1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 78
Текст из файла (страница 78)
1 1.7) н равной весу тела. Положение физического маятника будем определять углом а между вертикалью и плоскостью, проходящей через ось вращения и центр масс. Момент инерции тела относительно оси вращения обозначим ,7зз, массу тела — буквой М. Определение 6.4.1. Радяусом инерции тела относительна оси, заданной направлением е, называется неотрицательная скалярная величина к, удовлетворяющая равенству 7„, = Мк~, где 1, момент инерции тела относительно этой оси. Как и в 1 6.3, начало отсчета А подвижного репера расположим на оси вращения.
Базисные векторы примем следующими: е~з направим вдоль оси вращения, е', — так, чтобы плоскость векторов е1, е~з содержала центр масс тела, е~ — так, чтобы она дополняла базисные векторы до правой тройки (рис. 6.4.1). Физический маятник со ! з О А' вершает плоскопараллельное движение вокруг неподвижной горизонтальной оси АА'. На рисунке показан срез маятника плоскостью, проходящей через его центр масс С перпендикулярно к оси вращения. Движение маятника определяется углом а, образованным прямой ОС с вертикальной плоскостью.
Рис. 6.4.1. Физический маятник Радиус-вектор центра масс будет иметь следующее разложение по ортам подвижного репера: = 1 е1 + г ез, / / где 1 — расстояние от центра масс до оси вращения, х — смещение центра масс вдоль оси вращения относительно точки А. 458 Глава б. Динамика твердого тела Вектор силы тяжести Р, будучи направлен по вертикали, сохраняет неизменную ориентацию в пространстве. Когда оси репера, связанного с телом, повернуты относительно вертикали на угол а, то Р = Мд(ег сов о — ег в)по). Следовательно, момент силы тяжести относительно оси е~з дается вы- ражением Мз = ез (г', х Р) = Р (ез х г',) = Р . ((ез х е~ ) = 1Р е~г — — — Мд(в(п а. Учтем, что ю = а, и выберем радиус инерции тела так, чтобы дзз = М!сг. Изменение кинетического момента относительно оси ез описывается соотношением дго д1 — = — — в(п о. д!г ьг Это и есть уравнение.
движения физического маятника. Определение 6.4.2. Величина 1' = хг/1 называется приведенной длиной физического маятника. Точка О', расположенная на перпендикуляре к оси вращения, проходящем через центр масс, на расстоянии 1' по ту же сторону от оси, что и центр масс, называется центром качания. Точка О пересечения перпендикуляра с осью вращения называется точкой подвеса. Следствие 6.4.1. Уравнение колебаний физичесхого маятника совпадает с уравнением холебаний математического маятника (определение З.д.Ц вся масса которого сосредоточена в центре качания. Теория движения математического маятника может быть полностью применена к анализу движения физического маятника.
Следствие 6.4.2. Точка подвеси и центр качания расположены по разные стороны от центра масс твердого тела, причем 1' = 1+ рг/1, где р есть центральный радиус инерции. Доказательство. Пусть момент инерции тела относительно оси, параллельной оси вращения и проходящей через центр масс, равен Мрг. По теореме 1.10.2 Гюйгенса-Штейнера найдем Мог- МР2+ М!2 Подставив найденное значение !е в формулу для 1', получим 1е 1+ 2/1 ~ 1 С1 6А. Физический маятник 459 Следствие 6.4.3. Ках видно из формулы 1' = 1+ рг/1, при уменьшении 1 до значения р период г малых колебаний маятниха уменьшается вместе с 1: т = 2т — = 2х — !+в а при дальнейшем уменьшении (1 ( р) период начинает увеличи- ваться. Теорема 6.4.1. (Гюйгенс).
Точка подвеса физического маятника и центр качания суть точки взаимные. Если центр качания принять за точку подееса, то прелснля точка подвеса будет центром качания. Период колебаний л1аятниха при этом не изменится. Доказательство. Если центр качания принять за новую точку подвеса, то расстояние от этой точки до центра масс станет равным 1' — 1, а приведенная длина Р тогда вычислится по формуле Рассмотрим задачу об определении реакций в точках А н А' закрепления физического маятника. Сначала вычислим составляющие момента силы тяжести в репере Ае',езез. М1 = е', (г', х Р) = Р (е', х г',) = сР (е', х е~з) = -зР ез = гМд в!и а, Мг = ез (г', х Р) = Р (ез х г',) = Р ( — 1ез+ зе',) = гМд сова. Отметим, что уравнение колебаний физического маятника допускает интеграл энергии а~ д сов а а~ д1 сов а Ь йг где й — постоянная, зависящая от начальных условий.
Этот интеграл позволяет вычислить значение угловой скорости по известному углу а поворота маятника. Глава 6. Динамика твердого тела 460 Выпишем теперь уравнения движения, содержащие искомые реакции 1см. з 6.3): г' 2 11 Лг + Я' = — 1М ~2Ь+ ~ — + — ) д сова /1 11 Вз + К = 1Мд ! - — — з1п о, !) 1 ! ГУгз / дсозот Вз = — ~~ — +зМ) да!па+ 2 ~1г+ ) узз а~~ р ) ) 1 1г'2дгз дз1п а В' = — ~~ — — зМ) д сов а+ 2Ыгз — — 1гз а~~, 1' ) !г гсз+ ьз = О. В частности, если плоскость Аегез есть плоскость симметрии маятника, то ось вращения будет главной осью инерции. Значит, тогда .1ш = Ззз = О, а кроме того, з = О.
В итоге л2-Я1 =О, и ось вращения маятника будет перманентной осью. Приведем несколько примеров практического применения физического маятника. П р и м е р 6.4.1. Маятниковые часы. Как уже отмечалось выше, период малых колебаний маятника выражается формулой т = 2т — = 2т — 1+— Регулировка хода часов с таким маятником посредством изменения расстояния 1 между центром масс и точкой подвеса имеет ограниченные возможности, так как справедливо неравенство 1ь Видим, что при необходимости диапазон регулировки периода колебаний маятника (а следовательно, точности хода часов) может быть расширен посредством уменьшения центрального радиуса инерции р маятника. О 6 4.
Физический маятник 461 П р и м е р 6.4.2. Определение ускорения д свободного падения. Ускорение свободного падения можно определить, зная период г колеБаний. Мы будем предполагать, что измерение времени производится с требуемой точностью. Для малых колебаний маятника найдем 4к дзз М!и В этой формуле момент инерции ззз и расстояние от точки подвеса маятника до его центра масс с трудом поддаются непосредственному измерению. Чтобы обойти зту трудность, применяют оборотный маятник. Оборотный маятник имеет две призмы, острые ребра которых обращены друг к другу, а прямая, их соединяющая, есть ось симметрии и, следовательно, содержит центр масс.
Маятник заставляют поочередно качаться на этих ребрах, а перемещением дополнительных грузов достигают того, чтобы периоды малых колебаний маятника совпали. Тогда по теореме Гюйгенса расстояние между ребрами, которое можно очень точно измерить, и Будет равно длине !' эквивалентного математического маятника. Отсюда 4яг!' д = —.О г П р и м е р 6.4.3. Определение момента инерции тела относительно какой-либо оси. Заставляя качаться тело вокруг горизонтальной оси и наблюдая период его колебаний, можно найти момент инерции дзз по формуле Мд!гг ззз = 4я где расстояние ! известно не вполне надежно.
Чтобы обойти эту трудность, возьмем какое-нибудь другое тело с массой М', которое поместим так, чтоБы его центр масс находился точно на оси вращения тела М. ПУсть дз33 момент инеРции тела М'. ВеличинУ ззз можно весьма точно вычислить, если телу М' придать простую геометрическую форму. Например, можно взять две равные цилиндрические гири, поместив их на одинаковых расстояниях от оси вращения. ОБозначим а' расстояние от центра масс составного тела М + М' до оси вращения. Тогда М! М+М' Откуда (М+ М') а' = М!. Предположим, что, закрепив тело М' вместе с телом М на оси вращения, мы получим период колебаний г'.
Так как момент инерции массы М + М' относительно неподвижной оси равен дзз+,7зз, то должно быть !М+ М')а'д!г')г М!д!г')г ззз+ дзз— 4кг 4яг Глава б. Динамика твердого тела 462 Следовательно, справедлива пропорция ззэ+ 1ЗЗ 1Г) ззз гэ или т2 —,7! В итоге в правой части полученной формулы остались только известные величины и величины, поддающиеся точному измерению.О 2 6.5. Задача о центре удара Рассмотрим твердое тело, которое может свободно вращаться вокруг неподвижной оси с направляющим вектором е~э, закрепленной в точках А и А', расстояние между которыми равно а.
Предположим, что в начальный момент времени тело находится в покое. Пусть к точке В тела, имеющей радиус-вектор гв по отношению к точке А, приложен удар Р, направленный по касательной к окружное~и, которую может описывать точка В при вращении тела вокруг оси, так что Р й ез х гв. Для простоты изучим случай, когда центр масс тела, определенный радиусом-вектором г„принадлежит плоскости, проходящей через точку В и ось вращения. В этой же плоскости выберем базисный вектор е', перпендикулярно вектору ез. Вектор е~з должен образовывать с ними правую тройку. При ударе положение твердого тела не изменится, но тело приобретет угловую скорость ы вращения вокруг оси ез. Разложим векторы Р, гв, г, по базисным векторам: Р = Реэ, гв = бе1+ эьеэ, г, = !е1+ гез. ! г г г / Тогда разложение момента удара по тем же векторам запишется в виде гв х Р = -гьРе1+ БРеэ.
Воспользовавшись теоремами об изменении скорости центра масс и кинетического момента при ударе, получим следующую систему уравнений: В1+В' =О, — 21 Р— оВ2 — — ыу12, Р + В2 + В2 ыЖ пВ1 ыу22 Вз + Вз = 6 ьР = ы гэз Первая группа из трех уравнений выражает теорему об изменении скорости центра масс, вторая группа — теорему об изменении кинетического момента.
Последнее уравнение второй группы описывает 6.5. Задача о центре удара изменение кинетического момента относительно оси вращения и позволяет найти угловую скорость после удара. Остальные уравнения дают возможность определить ударные реакции Н. и гь' точек закрепления оси вращения. Полученная система уравнений удара в рассматриваемой задаче может быть выведена и непосредственно из уравнений движения тела вокруг оси Я 6.3). Для этого достаточно каждое уравнение движения умножить на Ы и перейти к пределу при Ы О. Определение 6.5.1. Центром удара называется точка твердого тела, удар по которой не вызывает ударных реакций в местах закрепления неподвижной оси.
Теорема 6.5.1. Центр удара в рассматриваемой задаче имеет радиус-вектор е е гц сц бц е, + гц ез, где б = 133/(!М), а координата гц определяет на оси вращения та- кую точку, для которой эта ось слулсит главной осью инерции. Доказательство. В системе уравнений удара примем 1!1 Л1 В2 В2 О С учетом того, что 1ц = бР)333, из второго уравнения этой системы получим 133 1М Подставим в четвертое уравнение системы значение удара Р, выраженного из второго уравнения; ц1(.713+ гц1М) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
