к этим уравнениям следует до- бавить кинематическое уравнение (см.
2 2.12) выражающее связь между углом а поворота тела вокруг оси и величиной его угловой скорости. Проанализируем полученную систему дифференциальных уравнений. В ней два уравнения Иа — = Ссl, 111 ьсззз = Мз В1, Вг, В',, В~г при заданных начальных условиях полностью определяют закон а(1) движения твердого тела.
Уравнение, выражающее угловое ускорение, есть следствие теоремы 5.1.4 и потому не содержит неизвестных реакций в точках А и А' закрепления оси. Остальные пять уравнений служат для вычисления реакций Е и В.'. Однако видно, что полный набор всех составляющих реакций найти невозможно. Составляю1цие Вз и Вз вместе препятствуют поступательному перемещению тела вдоль направления ез, и их нельзя определить по отдельности, а можно найти лишь их сумму. Относительно поиска этих реакций имеем статически неопределимую задачу. Остальные составляющие Глава б.
Динамика твердого тела 456 вычисляются однозначно, так как левые части соответствующих уравнений движения представляют собой известные функции времени, когда найдена зависимость ы = ы(1). Теорема 6.3.1. Если ось вращения служит главной и центральной осью инерции тела, то уравнения для определения реакций Вг, Вз, В', Вз совпадают с уравнениями, получающилеися из условий равновесил твердого тела. Доказательство.
Поскольку ось вращения есть главная ось инерции, то вектор ез (см. 1 1.9) должен быть собственным для оператора инерции Лл, а значит, должно быть У~з = дзз = О. Так как ось центральная, то г',, = г',з = О. Система, составленная из первых двух, четвертого и пятого уравнений движения, примет вид Р1 + Вь + В', = О, Ме — аВз — — О, Ез+ Вг+ Вз —— О, Мг+ аВ1 = О.
Выпишем уравнения равновесия твердого тела (см, теорему 4.8.1): Р + В. + В.' = О, М + г' х В,' = О. Осталось умножить скалярно зти уравнения на векторы е', и ез.П Следствие 6.3.1. Если неподвижная ось тела служит главной и центральной осью инерции, а внешние силы отсутствуют, то при вращении тела реакции й и 1ь' в точках закрепления оси не возникают. Такие оси называются свободными (естественными) осями вращения.
Следствие 6.3.1 дает необходимый и достаточный признак свободной оси. Следствие 6.3.2. Если неподвижная ось тела служит главной осью инерции, а внешние силы отсутствуют, то при вращении тела вокруг этой оси не вознихает реакция В! в точке А'. Оси, вращение вокруг которых при отсутствии внешних сил не вызывает появления реакции одной из закрепленных точек, называются постоянными (перманентными) осями вращения. Очевидно, что свободные оси будут также и постоянными осями.
6.4. Физический маятник 457 '6 6.4. Физический маятник Физическам маятником называют тяжелое твердое тело, которое может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. Действие параллельного поля тяжести приводится к равнодействующей, проходящей через центр масс тела (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
