1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Для любого сколь угодно малого Ьд > О существует угловая скорость собственного вращения, при которой быстро закрученный волчок Лагранзеса осуществляет псевдорегулярную прецессию мезюду параллелями дг и дг = дг + гад. Доказательство. Для быстро закрученного волчка получим с помощью первых интегралов о = аио д = Ьгоио где ио — — созда. Функция /(и) принимает вид /(ц) = (о — аи)(1 — и ) — (д — Ьгои) Подставим сюда вместо о и )г' их выражения через ио.
/(ц) (цо ц)(а(1 цг) Ьг„,(.о-и)]. Как и следовало ожидать, один из корней /(и) равен ио. Кроме того, ио — — ил, и значит, ио — — иг. На параллели ио имеем точки возврата (случай 2 теоремы 6.8.1). Корень и1 находится из уравнения а(1 — и',) — Ь'го'(ио — и~) = О б.9. Случай Ковалевской Отсюда 489 а(1 „2) из — и! — — 82 2 "а При увеличении гэ разность ие — и! стремится к нулю.Сг Движение оси симметрии быстро закрученного волчка осуществляется в виде мелких нутационных дрожаний и прецессионного движения, происходящего все время в одну сторону.
Реальный волчок при таком движении издает характерное гудение. 8 6.9. Случай Ковалевской А = В = 2С, т.е. эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения вокруг оси ез. Центр масс расположим в экваториальной плоскости этого эллипсоида (плоскости векторов е',, ег).
В рассматриваемом случае любая ось в экваториальной плоскости, проходящая через неподвижную точку, оказывается главной, и мы можем выбрать оси е', и ег так, чтобы радиус-вектор центра масс тела представился равенством ! г, =(е,. Пусть неподвижный вектор ез, направленный вертикально вверх, имеет разложение ! ! ! а ! ез = 7ег+ 7 ег+ 7 ез. Тогда сила тяжести выражается формулой Р = — пгдез, а силовая функция принимает вид б! = — тд ез г, = — пгдс7.
Сила тяжести потенциальна, а ее момент относительно вертикаль- ной оси равен нулю. Следовательно, имеем два первых интеграла уравнений движения — интеграл энергии и интеграл площадей от- носительно оси ез.' Арг+ Адг+ Сгг+ 2~дС7 = а, Ару+ А47'+ Сгу" = !д. Пусть твердое тело под действием силы тяжести движется около неподвижной точки. Направим ортонормированные векторы е',, ег, е' с началом в этой точке по главным осям инерции тела. Соответствующие моменты инерции обозначим А, В, С.
Примем, что между моментами инерции выполнено соотношение Глава б. Динамика твердого тела 490 Пайдем еще один первый интеграл. Для этого рассмотрим динами- ческие уравнения Эйлера АР+ (С вЂ” А)дт = О, Ад+ (А — С)рг = пгд~7", Ст = — пгд(7'. Примем во внимание соотношения между моментами инерции и пе- репишем эту систему следующим образом: 2р=дт, 29 = — Рт+7з, т = — 7г, где ту~ о ту~, жд~ 7з= — 7 7г= — 7 7г= — 7.
С ' С ' С Величины 7ы 7г, 7з удовлетворяют дифференциальным уравнениям, аналогичным уравнениям Пуассона для вектора ез (см. З 2А5): 7г = т7г — ч7з 7г = Р7з — т7м 7з = д7~ — Р7г. Возьмем функцию Х=Р— д -7,. г Вычислим производную от нее в силу уравнений движения твердого тела: е)Х вЂ” = 2РР— 2дд — 7г = т(2РЧ вЂ” 7г). ей Пусть теперь У = 2РЧ вЂ” 7г Для этой функции найдем е1У вЂ” = 2рд+2рд' — 7г = — (Р' — д' — 7г) =- Х й Следовательно, в силу уравнений движения выполняется равенство Ха+7 г — ьг где й — постоянная интегрирования. Это и есть искомый первый интеграл уравнений движения, называемый иитаегралом Ковалевскоа.
491 6ЛО. Частные первые интегралы Четвертый "геометрический" интеграл уравнений выражает постоянство модуля вектора гпдсез/С: г /~Юй' 7г+7г+7з = ~ ) ),с) ' Как будет показано ниже (см. г 9.6), полученной совокупностн первых интегралов в данном случае достаточно, чтобы найти фазовые траектории посредством квадратур. Качественное исследование решення в случае Ковалевской выходит за рамки настоящей книги. Здесь остановимся лишь на некоторых его свойствах. Представим интеграл энергии в виде Я вЂ” Х = 0 = —, Х = -гг + 2р . Ь 1 А' 2 В трехмерном пространстве введем прямоугольные осн н возьмем точку Л1Х,У,г).
Координаты этой точки удовлетворяют равенствам т Х 11 Хг+ уз йг нз которых ясно, что прн движении тела точка Л перемещается по эллипсу, служащему пересечением прямого кругового цилиндра раднуса к с образующей, параллельной осн У, н плоскости, которая проходит параллельно осн У, наклонена к осн Х под углом т/4 н пересекает ось э в точке с координатой 1г. Спроектируем точку Л на плоскость 1Х, У). Получим новую точку п(Х, У,О).
Из выражений для производных Х, У можно усмотреть, что ХУ вЂ” ХУ=- (Х +У ). Пусть д — угол между радиусом-вектором точки и н осью Х. Тогда нз полученного равенства следует Другими словами, точка и движется по окружности радиуса Й так, что угловая скорость ее радиуса-вектора равна -г. 9 6.10. Частные первые интегралы Прн изучении случаев Эйлера-Пуансо, Лагранжа-Пуассона, Ковалевской мы имели нсчерпываюшнй набор так называемых алгебранческнх первых интегралов, справедливых прн любых начальных Глава О. Динамика твердого тела 492 условиях и позволяющих исследовать движение с помощью квадратур.
Других случаев существования полного набора подобных первых интегралов в задаче движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки не имеется. В связи с этим может быть поставлен вопрос о существовании в указанной задаче алгебраических первых интегралов, справедливых не во всей области начальных условий, а в какой-нибудь ее части. Утвердительный ответ дают случаи Бобылева-Стеклова и Гесса.
Рассмотрим их. Случай Бобылева-Сгаеклова. Пусть между главными моментами инерции, взятыми относительно точки опоры, справедливо соотношение В = 2А, а центр масс принадлежит второй главной оси: го = Оет. Тогда система уравнений движения примет вид Ар — (2А — С)аг = — тпу у" ~у, у = г7' — у7", 2Аа — (С вЂ” А)рг = О, 7' = ру" — гу, Сг+ Ард = ту79 7' г97 Р7 где у, у', уа — координаты вертикального вектора ез в базисе е',, е~, ез главных направлений инерции: ез = 7е, + 7 ез+ 7 ез. / / / а / Динамические уравнения Эйлера допускают следующее частное решение глуп г=О, де йо, р= — у=Му. Аао Три уравнения Пуассона примут вид 7 = — Яо7 7' = М77", 7 = 7(чо ™7').
Кроме очевидного 7+7 +7 =1 для этих уравнений существует еще один первый интеграл 2до7 + М7г Г Отсюда Г М у =у — п7, у= —, в= —. 3 2до 29о 493 6.10. Частные первые интегралы Следовательно, (7 ) = 1 7 (1 п7 ) Найденное значение 7" подставим в первое из уравнений Пуассона. Тогда интегрирование уравнений движения сводится к эллиптической квадратуре Таким образом, здесь мы получаем лишь частное решение задачи о движении тела.
Случай Гесса. Предположим, что все три момента инерции не равны между собой: А>В>С, а центр масс задается радиусом-вектором г, = ~е~ + ~еэ. Тогда система уравнений движения для рассматриваемого случая примет вид Ар — ( — С)дг = гпд7'~, 7=г7 47 Вд — (С вЂ” А)рг = шд(7"С вЂ” К), 7 = р7 — г7, Сг — (А — В)рд = — тд7 6 7 = 47 — Р7 .
Эти уравнения допускают интеграл энергии, интеграл площадей относительно веРтикальной оси еэ = 7е~ + 7'ест+7"е~з и геометРический интеграл вида ]еэ] = 1: Арг 4- Вдт 4- С,л — 2гпд(~7+ ~7л) + Л, Ару+ Вду'+ Сгу" = а, 7'+7" +7ат = 1 Из первого и третьего динамических уравнений Эйлера получим А~р+ С~г — дЯ( — С) + р~(А — В)] = О. Потребуем теперь, чтобы для координат центра масс были выполнены соотношения ( — С) = ЙС~-, (А — В) = йА~~, где и — произвольный постоянный коэффициент.
Тогда предыдущему дифференциальному уравнению можно придать вид — (А~р+ С~г) = йдИ(Абр+ С~г). е' а1 Ггава 6. Динамика твердого тела 494 Отсюда мы заключаем, что при подходящем выборе начальных условий будет справедлив частный интеграл, указанный Гессом: А(р+ С~г = О. Начальные условия также должны удовлетворять этому равенству. Помимо указанных в теории движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки существуют еще несколько случаев, когда справедливы алгебраические частные первые интегралы. Тогда можно решить задачу, получив закон движения посредством квадратур. 9 6.11. Симметричный гироскоп Одним из наиболее ярких примеров применения теории движения твердого тела около неподвижной точки служит гироскоп.
Определение 6.11.1. Симметричиьй гироскоп — это твердое тело, одна из точек которого О закреплена, а эллипсоид инерции относительно этой точки есть эллипсоид вращения. Ось симметрии эллипсоида ег называется осью фигуры гироскопа. В технике для обеспечения вращения гироскопа вокруг одной из его точек часто применяется кардаиов подвес. Наиболее простая конструкция карданова подвеса представляет собой два кольца (рис. 6.11.1). Гироскоп может вращаться вокруг оси фигуры ез относительно внутреннего кольца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
