1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 74
Текст из файла (страница 74)
В этом случае зависимость х(1е) содержит член, линейный по у. Ия-за него центр масс "дрейфует" вдоль оси Ох, По вертикали центр масс колеблется около некоторого постоянного среднего значения координаты я. Вся система, не теряя среднего уровня высоты, смещается в горизонтальном направлении вправо или влево в зависимости от знака угловой скорости а. Если а = О, то угол у сохраняет постоянное значение, и система скользит вдоль наклонной прямой с угловым коэффициентом пг/их = 1д Д. При этом можно воспользоваться теорией движения вдоль наклонной плоскости. Квазискорость я имеет смысл модуля скорости центра масс.О Глава 5.
Динамика системы материальных точек 432 3 5.7. Общее уравнение теории удара Рассмотрим систему материальных точек с массами т„и радиусами-векторами г„. Движения точек стеснены связями. По аксиоме об освобождении от связей последние можно заменить реакциями, действующими на точки системы. Пусть В, означает вектор удара, получающегося как предел импульса реакции (см. ~ 3.15). Уравнения удара для каждой точки можно записать в виде !1(т„ч„) = Р„+ В.„, где Є— удары активных сил. Следуя Лагранжу, введем понятие связей, идеальных при ударе. Определение 5.7.1. Связи называются идеальными при ударе, если сумма работ ударов реакций связей на любом виртуальном перемещении системы, обусловленном связями, существующими во время удара, равна нулю, то есть !ч В,„дг„= О. Теорема 5.7.1.
Приращения Ь(т„ч„) количеств двизюения материальных точек системы, подчиненных идеальным при ударе связям, отвечают активным ударам Р„тогда и только тогда, когда выполнено общее уравнение теории удара [Ь(т„ч„) — Р„1 . бг„= О для любого виртуального перемещения системы, определенного свя- зями, существующими во время удара. Доказательство. Необходимость. Пусть приращения количеств движения точек системы вызваны активными ударами Р„. Это значит, что для каждой точки справедливо уравнение Ь(т„ч„) = Р„+ В,„. Выразив отсюда удары реакций связей и подставив их значения в условие идеальности связей, получим, что для реальных приращений количеств движения справедливо общее уравнение теории удара.
Достаточность. Пусть общее уравнение теории удара выполнено. Тогда оно выделяет единственные значения приращений количеств движения точек системы. Это доказывается аналогично теореме 5.1.1 по методу неопределенных множителей Лагранжа С! 433 5. 7. Общее уравнение теории удара Отметим, что при ударе связи могут как сохраняться, так и не сохраняться. Связь называется сохраняющейся, если она существует во время удара и сохраняется после удара. Связь называется несохраняющейся, если она существует во время удара, но исчезает сразу после удара.
Тогда множество виртуальных перемещений, имеющее место после удара, будет отличаться от множества виртуальных перемещений, которое существовало во время удара. Основные теоремы теории удара касаются изменения количества движения системы, ее кинетического момента и кинетической знергии. Теорема 5.7.2. Если среди виртуальных перемещений системы с идеальными связями, существующими во время удара, имеется поступательное перемещение вдоль некоторого направления е, то приращение проекции количества дв экения на зто направление равно сумме проекций на то же направление ахтивных ударов, приложенных к точкам системы: К Ф е ЬЯ=е ~ Рь, ч»= У течь г=е Доказательство.
По условию теоремы к множеству виртуальных относится перемещение Бг„=ае, офО, о=1,...,У. Подставив его в общее уравнение теории удара, найдем ое. 7 [Ь[т„и„) — Р„) = О. Так как о ф О, то после очевидных преобразований получаем требу- емое утверждение.0 Следствие 5.7.1. Если связи допускают поступательное виртуальное перемещение системы вдоль любого направления, то приращение из-за удара ее количества двизюения равно сумме ударов активных сил: М Приращение количества движения можно интерпретировать как произведение суммарной массы и приращения скорости центра масс системы: М ~.'ьЯ = М~ч„М = ~~~ т„. е=г 2г- м03 Глава 5.
Динамика системы материальных точек 434 Следствие 5.7.2. Если актионме удары отсутствуют, то приращение скорости центра масс системы равно нулю. П р и м е р 5.7.1. Пусть кусок глины массы т1, двигаясь горизонтально и поступательно со скоростью и1, сталкивается и слипается с куском глины массы тг, движущимся вертикально и поступательно со скоростью иг (рис.
5.7.1). Найти скорость центра масс куска глины, получившегося в результате слипания. При отсутствии внешних ударов скорости центра масс кусков глины до столкновения и после столкновения совпадают. Скорость центра масс как до, тзк и после удара, равна отношению суммы количеств движения этих кусков к сумме их масс. В результате удара кинетиг ческая энергия системы уменьшится за счет работы внутренних сил. х 0 Рис. 5.7.1. Сохранение скорости центра масс нри ударе Р е ш е н и е. Внешние удары отсутствуют. Скорости центра масс системы и, до удара и после удара совпадают. Следовательно, искомая скорость равна т1и1 + тгуг ие = п11 + тпг а ее модуль выражается формулой 1 ое— т1о1 + т2и2 2 2 2 2 т1+ глг Получившийся после удара кусок глины не обязательно должен двигаться поступательно.О Теорема 5.7.3.
Если среди аиртуальнмх перемещений системы с идеальными существующими ао время удара связями имеется дифференциал аращен я вокруг некоторого папрааления е, то приращение кинетического момента системы оптосительно оси с направлением е равно сумме моментов активных ударов относительно этой оси: е ЬК ел е ~ц~ г„х Р„. и=1 5.7. Общее уравнение теории удара 435 Доказательство. Виртуальные перемещения, соответствующие дифференциалу вращения вокруг направления е, выражаются формулой бг„=снехг„, офО, и=1,...,У. Подставляя эти значения в общее уравнение теории удара, найдем [Нз(т,и„) — Р„] (е х г„) = О.
в=1 Пользуясь свойствами смешанного произведения, получим е ~~~ [г„х сн(т„и„) — г„х Р„] = О. к=1 Так как при ударе радиусы-векторы точек системы не изменяются, то г, можно ввести под знак прира1цения 21 .0 Следствие 5Л.З. Если связи допускают дифференциал вращения вокруг любого направления, то приращение вектора кинетического момента из-за удара равно сумме моментов активных ударов: 1Е АК=~ ~г„хР„. и=1 Перейдем к теоремам об изменении кинетической энергии при ударе. Пусть помимо активных ударов Р„к системе внезапно приложены дополнительные идеальные связи. Эти связи могут быть как дифференциальными, так и геометрическими, приведенными к дифференциальной форме. Обозначим С' множество допустимых скоростей системы с дополнительными связями, а С вЂ” множество допустимых скоростей до удара.
Так как при ударе исходная система связей сохраняется и к ней только добавляются новые связи, то С' С С. Обозначим и„б С скорость о-й точки до удара. Разложим и„на две составляющие; и„= а„+ Ь„, потребовав, чтобы Ь„б С', а„.1 С'. Таким образом, ܄— составляющая скорости, принадлежащая множеству допустимых скоростей С системы с дополнительными связями, а„— ортогональная соста- Н вляюшая к этому множеству (в евклидовой метрике). Аналогично обозначим и~ = а~„+ Ъ~„ 2Н' Глава 5. Динамика системы материальных точек 436 скорость той же точки после удара, причем Ь'„ б С',а'„ ~ С'. Вновь наложенные связи могут быть как упругими, так и абсолютно неупругими.
Если они абсолютно неупругие, то а'„ = О. Такие связи могут быть удерживающими и сохраняться после удара. Если же они упругие, то для них будем предполагать выполненной гипотезу Ньютона, которая в рассматриваемом случае приводит к равенствам где ге — коэффициент восстановления (см. з 3.15). Примем его одинаковым для всех точек системы. Другими словами, будучи идеальными, вновь наложенные связи не изменяют составляющую скорости, принадлежащую множеству С'. Изменяется только ортогональная к С' составляющая скорости.
В соответствии с гипотезой Ньютона будем иметь ч'„+ ге ч„= (1 + ге)Ь б С . Тем самым сумма скорости ч„'произвольной точки системы после удара и скорости той же точки до удара, умноженной на коэффициент восстановления, принадлежит множеству допустимых скоростей с дополнительными связями. Теорема 5.Т.4 (Карнб). Пусть к системе материальных точек с идеальными связями внезапно приложены активные удары Р„ и идеальные при ударе упругие связи, так что вновь полученная система связей сохраняется при ударе, включает действительное перемещение в множество виртуальных и обладает коэффициентом восстановления ге.
Тогда изменение кинетической энергии системы из-за удара вмражается формулой М ,и Т - Т' = " "> ' "~ ч") - ~ Р„Ь„ 1+щ, 2 где Т, Т' — кинетическая энергия системы соответственно до и после удара, егч„= ч'„— ч, — скорость, потерянная и-й точкой при ударе. Доказательство. Так как исходная система связей вместе с добавившимися позволяет включить действительное перемещение в множество виртуальных (определение 4.6.2), то мы можем принять бг„= о(ч'„+ геч,), о ф О. 5.7. Общее уравнение теории удара Из общего уравнения теории удара получим 437 1Ь(т„ч„) — Р„) .
(ч'„+ печи) = 0 и=1 или ти(чи — ч„) (ч'„+ се чи) (1+ т) Р„Ь„. и=1 и=1 Сделаем преобразование — (»и — ч'„) + — чи + — чи. 1, 1, 1 чи = — (чи — ч,) + — ч', + — ч„, чи 2 " ' 2 ' 2 Поэтому гпи(ч'„— чи) ч'„= — ~~! т,(беч„) +Т' — Т, 2 и=! ин1 ти(ч'„— чи) чи = — — ~~! ти(Ьчи) + Т' — Т ин1 ин1 Отсюда !» и! т,(ч'„— чи) (ч'„+сечи) = (1+ее)(Т'-Т)+(1 — ее)- ~ т„(Ьч„) .0 и=1 ин1 Следствие 5.7.4. Пусть активные удары не действуют: Ри ес О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
