1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 86
Текст из файла (страница 86)
без = — „(ез х а) = ~ — „х ез~ а. Следовательно, вектор момента гравитационных снл относительно центра масс спутника может быть найден по формуле (см. з 4.8): дУ М = — хе". де" ез Конкретный вид У зависит от формы тела и распределения массы в его объеме. Предположим, что размеры спутника малы по сравнению с радиусом орбиты (г'/Я ~ 1) настолько, что функцию г г можно разложить в ряд Тейлора, оставив в нем лишь величины до второго порядка малости включительно. Тогда Н~ Я 2Яг 8г, В ) Пусть жестко связанный с телом ортонормированный репер О,еге~гез задает главные центральные оси инерции спутника; г = Ргег+Ргег+Рзез ,) Рг г(гл= ) Рг г(гл= 1 Рз ~(гп=,) Рг Рг ~(пг = ~ Рг Рз г(гл=,) РгРз ~(гп = О.
У Как и прежде, главные моменты инерции обозначим .4 = (Рг + Рз) «пг, П = (Рз + Р~) «гл, О = (Р~ + Рг) «пг. Кроме того, положим л / у ! л / ез — 7ег+7ег+7 ез Глава 6. Динамика твердого тела 506 Выполним теперь необходимые преобразования, опуская заведомо равные нулю члены. Р )'), Р~+Р'+Р'+4+4+Р~ 2ят [(Р~ + Рт + Рз)(7 + 7 + 7 ) Р17 Рт7 Рзу [ ~(~п. 2Вт Учитывая обозначения для моментов инерции, получим приближенную (до членов второго порядка малости по размерам спутника относительно радиуса орбиты) формулу для гравитационной силовой функции и = — "+ — "(А+ в+ с) — — "(Ау'+ ву" + су"').
Я 211з 2Яз Первые два члена этой формулы постоянны при фиксированном радиусе орбиты и потому не существенны. Выражение в скобках у третьего члена есть момент инерции спутника относительно оси с направляющим вектором ез, т.е. относительно радиуса-вектора центра масс. Вычислим гравитационный момент Мг: — = — — (А уе, + Ву ет+ Су ез), аи 3| де~ г У1з з Мг = — и х ез — — — з[(С вЂ” В)7".У'е', + (А — С) У7"ез + ( — А) У'уез].
Перейдем к учету влияния сил инерции. Силы инерции из-за вращения системы координат имеют при постоянной угловой скорости переносного движения силовую функцию (теорема ЗА3.3) 2 3 и,= — /[гт — (е" ,г)з) Нтп= — /[(яе~~+г') — [е" ,(Вез+ г')[~) Йт= 2,/ г г г + ПтГс / (г' . е") сбп + — / [г'~ — (е" ,г')~) йтп. 2 Пусть в репере О,е1ете~, жестко связанном со спутником, вектор е" имеет разложение е1 =Р1е1+Рзез+Рзез Тогда [г" — (е1' г) ) 1гп = [г"(А +)у:+ Вз) — (АР1+ ВзРт+ ВзРз)'[4тп 1*-1 6.13.
Относительное равновесие спутника С учетом свойств осей О,е1езе~з окончательно найдем 507 п,02 В2 02 У, = + — (А)3~ + ВФг+ С)3зт) 2 2 Заметим, что в круглых скобках стоит момент инерции спутника относительно оси е~~'. Момент М, сил инерции иэ-за вращения репера Ое1ет~е~з выражается формулой, аналогичной формуле для гравитационного момента: М = — „х е1' — — 0~[( — С)Щ3зе1+(С вЂ” А))3зЯет+(А — В)3тДе~. Вычислим момент, создаваемый силами Кориолиса относительно центра масс: Мь = — 20/г'х(е" ,х(ыхг')) Нгп=20 [г'х [г(е1'.ы) — ы(е1'.г )) Ит = = 20 (ы х г')(е1 г') Нтп, где ы — угловая скорость спутника относительно репера О,е",е~зе~з, так что относительная скорость ч„ точки спутника с радиусом- вектором г' выражается формулой ! ч, = ы х г.
Заметим теперь, что в осях, связанных с телом, имеем разложения г' = р1е', + рте~ + рзез, ы = ре[+ 3 ет + гез и, следовательно, 1 1, 1 2 Рз,ага=-(В+С вЂ” А), / р~~Ип1=-(С+А — В), / рз~Нт=-(А+ — С). 2 / 2 / Поэтому момент сил Кориолиса принимает вид Мь = 0[[3)3з(А+  — С) — г~3з(С+ А — В)]е[+ +[1 Я(В+ С вЂ” А) — рВз(А+  — С)]ез+ +[РАт(С + А — В) — 3Ц(В + С вЂ” А)[ез) .
При изучении стационарных положений спутника относительно репера Ое|'е",е~ следует принять во внимание, что силы Кориолиса не совершают работы на относительном действительном перемещении спутника, а при относительном равновесии, когда ы = О, они вообще отсутствуют. Глава 6. Динамика твердого тела 508 Рассмотрим потенциальную энергию гравитационных сил и сил инерции. Для круговой орбиты 1)г = и/Гсз (см. 1 3.11). Поэтому 2 П = — Р~А уг + В у" + Суна) — ~Ада + Вдг + С4)]. 2 В положении равновесия потенциальная энергия спутника должна иметь стационарное значение. Теорема 6.13.1. В принятых предположениях сумма потенциальных энергий гравитационных сил и сил инерции принимает минимальное значение, когда наибольшая ось эллипсоида инерции направлена вдоль радиуса-вектора центра масс, а наименьшая — по нормали к плосхости орбиты.
Доказательство. Из выражения для потенциальной энергии следует, что ее абсолютный минимум достигается, если минимально выражение А~~ + В-~'~ + С ун~. Как отмечалось выше, это есть момент инерции относительно оси е~. Следовательно, ось с наименьшим моментом инерции должна быть направлена вдоль вектора е2. Аналогично в положении абсолютного минимума потенциальной энергии должно быть максимально выражение Ад~г + Вдгг + Сдзг а оно есть момент инерции относительно оси е",. Следовательно, ось с наибольшим моментом инерции должна быть направлена вдоль оси е".
и г' Особо подчеркнем, что теорема 6.13.1 была получена в предположении, что спутник не влияет на движение центра масс Земли и что размеры спутника малы по сравнению с расстоянием до центра Земли. 3 6.14. Качение диска по горизонтальной плоскости В повседневной жизни часто встречается движение, при котором одна поверхность катится по другой. Примерами могут служить колеса транспортных средств, катящиеся по опорной поверхности, шарикоподшипниковые соединения, мельничные жернова и многие другие устройства. Часто это — механические системы с неголономными связями.
Здесь мы рассмотрим простейшие модели, связанные с качением. 6,14, Качение диска по горизонтальной плоскости 509 Определение 6.14.1. Диском называется абсолютно твердое тело, на поверхности которого выделена окружность. Точки соприкосновения этого тела с опорной поверхностью могут располагаться только на выделенной окружности. Обручем называется диск, вся масса которого сосредоточена на окружности, по которой обруч может соприкасаться с опорной поверхностью.
Считается, что диск упал, если в процессе движения возникают точки соприкосновения диска с опорной поверхностью, не принадлежащие выделенной для этого окружности. Предположим, что диск катится по опорной абсолютно шероховатой (отсутствует проскальзывание точки диска, находящейся в контакте с опорой) горизонтальной плоскости под действием силы тяжести. Правоориентированный абсолютный репер Ое~еэез выберем так, чтобы его начало и ортонормированные векторы еп ет принадлежали опорной поверхности, единичный вектор ез направим по вертикали вверх. Пусть диск соприкасается с опорной плоскостью в точке О„, заданной радиусом-вектором г„= г~е~ + ггег Введем ортонормированный подвижный репер О„е',е'е' с началом в точке О„(рис. 6.14.1).
Вектор е', направим по касательной к опорной окружности диска, вектор е~~ — по радиусу к центру опорной окружности, вектор ез — перпендикулярно к плоскости опорной окружности так, чтобы вместе с векторами е',, е~~ он образовывал правую тройку. Обозначим 4 угол курса между векторами е', и еы д — угол между векторами е' и ез (характеризует наклон опорной окружности к опорной плоскости), у — угол собственного вращения диска. Если  — радиус опорной окружности, то В у есть дуга между точкой О„ и некоторой жестко зафиксированной точкой на окружности. Очевидно, что пять величин гы гю д, 4, у однозначно определяют положение диска в пространстве и могут служить лагранжевыми координатами задачи.
Чтобы получить уравнения движения диска по плоскости, воспользуемся теоремой 5.2.4 об изменении кинетического момента К', взятого относительно подвижной точки О„. Для простоты примем, что центр масс диска расположен в центре О, опорной окружности, а центральный эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения вокруг оси, параллельной вектору е~з и проходящей через О,. Это означает, что моменты инерции, взятые относительно осей репера О„е',е~тез', не будут изменяться при движении диска.
Глава д. Динамика твердого тела 510 Плоскость опорной окружности диска пересекает горизонтальную плоскость по прямой с направляющим вектором курса е',. Плоскость окружности наклонена и составляет с вертикалью угол д. Угол у собственного вращения диска отсчитывается от проекции вертикали из точки О„ на плоскость диска. Точка О„соприкосновения диска с плоскостью имеет скорость, направленную вдоль линии курса.
Рис. 6.14.1. Диск на горизонтальной плоскости Закон изменения вектора К' в репере О„е',е' ез выражается уравнением Й~' ~й — +щ„хК +гпч„хч,=Мю где т — масса диска, щ„ — угловая скорость репера О„едете~, ч„ и ч, — скорости точки О„ и центра диска О, соответственно,Мт— момент силы тяжести: Мх = — гада а)п д е',.
Вектор ш„можно представить с помощью разложения ° = 111е1+Птет+Пзез = — де1+Ф де~+Фа)аде~ Поворот по углу д осуществляется вокруг оси е',, а по углу курса ф — вокруг оси, параллельной вектору ез и проходящей через О„. По отношению к подвижномУ РепеРУ О„е',ет~ез поле скоРостей диска вращательное с угловой скоростью ф вокруг оси ез, так как относительное поле скоростей плоскопараллельно и вследствие абсолютной шероховатости поверхности точка Оэ есть мгновенный центр относительных скоростей диска Я 2.14).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
