1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 72
Текст из файла (страница 72)
На зту кривую положена тяжелая нить длины! и массы М. Направление вертикали задано единичным вектором 11, так что ускорение силы тяжести выражается равенством Требуется найти ускорение нити при условии, что нить не отделяется от кривой ни одной своей точкой. Р е ш е н и е. Пусть в = в" — значение параметра а начальной точке нити, а в = в' +д определяет положение некоторой ее внутренней точки. Обозначим т касательную и тр главную нормаль к опорной кривой 27' Так как Ар — положительная величина, обращающаяся в нуль, лишь когда и'„= тв„то А„= пппА.П Принцип наименьшего принуждения допускает простое геометрическое истолкование.
Он означает, что действительные ускорения системы минимально отклоняются от тех, которые имели бы место при полном отсутствии связей. Метрика, оценивающая отклонение, определена козффициентами квадратичной формы принуждения по Гауссу. П р и м е р 5.4.1. В пространстве Вз задана неподвижная абсолютно гладкая кривая Глава 5. Динамика системы материальных точек 420 в точке, соответствующей значению параметра а = з + Л. Ускорение точки нити с тем же значением параметра имеет вид тг = ге1т+ юнм.
Причем из-за нерастяжимости нити касательное ускорение всех ее точек одинаково: цч(з ) = цч(з" + Л) при любом О < Л < С Обозначим р — плотность нити. Масса элемента нити будет Ыгл = р НЛ. К этому элементу приложена сила тяжести Р =)рр 1Л. Запишем принуждение по Гауссу: 1 А = — ~ (м,т+ мам+ )гр)грИЛ 2,/ о или 1 А = -ге~аМ+ югдр $г тг)Л+... 2 о Многоточием обозначены члены, не содержащие ускорений, ибо щ, = вг/Л, где  — радиус кривизны. Обозначим г = 1с т вертикальную координату точки кривой. Тогда ~1г гц1с .
и) ~Ь Тз ИЛ ЙЛ' Следовательно, А = 1 гМ+, ~.~. + 1) -.~. )) +,. 2 Минимум А достигается при Это и есть искомое уравнение движения. Оно показывает, что касательное ускорение нити пропорционально разности вертикальных координат ее концов. Следовательно, при любой форме опорной кривой положение равновесия нити достигается тогда, когда концы нити находятся на одном и том же вертикальном уровне. Здесь мы имеем аналогию с законом одинакового уровня жидкости при равновесии в сообщающихся сосудах. О 421 5.5. Квазнкоордпнаты О 5.5. Квазикоординаты Пусть в пространстве гг~ конфигурация системы Ф материальных точек однозначно определена координатами 4ы.
4ь, п~ЗЖ так что радиусы-векторы всех точек системы выражаются функциями ге — ги(я1 ° ° йь,г), и = 1,...,1Ч. Предположим, что на систему наложены дифференциальные связи Ф1(гы...,тра,чы...,чп,1) = О, у = 1,,т < и, Учтем, что дг„ . дг„ дф * Й и подставим эти выражения в уравнения связей. Тогда связи примут вид ф3(Ч1 ''' Ч Ч1 ''' ь ~) О 3 1 Будем считать, что ранг матрицы Якоби д(4,,р ) д1чы. ч ) равен гп. Это означает, что система связей выделяет в пространстве скоростей ды..., е„поверхность размерности п — т. Представим ее в параметрической форме: В=В(1 В Ч» ям,т -м), 1=1,...,п таким образом, что при произвольном задании скалярных параметров ты..., х„уравнения связей автоматически удовлетворяются. Если параметры яь заданы, то они выделяют единственный набор й = (д1...,4„), удовлетворяющий уравнениям связей.
Когда яь = яь(1) заданы как функции времени, зависимость г1 от яь составляет систему обыкновенных дифференциальных уравнений, решая которую, например, численным методом, можно найти функции 41(1),..., 4„(1) и узнать тем самым, как меняется конфигурация системы в пространстве. При желании зависимости йь(1) можно рассматривать как производные от некоторых функций яь(г). Глава 5. Динамика системы материальных точек 422 Определение 5.5.1. Первообразные хь(С) = хь(С) С(С + сы Сг = 1,..., и — т называются хввзиховрдинатвми системы материальных точек. Постоянные сь могут быть выбраны произвольно и равны значениям квазикоординат в начальный момент времени Св. Величины хь называются хвазисхвростл ни, а хе — хввзиусхоренилми. Приставка "квази" подчеркивает принципиальное отличие между квазикоординатами и координатами, которое проиллюстрируем следующим примером.
П р и м е р 5.5.1. Положение точки на плоскости можно задавать полярными координатами г и у (рис, 5,5.1), а траекторию точки— функциями г(С) и у(С). Обозначим к(С) площадь, заметаемую радиусом- вектором при его движении по заданному закону. Между радиусом- вектором, полярным углом и площадью в имеется следующее кинематическое соотношение; ф = 2и/гз. Таким образом, площадь в есть квазикоордината, а сг — квазиско- Значение площади и, заметаемой радиусом-вектором, не дает однозначного представления о направлении радиуса, хотя значение секторной скорости сг и радиальная скорость г однозначно определяют вектор скорости. Положение точки на плоскости можно задавать полярными, декартовыми или иными координатами с добавлением при необходимости кинематических уравнений.
Рис. 5.5.1. Координаты и квазикоординаты рость. Но положение точки нельзя однозначно задать значениями полярного радиуса и квазикоординаты о. Площадь, заметаемая радиусом- вектором, существенно зависит от движения, которым точка пришла в то или иное положение. Между координатой уз и квазикоординатой и не существует никакого конечного соотношения, позволяющего однозначно вычислить одно по значению другого.О 5.5.
Квазикоординаты 423 Еще один пример использования квазикоординат встречается в кинематике абсолютно твердого тела (см. З 2.15), где компоненты юз,юз,юз угловой скорости суть квазискорости, связанные с производными, например, угловых координат уг, ф, д, кинематическими уравнениями Эйлера. Ответ на вопрос о том, в каком случае кваэикоординаты могут служить полноправными координатами системы материальных точек, дается следующей теоремой, Теорема 5.5.1. Квазихоординаты кь могут слузюить координатами, однозначно определяющими конфигурацию системы с учетом дифференциальных связей, тогда и только тогда, когда зависимость ц от квазисхоростей эквивалентна линейной зависимости: и соответствующая Пфаффова система дц = е1од1+ ) сеь дхь вполне интегрируема (определение 4.4.2).
Доказательство. Необходимость. Пусть квазикоординаты хь можно взять в качестве координат, значения которых однозначно определяют конфигурацию системы с учетом связей. Это значит, что существуют конечные соотношения В = В1к1, .,ьп-пз г), г = 1, задающие поверхность размерности и — гп в пространстве Яп. По смыслу квазикоординат касательное пространство к этой поверхности совпадает с пространством ь1с1) эквивалентной пфаффовой системы при произвольном задании дифференциалов Ыяь.
Наличие такой поверхности означает линейную зависимость скоростей от квази- скоростей и полную интегрируемость соответствующей пфаффовой системы. Необходимость доказана. Достаточность. Пусть указанная в условии теоремы пфаффова система вполне интегрируема. Дифференциалы дВ,...,до„, дяы...,дя„~ принадлежат пространству гсхп ~. Полная интегрируемость означает, что существуют формы фы...,д~„, которые, будучи линейными комбинациями форм ич = д — Ввд1 — ~ оньдкь, 1 = 1,..., и, к=с 424 Глава 5. Динамика системы материальных точек слУжат полными диффеРенциалами по пеРеменным 1, Чы..., Ч„, кы...,к» „,. Значит, существуют независимые функции й такие, что система уравнений Л1Ч2 Ч», яы, к»-т,1) = с;, 2' = 1,..., т, где с; — некоторые постоянные, выделяет в пространстве Г22» ™ гиперповерхность.
При этом касательное пространство к ней совпадает с подпространством, на котором все формы пфаффовой системы обращаются в нуль. Поскольку дифференциалы НЧг выражаются через дифференциалы акь, из полученных конечных уравнений можно выразить Ч' = ЧЕ1К2 . К»-т 2) что и дает искомую однозначную замену переменных, П Следствие 5.5.1. Квазикоординаты, введенные для системы материальных точек с диф$еренииальными связями, могут оказаться координатами только в том случае, если зти связи голономны. Однако голономность связей еще не означает, что любые квазикоординаты можно применять в качестве координат системы (см.
пример 5.5.1). Удобство использования квазикоординат обусловлено простотой введения независимых параметров, задающих пространство допустимых скоростей системы. Определение 5.5.2. Частной производной от координаты Че но квазикоординате кь называется выражение: ~Ъ дЧе дяь дкь Аналогично длЯ пРоизвольной фУнкции 11Чы ...,Ч„) полУчим дУ д~ дЧ; д~ дЧе дкь, дЧг дкь дЧг дкь Таким образом, операция частного дифференцирования по квазикоординатам всегда имеет смысл и вполне аналогична операции частного дифференцирования по координатам.
Определим пространство виртуальных перемещений при использовании квазикоординат. Если подставить зависимость скоростей от квазискоростей в уравнения связей, то по определению этих зависимостей уравнения связей автоматически удовлетворяются. Следовательно будут тождественно выполнены равенства 5.5. Квазикоордннаты 425 Умножим полученные тождества на произвольные параметры бхь и проведем суммирование по индексу )е. Тогда получим ~"- да, 7 — ~ бг„хе й, г' = 1,..., т, где »-е» д.
-ю д бйе = ~~ — 'бхь = ') — ' биь. „, дхь „, диа дч„ бг„ = ~ дйе дг„ бое = ~~~ —" бо,, дй~ »» — е»/» А = ~~ бабце = ~ ~~~~ е/е — ' бхь. е»п ь»г е=г Определение 5.5.3. Скалярная величина » дггь называется обобщенной силой, работающей на изменении хеазихоординаты хь. Видим, что закон перехода от обобщенных сил Яе к обобщенным силам Я» вполне аналогичен закону, имеющему место при замене координат. П р и м е р 5.5.2. Пусть положение материальной точки на плоскости с оРтами еп еэ опРеделено полЯРными кооРдинатами г и 1о, пРичем Угол ю отсчитывается от вектора еь К точке приложена сила Г = Ггег+ Гтеэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
